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1．1.2 余弦定理(二)
[学习目标] 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．
知识点一 余弦定理及其推论
1．a2＝b2＋c2－2bccos__A，b2＝c2＋a2－2cacos__B，c2＝a2＋b2－2abcos__C．
2．cos A＝，cos B＝，cos C＝．
3．在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角，c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角．
知识点二 正弦、余弦定理解决的问题
思考 以下问题不能用余弦定理求解的是________．
(1)已知两边和其中一边的对角，解三角形；
(2)已知两角和一边，解三角形；
(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形；
(4)已知一个三角形的三条边，解三角形．
答案 (2)
题型一 利用余弦定理判断三角形的形状
例1 在△ABC中，cos2＝，其中a，b，c分别是角A，B，C的对边，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
答案 A
解析 方法一 在△ABC中，由已知得
＝＋，
∴cos B＝＝，
化简得c2＝a2＋b2.
故△ABC为直角三角形．
方法二 原式化为cos B＝＝，
∴cos Bsin C＝sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴sin Bcos C＝0，
∵B∈(0，π)，sin B≠0，∴cos C＝0，
又∵C∈(0，π)，∴C＝，
即△ABC为直角三角形．
反思与感悟 一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．
跟踪训练1 在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则三角形一定是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
答案 B
解析 由余弦定理cos B＝，
代入得＝，
∴a2＋c2－2ac＝0，
即(a－c)2＝0，∴a＝c.
又∵B＝60°，∴△ABC是等边三角形．
题型二 正弦、余弦定理的综合应用
例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
(1)证明：sin Asin B＝sin C；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.
(1)证明 根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)．
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.
代入＋＝中，有
＋＝，变形可得：
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，
有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以sin Asin B＝sin C.
(2)解 由已知，b2＋c2－a2＝bc，
根据余弦定理，有cos A＝＝.所以sin A＝＝.
由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋sin B，
故tan B＝＝4.
反思与感悟 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息．
(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用．
跟踪训练2 在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求角B；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
解 (1)由bsin A＝acos B及正弦定理，
得sin B＝cos B，
即tan B＝，因为B是三角形的内角，所以B＝.
(2)由sin C＝2 sin A及正弦定理得，c＝2a.
由余弦定理及b＝3，得9＝a2＋c2－2accos，
即9＝a2＋4a2－2a2，所以a＝，c＝2.
题型三 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式
例3 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：＝.
证明 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
∴a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B，
∴2(a2－b2)＝2accos B－2bccos A，
即a2－b2＝accos B－bccos A，
∴＝.
由正弦定理得＝，＝，
∴＝＝，
故等式成立．
反思与感悟 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．
(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系．
跟踪训练3 在△ABC中，若acos2＋ccos2 ＝，求证：a＋c＝2b.
解 由题a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝3b，
即a＋a·＋c＋c·＝3b，
∴2ab＋a2＋b2－c2＋2bc＋b2＋c2－a2＝6b2，
整理得ab＋bc＝2b2，同除b得a＋c＝2b，
故等式成立．
例4 已知钝角三角形的三边BC＝a＝k，AC＝b＝k＋2，AB＝c＝k＋4，求k的取值范围．
错解 ∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，
∴C为钝角．
由余弦定理得cos C＝＝<0.
∴k2－4k－12<0，解得－2<k<6，①
∵k为三角形的一边长，∴k>0，②
由①②知0<k<6.
错因分析 忽略隐含条件k＋k＋2>k＋4，即k>2.
正解 ∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，
∴C为钝角．
由余弦定理得cos C＝＝<0，
∴k2－4k－12<0，解得－2<k<6，①
由两边之和大于第三边得k＋(k＋2)>k＋4，
∴k>2，②
由①②可知2<k<6.
误区警示 在解与三角形的边有关的问题时，一定要注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
跟踪训练4 若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是( )
A．(1，) B．(，5)
C．(，) D．(1，)∪(，5)
答案 D
解析 (1)若x>3，则x对角的余弦值<0且2＋3>x，
解得<x<5.
(2)若x<3，则3对角的余弦值<0且x＋2>3，
解得1<x<.
故x的取值范围是(1，)∪(，5)．
1．在△ABC中，bcos A＝acos B，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
答案 B
解析 由题b·＝a·，
整理得a2＝b2，∴a＝b.
2．在△ABC中，sin2A－sin2C－sin2B＝sin Csin B，则A等于( )
A．60° B．45° C．120° D．30°
答案 C
解析 由正弦定理得a2－c2－b2＝bc，
结合余弦定理得cos A＝＝－，
又A∈(0，π)，∴A＝120°.
3．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos A得72＝52＋AC2－2·5·AC·(－)，
∴AC＝3或－8(舍)．∴＝＝.
4．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是( )
A．(8，10) B．(2，)
C．(2，10) D．(，8)
答案 B
解析 只需让3和a所对的边均为锐角即可．
故，解得2<a<.
5．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________．
答案 1
解析 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴a2＋1＋a＝3，即a2＋a－2＝0，
解得a＝1或a＝－2(舍)．
6．已知△ABC的三边长分别为2，3，4，则此三角形是________三角形．
答案 钝角
解析 4所对的角的余弦为＝－<0，
故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形．
1.判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．
2．解决综合问题时应考虑以下两点
(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理．
(2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯．
学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80％。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！ 当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界……不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，游刃有余地攻克自己之前没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧，缓解紧张的方法……我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习中得到提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事，在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样，不要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学习过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，对自己的收益将难以估量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就看的比较费力，现在好了，作者也不等你，直接把你撂那。第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯了。第三，作者在书中提到各种学习的类型，但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍，比如，将学习分为好几种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点就不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比较的困难，但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。
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