2019年湖南省长沙市中考数学试题(含答案)-(43518).doc

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长沙市 2019 年初中学业水平考试数学试题卷

一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共
12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
1．下列个数中，比﹣ 3 小的数是

A．﹣5

B．﹣ 1
C．0

D． 1
2．根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到
2020 年，长沙电网建设改造投
资规模达到
15000000000 元，确保安全供用电需求数据
15000000000 用科学记数法表示
为

A ．15
109
B． 1.5 109
C． 1.5
1010

D． 0.15 1011
3．下列计算正确的是

A ． 3a
2b
5ab
B． (a3 )2
a6

C． a6
a3
a2
D． (a b)2

a2
b2
4．下列事件中，是必然事件的是

A ．购买一张彩票，中奖
B ．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D ．任意画一个三角形，其内角和是180 °
5．如图，平行线
AB ，CD 被直线 AE 所截，∠ 1＝ 80°，则∠ 2 的度数是
A ．80°

B． 90°
C．100°

D． 110°

6．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是

7．在庆祝新中国成立 70 周年的校园歌唱比赛中， 11 名参赛同学的成绩各不相同，按照成

绩取前 5 名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需

要知道这 11 名同学成绩的

A ．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

第 5 题

第 9 题
第 10题
8．一个扇形的半径为
6，圆心角为 120°，则该扇形的面积是

A ．2π
B． 4π
C．12π
D． 24π

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1

9．如图， Rt △ ABC 中，∠ C＝ 90°，∠ B＝ 30°，分别以点
A 和点 B 为圆心，大于
1

AB 的

2

长为半径作弧，两弧相交于
M 、N 两点，作直线 MN ，交 BC 于点 D，连接 AD ，则∠

CAD 的度数是

A ．20°
B． 30°

C．45°

D． 60°

10．如图，一艘轮船从位于灯塔

C 的北偏东
60°方向，距离灯塔
60 n mile 的小岛 A 出发，

沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔 C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时轮船 B

与小岛 A 的距离是

A．30 3
n mileB． 60 n mile

C． 120 n mile
D． (30
30
3) n mile

11．《孙子算经》 是中国传统数学的重要著作，
其中有一道题， 原文是：“今有木， 不知长短，

引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何
?”意思是：用一根绳子去量

一根木头的长、绳子还剩余
4.5 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余
1 尺，问木头

长多少尺？可设木头长为
x 尺，绳子长为
y 尺，则所列方程组正确的是

y x
4.5
y
x
4.5
y x
4.5
y
x
4.5

A ．
B ．
y
2x
1
C．
x 1
D ．
2x
1

0.5y
x 1
0.5y
y

12．如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 10， tanA ＝2， BE ⊥ AC 于点 E， D 是线段 BE 上的一个

动点，则 CD ＋

5

BD 的最小值是

5

A．2 5

B．4 5

C．5 3
D．10

二、填空题（本题共

6 小题，每小题
3 分，共
18 分）

13．式子 x 5 在实数范围内有意义，则实数
x 的取值范围是
．

14．分解因式： am2

9a ＝
．

x
1

0

15．不等式组
6
的解集是
．

3x
0

16．在一个不透明的袋子中有若千个小球， 这些球除颜色外无其他差别， 从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验， 然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：

根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 （结果保留小数点后一位） ．

17．如图， 要测量池塘两岸相对的 A ，B 两点间的距离， 可以在池塘外选一点 C，连接 AC ，

BC，分别取 AC ， BC 的中点 D， E，测得 DE＝ 50m，则 AB 的长是 m．

2

k
18．如图，函数 y
(k 为常数， k＞ 0)的图象与过原点的
O 的直线相交于 A ， B 两点，点

x

M 是第一象限内双曲线上的动点
（点 M 在点 A 的左侧），直线 AM 分别交 x 轴， y 轴于
C，D 两点，连接 BM 分别交 x 轴， y 轴于点 E， F．现有以下四个结论：①△
ODM 与
△OCA 的面积相等； ②若 BM ⊥ AM 于点 M ，则∠ MBA ＝ 30 °；③若 M 点的横坐标为 1，
△ OAM 为等边三角形，则 k＝ 2
3 ；④若 MF＝ 2
MB ，则 MD ＝ 2MA ．其中正确的

5

结论的序号是
．

第 12题

第 9 题
第 10题

三、解答题（本大题共
8 小题，共
66 分）

19．（ 6 分）计算：
1
)
1
6 3 2cos60
．

2 (

2

20．（ 6 分）先化简，再求值： ( a
3
1
)
a2
4a 4 ，其中 a＝ 3．
a
1
a
1
a2
a

21．（ 8 分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况， 该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查 ,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：

（ 1）本次调查随机抽取了 名学生；表中 m＝ ， n＝ ；

（ 2）补全条形统计图；

（ 3）若全校有 2000 名学生， 请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．

3

22．（ 8 分）如图，正方形 ABCD ，点 E， F 分别在 AD ， CD 上，且 DE ＝CF， AF 与 BE 相交于点 G．

（ 1）求证： BE＝ AF ；

（ 2）若 AB ＝ 4，DE ＝1，求 AG 的长．

23．（ 9 分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，

据统计，第一批公益课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次．

（ 1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；

（ 2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？

24．（ 9 分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

（ 1）某同学在探究相似四边形的判定时， 得到如下三个命题， 请判断它们是否正确 （直接在横线上填写“真”或“假”） ．

①条边成比例的两个凸四边形相似；
（
命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；
（
命题）
③两个大小不同的正方形相似．
（

命题）

（ 2）如图 1，在四边形 ABCD 和四边形
A 1B1C1D 1 中，∠ ABC ＝∠ A 1B 1C1，∠ BCD ＝
∠ B1C1D1， AB
BC
CD
，求证：四边形
ABCD 与四边形 A 1B 1C1D1 相
A1B1
B1C1
C1 D1

似．

（ 3）如图 2，四边形 ABCD 中， AB ∥ CD，AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作 EF∥ AB 分别交 AD ，BC 于点 E， F．记四边形 ABFE 的面积为 S1，四边形 EFDE 的面积

为 S2，若四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似，求 S2 的值．
S1

4

25．（ 10 分）已知抛物线 y
2x2
(b
2) x (c 2020) ( b，c 为常数 )．

（ 1）若抛物线的顶点坐标为
(1， 1)，求 b， c 的值；

（ 2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求
c 的取值范围；

（ 3）在（ 1）的条件下， 存在正实数
m，n( m＜ n)，当 m≤ x≤ n 时，恰好有
m
≤
1

2m 1
y 2

n
，求 m， n 的值．

≤

2n
1

26
10

2
a 为常数，
a ＞
0)

x

O

A

B

．（

分）如图，抛物线

与

轴交于

，

两点，点

为抛物线的顶点，点
D 的坐标为 (t， 0)(﹣ 3＜ t＜ 0)，连接 BD 并延长与过
O，A ，B
三

点的⊙ P 相交于点 C．

（ 1）求点 A 的坐标；

（ 2）过点 C 作⊙ P 的切线 CE 交 x 轴于点 E．①如图 1，求证： CE＝ DE；②如图 2，

连接 AC ， BE， BO，当 a ＝


3


，∠ CAE ＝∠ OBE 时，求 1 1 的值．

3

OD OE

5

参考答案

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