高考题汇编函数.doc

2010年高考数学试题分类汇编——函数
（2010上海文数）17.若是方程式 的解，则属于区间 （ ）
（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）
解析：
知属于区间（1.75，2）
（2010湖南文数）8.函数y=ax2+ bx与y= (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是D

（2010湖南文数）3. 某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是
A. B.
C. D.

（2010浙江理数）（10）设函数的集合
，
平面上点的集合
，
则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=,b=0; a=,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题
（2010全国卷2理数）（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
（A）64 （B）32 （C）16 （D）8
【答案】A
【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..
【解析】，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.
（2010全国卷2理数）（2）.函数的反函数是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
【解析】由原函数解得，即，又；
∴在反函数中，故选D.
（2010陕西文数）10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为 [B]
（A）y＝[] （B）y＝[] （C）y＝[] （D）y＝[]
解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B
法二：设，
，所以选B
（2010陕西文数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是 [C]
（A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数
解析：本题考查幂的运算性质

（2010辽宁文数）（12）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是
(A)[0,) (B) （C） (D)
解析：选D.，，
即，
（2010辽宁文数）（10）设，且，则
（A） （B）10 （C）20 （D）100
解析：选A.又

（2010辽宁文数）（4）已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是
（A） （B）
（C） （D）
解析：选C.函数的最小值是
等价于，所以命题错误.
（2010辽宁理数）(1O)已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是
(A)[0,) (B) (D)
【答案】D
【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。
【解析】因为，即tan a≥-1,所以
（2010全国卷2文数）（7）若曲线在点处的切线方程是，则
（A） (B)
(C) (D)
【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程
∵ ，∴ ，在切线，∴
（2010全国卷2文数）（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是
（A）y=-1(x>0) (B) y=+1(x>0)
(C) y=-1(x R) (D）y=+1 (x R)
【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN（X-1）(X>1)，∴
（2010江西理数）12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为

【答案】A
【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。
（2010江西理数）9．给出下列三个命题：
①函数与是同一函数；高☆考♂资♀源*网
②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；
③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。
其中真命题是
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
【答案】C
【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③, ,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。
（2010安徽文数）（7）设，则a，b，c的大小关系是
（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a
7.A
【解析】在时是增函数，所以，在时是减函数，所以。
【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.

（2010安徽文数）（6）设,二次函数的图像可能是

6.D
【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
（2010重庆文数）（4）函数的值域是
（A） （B）
（C） （D）
解析：
（2010浙江文数）（9）已知x是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若∈（1，），
∈（，+），则
（A）f()＜0，f()＜0 （B）f()＜0，f()＞0
（C）f()＞0，f()＜0 （D）f()＞0，f()＞0
解析：选B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题
（2010浙江文数）2.已知函数 若 =
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析：+1=2，故=1，选B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题
（2010重庆理数）(5) 函数的图象
A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称
解析： 是偶函数，图像关于y轴对称
（2010山东文数）（11）函数的图像大致是

答案：A
（2010山东文数）（8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
（A）13万件 (B)11万件
(C) 9万件 (D)7万件
答案：C
（2010山东文数）（5）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则
（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3
答案：A
（2010山东文数）(3)函数的值域为
A. B. C. D.
答案：A
（2010北京文数）(6)给定函数①，②，③，④，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
答案：B
（2010北京文数）⑷若a,b是非零向量，且，，则函数是 （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数
（C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数
答案：A
（2010四川理数）（4）函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是
（A） （B） （C） （D）
解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－ ，于是－＝1 Þ m＝－2
答案：A
（2010四川理数）（3）2log510＋log50.25＝
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4
解析：2log510＋log50.25
＝log5100＋log50.25
＝log525
＝2
答案：C
（2010四川理数）（2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是

（A） （B） （C） （D）
解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.
答案：D
（2010天津文数）（10）设函数，则的值域是
（A） （B） （C）（D）
【答案】D
【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。
依题意知，
（2010天津文数）(6)设
(A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c
【答案】D
【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。
因为
【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用0，1进行，本题也可以利用对数函数的图像进行比较。
（2010天津文数）(5)下列命题中，真命题是
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A
【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当m=0时，函数f（x）=x2是偶函数，所以选A.
【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。
（2010天津文数）（4）函数f（x）=
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）
【答案】C
【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
因为f（0）=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选C
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
（2010天津理数）（8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】C
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。
由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。

【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。
（2010天津理数）（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是
(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数
（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数
（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数
（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
【答案】B
【解析】本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题。
否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B项是正确的。
【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。
（2010天津理数）（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是
(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）
【答案】B
【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
由及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。

（2010广东理数）3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则
A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
C．f（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
3．D．．
（2010广东文数）3.若函数与的定义域均为R，则
A. 与与均为偶函数 B.为奇函数，为偶函数
C. 与与均为奇函数 D.为偶函数，为奇函数
解:由于,故是偶函数,排除B、C
由题意知，圆心在y轴左侧，排除A、C
在，，故，选D
（2010广东文数）2.函数的定义域是
A. B. C. D.
解：，得，选B.
（2010福建文数）7．函数的零点个数为 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
（2010全国卷1文数）(7)已知函数.若且，，则的取值范围是
(A) (B)(C) (D)
7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.
【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=
又0<a<b,所以0<a<1<b，令由“对勾”函数的性质知函数在(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
【解析2】由0<a<b,且f(a)=f(b)得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题，，过点时z最小为2,∴(C)
（2010全国卷1理数）（10）已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是
(A) (B) (C) (D)

（2010四川文数）(2)函数y=log2x的图象大致是

(A) (B) (C) (D)
解析：本题考查对数函数的图象和基本性质.
答案：C
（2010湖北文数）5.函数的定义域为
A.( ,1) B(,∞) C（1，+∞） D. ( ,1)∪（1，+∞）

（2010湖北文数）3.已知函数，则
A.4 B. C.-4 D-
【答案】B
【解析】根据分段函数可得，则，
所以B正确.
（2010山东理数）(11)函数y=2x -的图像大致是

【答案】A
【解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x -=，故排除D，所以选A。
【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。
（2010山东理数）（4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)=
(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3
【答案】D

（2010湖南理数）8.用表示a，b两数中的最小值。若函数的图像关于直线x=对称，则t的值为
A．-2 B．2 C．-1 D．1

（2010安徽理数）

（2010安徽理数）6、设，二次函数的图象可能是

6.D
【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合.
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
（2010福建理数）4．函数的零点个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
2010年高考数学试题分类汇编——函数
（2010上海文数）14.将直线、、（，）围成的三角形面积记为，则 。
解析：B 所以BO⊥AC，
=
所以
（2010上海文数）9.函数的反函数的图像与轴的交点坐标是 (0,-2) 。
解析：考查反函数相关概念、性质
法一：函数的反函数为，另x=0，有y=-2
法二：函数图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数的反函数的图像与轴的交点为（0，-2）
（2010湖南文数）10.已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 g
【答案】171.8或148.2
【解析】根据0.618法，第一次试点加入量为
110＋（210－110）0.618＝171.8
或　210－（210－110）0.618＝148.2
【命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。
（2010陕西文数）13.已知函数f（x）＝若f（f（0））＝4a，则实数a＝ 2 .
解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2
（2010重庆文数）(12)已知，则函数的最小值为____________ .
解析：，当且仅当时，
（2010浙江文数）（16） 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值 。
答案：20
（2010重庆理数）（15）已知函数满足：，，则=_____________.
解析：取x=1 y=0得
法一：通过计算，寻得周期为6
法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故=f(0)=
（2010天津文数）（16）设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是________
【答案】m<-1
【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。
已知f（x）为增函数且m≠0
若m>0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。
M<0，时有因为在上的最小值为2，所以1+即>1,解得m<-1.
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。
（2010天津理数）（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】D
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。
依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。
当时函数取得最小值，所以，即，解得或
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解
（2010广东理数）9. 函数=lg(-2)的定义域是 .
9． (1,+∞) ．∵，∴．
（2010广东文数）

（2010全国卷1理数）(15)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .

（2010湖南理数）14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ．

（2010福建理数）15．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒有成立；当时，。给出如下结论：
①对任意，有；②函数的值域为；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在，使得
”。
其中所有正确结论的序号是 。
【答案】①②④
【解析】对①，因为，所以，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。
【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。
（2010江苏卷）5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=________________
[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。
5. （2010江苏卷）11、已知函数,则满足不等式的x的范围是_____。
[解析] 考查分段函数的单调性。
（2010江苏卷）14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是________。
[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为，则：
（方法一）利用导数求函数最小值。
，

，
当时，递减；当时，递增；
故当时，S的最小值是。
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令，则：
故当时，S的最小值是。
2010年高考数学试题分类汇编——函数
（2010上海文数）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
若实数、、满足，则称比接近.
（1）若比3接近0，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；
（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
解析：(1) xÎ(-2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，，
因为，
所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；
(3) ,kÎZ，
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0，
函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ．
（2010湖南文数）21．（本小题满分13分）
已知函数其中a<0,且a≠-1.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数（e是自然数的底数）。是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

（2010浙江理数） (22)(本题满分14分)已知是给定的实常数，设函数，，
是的一个极大值点．
(Ⅰ)求的取值范围；
(Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．
解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。
（Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a)
令
于是，假设
（1） 当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。
（2） 当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1<a<x2.
即
即
所以b＜-a
所以b的取值范围是（-∞，-a）

此时
或
（2）当时，则或

于是

此时
综上所述，存在b满足题意，
当b=-a-3时，

时，
时，
（2010全国卷2理数）（22）（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.
【参考答案】

【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.
（2010陕西文数）21、(本小题满分14分)
已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。
（1） 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2） 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；
（3） 对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时， （a）1.
解 （1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),
由已知得 =alnx，
=， 解德a=,x=e2,
两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f’(e2)= ,
切线的方程为y-e=(x- e2).
（2）由条件知

Ⅰ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,
所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；
当x>时，h (x)>0，h(x)在（0，）上递增。
所以x>是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。
所以Φ （a）=h()= 2a-aln=2
Ⅱ当a  ≤   0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。
故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)
（3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a)
则 Φ 1（a ）=-2ln2a，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2
当 0<a<1/2时，Φ 1（a ）>0，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增
当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。
所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1
因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值
所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a）  ≤  1
（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设，证明：对任意，.
解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，.
当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；
当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；
x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.
(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.
所以等价于
≥4x1－4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则
+4
＝.
于是≤＝≤0.
从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，
即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，.　　
（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）设.如果对任意，，求的取值范围。
解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于
， ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即
.
从而
故a的取值范围为（-∞，-2]. ……12分
（2010全国卷2文数）（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；
（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。
【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。
（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。
（2）求出函数的导数，在（2，3）内有极值，即为在（2，3）内有一个零点，即可根据，即可求出A的取值范围。
（2010江西理数）19. （本小题满分12分）
设函数。
（1）当a=1时，求的单调区间。
（2）若在上的最大值为，求a的值。
【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。
解：对函数求导得：，定义域为（0，2）
（1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。
当a=1时，令
当为增区间；当为减函数。
（2） 区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定
待定量a的值。
当有最大值，则必不为减函数，且>0，为单调递增区间。
最大值在右端点取到。。
（2010安徽文数）20.（本小题满分12分）
设函数，，求函数的单调区间与极值。
【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.
【解题指导】（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.

【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.

（2010重庆文数）(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)
已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数.
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.

（2010浙江文数）（21）（本题满分15分）已知函数（a-b）<b)。
（I）当a=1，b=2时，求曲线在点（2，）处的切线方程。
（II）设是的两个极值点，是的一个零点，且，
证明：存在实数，使得 按某种顺序排列后的等差数列，并求

（2010重庆理数）（18）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）
已知函数其中实数。
（I） 若a=-2，求曲线在点处的切线方程；
（II） 若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。

（2010山东文数）（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（II）当时，讨论的单调性.

（2010北京文数）（20）（本小题共13分）
已知集合对于，，定义A与B的差为

A与B之间的距离为
（Ⅰ）当n=5时，设，求，；
（Ⅱ）证明：，且;
(Ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数
（Ⅰ）解：=（1,0,1,0,1）
=3
(Ⅱ)证明：设
因为，所以
从而
由题意知
当时，
当时，
所以
(Ⅲ)证明：设

记由（Ⅱ）可知

所以中1的个数为k,中1的个数为
设是使成立的的个数。则
由此可知，三个数不可能都是奇数
即三个数中至少有一个是偶数。

（2010北京理数）(18)(本小题共13分)
已知函数()=In(1+)-+(≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间。
解：（I）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为

即
（II），.
当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故得单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，
故得单调递增区间是.
当时，，得，.
所以没在区间和上，；在区间上，

故得单调递增区间是和，单调递减区间是
（2010四川理数）（22）（本小题满分14分）
设（且），g(x)是f(x)的反函数.
（Ⅰ）设关于的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：；
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较与4的大小，并说明理由.
本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.
解：(1)由题意，得ax＝＞0
故g(x)＝，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)
由得

t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6]
则t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)
列表如下：
x
2
(2,5)
5
(5,6)
6
t'

+
0
-

t
5
↗
极大值32
↘
25
所以t最小值＝5，t最大值＝32
所以t的取值范围为[5,32]……………………………………………………5分
(2)

＝ln()
＝－ln
令u(z)＝－lnz2－＝－2lnz＋z－，z＞0
则u'(z)＝－＝(1－)2≥0
所以u(z)在(0,＋∞)上是增函数
又因为＞1＞0，所以u()＞u(1)＝0
即ln＞0

即………………………………………………………………9分
(3)设a＝，则p≥1，1＜f(1)＝≤3
当n＝1时，|f(1)－1|＝≤2＜4
当n≥2时
设k≥2,k∈N *时，则f(k)＝
＝1＋
所以1＜f(k)≤1＋
从而n－1＜≤n-1+＝n+1-＜n＋1
所以n＜＜f(1)＋n＋1≤n＋4
综上所述，总有|－n|＜4
（2010天津文数）（20）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=，其中a>0.
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）