历年初中数学竞赛试题.doc

- - . - 初中数学竞赛专项训练1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。A. 111B. 1000C. 1001D. 1111解：依题意设六位数为，则a105b104c103a102b10ca102（1031）b10（1031）c（1031）（a103b10c）（1031）1001（a103b10c），而a103b10c是整数，所以能被1001整除。故选C方法二：代入法2、若，则S的整数部分是_解：因1981、19822001均大于1980，所以，又1980、19812000均小于2001，所以，从而知S的整数部分为90。3、设有编号为1、2、3100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n个（n100）学生进来，凡号码是n的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（）A. m(1+a%)(1-b%)元B. ma%(1-b%)元C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m（1a%）元，因调整后的零售价为原零售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m（1a%）b%元。应选C5、如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的所有可能的值为（）A. 0B. 1或-1C. 2或-2D. 0或-2解：由已知，a，b，c为两正一负或两负一正。当a，b，c为两正一负时：；当a，b，c为两负一正时：由知所有可能的值为0。应选AcABCab6、在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若B60，则的值为（）A. B. C. 1D. 解：过A点作ADCD于D，在RtBDA中，则于B60，所以DB，AD。在RtADC中，DC2AC2AD2，所以有（a）2b2C2，整理得a2c2=b2ac，从而有应选C7、设ab0，a2+b2=4ab，则的值为（）A. B. C. 2D. 3解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于ab0，得，故。应选A8.已知a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 39、已知abc0，且a+b+c0，则代数式的值是（）A. 3B. 2C. 1D. 010、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为解：设该商品的成本为a，则有a(1+p%)(1-d%)=a，解得11、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9，则x+2y+3z=_解：由已知条件知（x+1）y=6，(x1)y=z29，所以x1，y是t26tz29=0的两个实根，方程有实数解，则（6）24（z29）4z20，从而知z=0，解方程得x+1=3，y=3。所以x+2y+3z812.气象爱好者孔宗明同学在x（x为正整数）天中观察到：有7个是雨天；有5个下午是晴天；有6个上午是晴天；当下午下雨时上午是晴天。则x等于（）A. 7B. 8C. 9D. 10选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0，b+d=6，c+d=5，a+b+c=7，得2d-a=4，即d2，故b=4，c=3，于xa+b+c+d=9。13、有编号为、的四条赛艇，其速度依次为每小时、千米，且满足0，其中，为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，、是逆流而上，号艇顺流而下。（2）经过1小时，、同时掉头，追赶号艇，谁先追上号艇谁为冠军，问冠军为几号？ 解：出发1小时后，、号艇与号艇的距离分别为各艇追上号艇的时间为对有，即号艇追上号艇用的时间最小，号是冠军。14.有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用12台水泵需5小时，用10台水泵需7小时，若要在2小时内抽干，至少需水泵几台？解：设开始抽水时满池水的量为，泉水每小时涌出的水量为，水泵每小时抽水量为，2小时抽干满池水需n台水泵，则由得，代入得：，故n的最小整数值为23。答：要在2小时内抽干满池水，至少需要水泵23台15.某宾馆一层客房比二层客房少5间，某旅游团48人，若全安排在第一层，每间4人，房间不够，每间5人，则有房间住不满；若全安排在第二层，每3人，房间不够，每间住4人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？解：设第一层有客房间，则第二层有间，由题可得由得：，即由得：，即原不等式组的解集为整数的值为。答：一层有客房10间。16、某生产小组开展劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过200个，后来改进技术，每人一天又多做27个零件，这样他们4个人一天所做零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件，问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？解：设劳动竞赛前每人一天做个零件由题意解得是整数16（1637）163.3故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。初中数学竞赛专项训练（5）（方程应用）一、选择题：1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲乙的速度之比为（）A. 35B. 43C. 45D. 342、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件，如果获利润最大的产品是第R档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么R等于（）A. 5B. 7C. 9D. 103、某商店出售某种商品每件可获利m元，利润为20%（利润），若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为（）A. 25%B. 20%C. 16%D. 12.5%4、某项工程，甲单独需a天完成，在甲做了c（cb，若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（）A. B. C. D. 7、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A. 0B. 1C. 3D. 58、若函数与函数的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则ABC的面积为（）A. 1B. 2C. kD. k2二、填空题ABBDC图8-5EA1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为a，b，则d与的大小关系是2、如图8-5，AA、BB分别是EAB、DBC的平分线，若AABBAB，则BAC的度数为图8-6ABDCP3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7）、（5、9、11）问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长4、如图8-6，P是矩形ABCD内一点，若PA3，PB4，PC5，则PD图8-8BACP16米20米ABCD甲乙图8-75、如图8-7，甲楼楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30，此时求如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是米。6、如图8-8，在ABC中，ABC60，点P是ABC内的一点，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，则PBABDC图8-9三、解答题1、如图8-9，AD是ABC中BC边上的中线，求证：AD（AB+AC）2、已知一个三角形的周长为P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？ACFBDE图8-103、如图8-10，在RtABC中，ACB90，CD是角平分线，DEBC交AC于点E，DFAC交BC于点F。求证：四边形CEDF是正方形。CD22AEBF4、从1、2、3、4、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？数学竞赛专项训练（8）参考答案ABCDPEFG一、选择题1、如图过C作CEAD于E，过D作DFPB于F，过D作DGCE于G。 显然DGEFAB5，CDDG，当P为AB中点时，有CDDG5，所以CD长度的最小值是5。ADCBEFHG60ABCDE2、如图延长AB、DC相交于E，在RtADE中，可求得AE16，DE8，于是BEAEAB9，在RtBEC中，可求得BC3，CE6，于是CDDECE2BCCD5。3、由已知AD+AE+EF+FDEF+EB+BC+CFAD+AE+FDEB+BC+CFEFBC，EFAD，设，AD+AE+FD3+解得k4作AHCD，AH交BC于H，交EF于G，则GFHCAD3，BHBCCH9-36，4、假设、三个角都是锐角，即90，90，90，也就是A+B90，B+C90，C+A90。2（A+B+C）270，ABC135与ABC180矛盾。故、不可能都是锐角，假设、中有两个锐角，不妨设、是锐角，那么有AB90，CA90，A(ABC)b，故A是ABC的最小角，设AQ，则以b,b,a为三边之三角形的最小角亦为Q，从而它与ABC全等，所以DCb，ACDQ，因有公共底角B，所以有等腰ADC等腰CBD，从而得，即，令，即得方程，解得。选B。7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360，故外角中钝角的个数不能超过3个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形。8、A。设点A的坐标为（），则，故ABO的面积为，又因为ABO与CBO同底等高，因此ABC的面积2ABO的面积1。ABDCPMN二、填空题1、如图设四边形ABCD的一组对边AB和CD的中点分别为M、N，MNd，另一组对边是AD和BC，其长度分别为a、b，连结BD，设P是BD的中点，连结MP、PN，则MP，NP，显然恒有，当ADBC，由平行线等分线段定理知M、N、P三点共线，此时有，所以与的大小关系是。2、12。设BAC的度数为x，ABBB BBD2x，CBD4xABAAAABAB ACBD4xAAB