高三年级文科数学专题复习三角函数、解三角形[教师版].doc

高三文科数学专题复习 三角函数、解三角形
专题一　三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式
A组 三年高考真题（2016～2014年）
1.(2015·福建，6)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
A. B.－ C. D.－
1.解析 ∵sin α＝－，且α为第四象限角， ∴cos α＝，∴tan α＝＝－，故选D. 答案 D　
2.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝(　　)
A. B. C.－ D.－
2.解析 记P(－4，3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝＝5， 故cos α＝＝＝－，故选D.
3.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若tan α＞0，则(　　)
A.sin α＞0 B.cos α＞0 C.sin 2α＞0 D.cos 2α＞0
3.解析 由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，
故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C. 答案 C　
4.(2016·新课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
4.解析　由题意，得cos＝，∴tan＝.∴tan＝tan＝－＝－. 答案　－
5.(2016·四川，11)sin 750°＝________.
5.解析　∵sin θ＝sin(k·360°＋θ)，(k∈Z)， ∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝. 答案　
6.(2015·四川，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．
6.解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，
又∵2sin αcos α－cos2α＝＝， ∴原式＝＝－1. 答案 －1　
B组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·济南一中高三期中)若点(4，a)在图象上，则tan π的值为(　　)
A.0 B. C.1 D.
1.解析　∵a＝4＝2， ∴tan π＝. 答案　D
2.(2016·贵州4月适应性考试)若sin＝－，且α∈，则sin＝(　　)
A. B. C.－ D.－
2.解析　由sin＝－得cos α＝－， 又α∈， 则sin α＝，
所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－. 答案　D
3.(2016·南充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P(2，－1)，则＝(　　)
A.3 B. C.－ D.－3
3.解析　因为角α终边经过点P(2，－1)，所以tan α＝－，＝＝＝－3，故选D.
4.(2015·乐山市调研)若点P在－角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
4.解析　－＝－4π＋，所以－与的终边相同，所以tan ＝－＝－y，则y＝. 答案　D
5.(2015·石家庄一模)已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝(　　)
A.－ B. C.－k D.±
5.解析　因为α∈，所以sin α>0，则sin＝－sin α＝－＝－，故选A. 答案　A
6.(2015·洛阳市统考)已知△ABC为锐角三角形,且A为最小角,则点P(sin A-cos B,3cos A-1)位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.解析　由题意得，A＋B＞即A＞－B，且A∈，－B＞0，
故sin A＞sin＝cos B，即sin A－cos B＞0， 3cos A－1＞3×－1＝， 故点P在第一象限. 答案　A
7.(2016·山东日照第一次模拟)已知角α为第二象限角，cos＝，则cos α＝________.
7.解析　sin α＝cos＝， 又α为第二象限角， 所以cos α＝－＝－. 答案　－
8.(2015·湖南长沙一模)在平面直角坐标系xOy中，将点A(，1)绕原点O逆时针旋转90°到点B，那么点B坐标为________，若直线OB的倾斜角为α，则tan 2α的值为________.
8.解析　设点A(，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA|＝2，
由三角函数的定义可知：sin θ＝，cos θ＝，则θ＝2kπ＋(k∈Z)， 则A(2cos θ，2sin θ)，
设B(x，y)，由已知得x＝2cos＝2cos＝－1，y＝2sin＝2sin＝，
所以B(－1，)，且tan α＝－，所以tan 2α＝＝. 答案　(－1，)　

专题二　三角函数的图象与性质
A组 三年高考真题（2016～2014年）
1.(2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin
1.解析　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin，故选D. 答案 D
2.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
2.解析　由题图可知，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，
所以函数的解析式为y＝2sin，故选A. 答案 A
3.(2016·四川，4)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点(　　)
A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度
C.向上平行移动个单位长度 D.向下平行移动个单位长度
3.解析　由y＝sin x得到y＝sin(x±a)的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A
4．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)
A.，k∈Z B.，k∈Z
C.，k∈Z D.，k∈Z

4.解析 由图象知＝－＝1， ∴T＝2.由选项知D正确． 答案 D　
5.(2015·山东，4)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5.解析 ∵y＝sin＝sin，
∴要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位． 答案 B　
6.(2014·天津，8)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为(　　)
A. B. C.π D.2π
6.解析 由题意得函数f(x)＝2sin(ω＞0)， 又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是，
由正弦函数的图象知，ωx＋＝和ωx＋＝对应的x的值相差， 即＝，解得ω＝2，
所以f(x)的最小正周期是T＝＝π. 答案 C　
7.(2014·陕西，2)函数f(x)＝cos的最小正周期是(　　)
A. B.π C.2π D.4π
7.解析 由余弦函数的复合函数周期公式得T＝＝π. 答案 B　
8.(2014·四川，3)为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点(　　)
A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度
8.解析 由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 答案 A　
9.(2014·浙江，4)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(　　)
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
9.解析 因为y＝sin 3x＋cos 3x＝cos，所以将y＝cos 3x的图象向右平移个单位后可得到
y＝cos的图象．答案 A　
10.(2014·安徽，7)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　)
A. B. C. D.
10.解析 方法一　f(x)＝sin，
将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝sin，由该函数为偶函数可知2φ－＝kπ＋，k∈Z， 即φ＝＋，k∈Z， 所以φ的最小正值为.
方法二　f(x)＝cos，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为
y＝cos，且该函数为偶函数， 故2φ＋＝kπ，k∈Z， 所以φ的最小正值为. 答案 C　
11.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，
④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
11.解析 ①y＝cos|2x|，最小正周期为π；②y＝|cos x|，最小正周期为π；③y＝cos，最小正周期为π；
④y＝tan，最小正周期为，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A. 答案 A　
12.(2014·福建，7)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A.y＝f(x)是奇函数 B.y＝f(x)的周期为π
C.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 D.y＝f(x)的图象关于点对称
12.解析 函数y＝sin x的图象向左平移个单位后，得到函数f(x)＝sin＝cos x的图象，f(x)＝cos x为偶函数，排除A；f(x)＝cos x的周期为2π，排除B；因为f＝cos＝0，所以f(x)＝cos x不关于直线x＝对称，排除C；故选D. 答案 D　
13.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移________个单位长度得到.
13.解析 y＝sin x－cos x＝2sin，由y＝2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到. 答案

14.(2015·天津，11)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数
y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
14.解析 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin， 由－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ， 由题意f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k＝0，ω≥，
又函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称， 所以sin(ω2＋)＝1，ω2＋＝， 所以ω＝. 答案
15.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．

15.解析 由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5， ∴ymax＝k＋3＝8. 答案 8　
16.(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.
16.解析 由知sin ωx＝cos ωx， 即sin ωx－cos ωx＝0， ∴sin＝0，
∴ωx＝＋kπ，x＝(k∈Z)， ∴两函数交点坐标为(k＝0，2，4，…)，
或(k＝…，－3，－1，1，3，…) ∴最短距离为＝2，
∴＝4， ∴ω＝. 答案 　
17.(2014·重庆，13)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－≤φ＜)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x 的图象，则f＝________.
17.解析 把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，
再把函数y＝sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数f(x)＝sin的图象， 所以f＝sin＝sin＝. 答案 　
18.(2015·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x

Asin(ωx＋φ)
0
5

－5
0
(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，
求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．
18.解 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x

π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin， 因此g(x)＝5sin＝5sin.
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z.
即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为.
19.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sin t，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天上午8时的温度；
(2)求实验室这一天的最大温差．
19.解 (1)f(8)＝10－cos－sin＝10－cos －sin ＝10－×－＝10.
故实验室上午8时的温度为10 ℃.
(2)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，又0≤t＜24， 所以≤t＋＜，
－1≤sin≤1. 当t＝2时，sin＝1；当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
20.(2014·四川，17)已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．
20.解 (1)由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由已知，有sin＝cos(cos2α－sin2α)，
所以sin αcos ＋cos αsin ＝(cos2 α－sin2 α)，
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z，此时cos α－sin α＝－.
当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝.
由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或cos α－sin α＝－.
21.(2014·福建，18)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．
(1)求f的值； (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
21.解 f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1.
(1)f＝sin＋1＝sin＋1＝2.
(2)T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
22.(2014·北京，16)函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
22.解　(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，所以2x＋∈. 于是当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
B组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·四川成都第二次诊断)将函数f(x)＝cos的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为(　　)
A.g(x)＝cos B.g(x)＝cos C.g(x)＝cos D.g(x)＝cos
1.解析 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，则有g(x)＝cos. 答案 B
2.(2016·山西四校联考)已知函数f(x)＝cos的部分图象如图所示，
则y＝f取得最小值时x的集合为(　　)
A. B. C. D.

2.解析 依题意得T＝＝4＝π，ω＝2，f＝cos＝1，
又|φ|<，因此φ＝－，所以f(x)＝cos.
当f＝cos取得最小值时，2x－＝2kπ－π，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z， 答案 B
3.(2015·石家庄模拟)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为(　　)
A. B. C.0 D.－
3.解析 函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位， 得g(x)＝sin＝sin的图象，
又g(x)的函数图象关于y轴对称，所以g(x)为偶函数， 所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)，
当k＝0时，φ＝，故选B. 答案 B
4.(2015·黄冈模拟)当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则函数y＝f是(　　)
A.奇函数且图象关于点对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称
C.奇函数且图象关于直线x＝对称 D.偶函数且图象关于点对称
4.解析 当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，即＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，
所以f(x)＝Asin(A＞0)， 所以y＝f(－x)＝Asin＝－Acos x，
所以函数为偶函数且图象关于点对称，选D. 答案 D
5.(2015·河南焦作市统考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象(　　)
A.关于点对称 B.关于直线x＝对称 C.关于点对称 D.关于直线x＝对称
5.解析　f(x)＝2sin＝2cos， π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，
即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 答案　(k∈Z)
6.(2015·怀化市监测)函数y＝2sin的单调增区间为________.
6.解析 由于函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π， 故＝π，ω＝2.
把其图象向右平移个单位后得到函数的解析式为y＝sin＝sin，为奇函数，
∴－＋φ＝kπ，∴φ＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝，∴函数f(x)＝sin.
令2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－，k∈Z， 故函数的对称中心为(k∈Z).
故点是函数的一个对称中心. 答案　C
7.(2015·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为4.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将f(x)的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)的图象，P，Q分别为函数g(x)图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP的大小.

7.解 (1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝＝＝sin.
∵T＝4，ω＞0，∴ω＝＝. ∴f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)＝sinx.
∵P，Q分别为该图象的最高点和最低点， ∴P(1，)，Q(3，－).
∴OP＝2，PQ＝4，OQ＝， ∴cos∠OQP＝＝.
∵∠OQP是△OPQ的一个内角， ∴∠OQP＝.
专题三　三角恒等变换
A组 三年高考真题（2016～2014年）
1.(2016·新课标全国Ⅲ，6)若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
1.解析 tan θ＝－，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝. 答案 D
2.(2016·新课标全国Ⅱ，11)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
2.解析 因为f(x)＝cos 2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－2＋，
所以当sin x＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 B
3.(2015·重庆，6)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝(　　)
A. B. C. D.
3.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝. 答案 A　
4.(2016·浙江，11)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________.
4.解析 ∵2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋1＋sin 2x＝＋1
＝sin＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，
∴A＝，b＝1. 答案 　1
5.(2016·山东，17)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值.
5.解 (1)由f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2＝2sin2x－(1－2sin xcos x)
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1＝sin 2x－cos 2x＋－1＝2sin＋－1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到y＝2sin＋－1的图象.
再把得到的图象向左平移个单位，得到y＝2sin x＋－1的图象，
即g(x)＝2sin x＋－1. 所以g＝2sin ＋－1＝.
6.(2016·北京，16)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值； (2)求f(x)的单调递增区间.
6.解 (1)f(x)＝2sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx
＝＝sin
由ω＞0，f(x)最小正周期为π得＝π， 解得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
7.(2015·广东，16)已知tan α＝2.
(1)求tan的值； (2)求的值．
7.解 (1)tan＝＝＝＝－3.
(2)＝
＝＝＝＝1.
8.(2015·北京，15)已知函数f(x)＝sin x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最小值．
8.解 (1)因为f(x)＝sin x＋cos x－.＝2sin－. 所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x≤时，所以≤x＋≤π. 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.
9.(2015·福建，21)已知函数f(x)＝10sin cos ＋10cos2.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，
且函数g(x)的最大值为2.
①求函数g(x)的解析式；
②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.
9.(1)解 因为f(x)＝10sin cos ＋10cos2＝5sin x＋5cos x＋5＝10sin＋5，
所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.
(2)证明 ①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10sin x＋5的图象，再向下平移a
(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sin x＋5－a的图象．
又已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13. 所以g(x)＝10sin x－8.
②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sin x0－8＞0，即sin x0＞. 由＜知，存在0＜α0＜，使得sin α0＝.
由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sin x＞. 因为y＝sin x的周期为2π，
所以当x∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sin x＞.
因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞＞1，
所以对任意的正整数k，都存在正整数x0∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)，使得sin xk＞.
亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.
10.(2014·广东，16)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值； (2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
10.解 (1)∵f(x)＝Asin，且f＝， ∴Asin＝⇒Asin ＝⇒A＝3.
(2)由(1)知f(x)＝3sin， ∵f(θ)－f(－θ)＝， ∴3sin(θ＋)－3sin＝，
展开得3－3＝， 化简得sin θ＝.
∵θ∈，∴cos θ＝. ∴f＝3sin＝3sin＝3cos θ＝.
11.(2014·浙江,18)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2＋4sin Asin＝2＋.
(1)求角C的大小； (2)已知b＝4,△ABC的面积为6,求边长c的值．
11.解 (1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sin Asin B＝2＋，
化简得－2cos Acos B＋2sin Asin B＝， 故cos(A＋B)＝－. 所以A＋B＝，从而C＝.
(2)因为S△ABC＝absin C， 由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝3，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得c＝.

B组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·江西九校联考)已知α∈，cos α＝－，则tan等于(　　)
A.7 B. C.－ D.－7
1.解析 ∵α∈，cos α＝－， ∴sin α＝－，
∴tan α＝＝， ∴tan＝＝. 答案　B
2.(2016·洛阳统考)若α∈[0，2π)，则满足＝sin α＋cos α的α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.∪
2.解析　由＝sin α＋cos α得sin α＋cos α＝sin≥0，
又因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为∪，故选D. 答案　D
3.(2016·河南六市联考)设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝，则有(　　)
A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
3.解析　利用三角公式化简得a＝cos 2°－sin 2°＝cos(60°＋2°)＝cos 62°＝sin 28°，
b＝tan 28°，c＝＝sin 25°.
因为sin 25°<sin 28°<tan 28°， 所以c<a<b，故选D. 答案　D
4.(2015·大庆市质检二)已知sin α＝，则sin2α－cos2α的值为(　　)
A.－ B.－ C. D.
4.解析 sin2α－cos2α＝－cos 2α＝2sin2α－1＝－. 答案 B
5.(2015·烟台模拟)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cos β等于(　　)
A.－ B.－ C. D.
5.解析 ∵α，β是锐角，∴0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－＜0，cos α＝，
∴＜α＋β＜π， ∴sin(α＋β)＝，sin α＝.
又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝. 答案　C
6.(2015·河北唐山模拟)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝(　　)
A. B.－ C.或0 D.－或0
6.解析　因为2sin 2α＝1＋cos 2α，所以2sin 2α＝2cos2 α，
所以2cos α·(2sin α－cos α)＝0，解得cos α＝0或tan α＝.
若cos α＝0，则α＝kπ＋，k∈Z， 2α＝2kπ＋π，k∈Z，所以tan 2α＝0；
若tan α＝，则tan 2α＝＝. 综上所述，故选C. 答案　C
7.(2015·巴蜀中学一模)已知＝，tan(α－β)＝，则tan β＝________.
7.解析 ∵＝＝＝， ∴tan α＝1.
∵tan(α－β)＝＝，∴tan β＝. 答案
8.(2015·河南洛阳统考)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值； (2)若0＜α＜，－＜β＜0且sin β＝－，求sin α的值.
8.解 (1)∵a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，
∴|a－b|2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，
∴＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝.
(2)∵0＜α＜，－＜β＜0且sin β＝－，∴cos β＝且0＜α－β＜π.
又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cos β＋cos(α－β)·sin β＝×＋×＝.
专题四　解三角形
A组 三年高考真题（2016～2014年）
1. (2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，
则b＝(　　)
A. B. C.2 D.3
1.解析 由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3，故选D.答案 D
2.(2016·山东，8)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)
A. B. C. D.
2.解析 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cos A)，又∵a2＝2b2(1－sin A)，
∴cos A＝sin A，∴tan A＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝，故选C.答案 C
3.(2015·广东,5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a＝2,c＝2,cos A＝,且b<c,则b＝(　　)
A. B.2 C.2 D.
3.解析 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，
∴b＝4或b＝2，又b<c，∴b＝2. 答案 C　
4.(2014·四川，8)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)

A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m
4.解析 ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，
∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)，故选C. 答案 C　
5.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
5.解析 在△ABC中由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝.答案
6.(2016·北京，13)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________.
6.解析 由＝得sin C＝＝×＝， 又0＜C＜，所以C＝，B＝π－(A＋C)＝.
所以＝＝＝1. 答案 1
7.(2015·北京，11)在△ABC中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝________.
7.解析 由正弦定理得sin ∠B＝＝＝，因为∠A为钝角，所以∠B＝. 答案 　
8.(2015·重庆，13)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且a＝2，cos C＝－，3sin A