2年高考上海卷理工类数学试题(含答案和解析).doc

2016年普通高等学校招生全国统一考试
上海 数学试卷（理工农医类）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.[来源:Zxxk.Com]
1、设x,则不等式的解集为______________________
【答案】（2,4）
【解析】试题分析：
由题意得：，解得.
考点：绝对值不等式的基本解法.
2、设，期中为虚数单位，则=______________________
【答案】-3
【解析】
试题分析：

考点：1.复数的运算；2.复数的概念.
3、已知平行直线，则的距离_______________
【答案】
【解析】试题分析：
利用两平行线间距离公式得
考点：主要考查两平行线间距离公式.
4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）
【答案】1.76
【解析】试题分析：
将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.
考点：主要考查了中位数的概念.
5、已知点在函数的图像上，则
【答案】
【解析】试题分析：
将点（3，9）带入函数的解析式得，所以，用表示得，所以.
考点：反函数的概念以及指对数式的转化.
6、如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于____________
【答案】
【解析】试题分析：
由题意得。
考点：线面角
7、方程在区间上的解为___________
【答案】
【解析】试题分析：
化简得：，所以，解得或（舍去），所以在区间[0，2π]上的解为.学.科.网    
考点：二倍角公式及三角函数求值.
8、在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________
【答案】112
【解析】试题分析：
由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为，由题意得，所以，考点：中二项式的通项为，求常数项则令，所以，所以.
考点：二项式定理.
9、已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________
【答案】
【解析】试题分析：
利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为，所以此角的正弦值为，由正弦定理得,所以
考点：正弦、余弦定理.
10、设若关于的方程组无解，则的取值范围是____________
【答案】
【解析】试题分析：
将方程组中的（1）式化简得，代入（2）式整理得，方程组无解应该满足且，所以且，所以由基本不等式得.
考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.
11. 无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，，则k的最大值为________.

【答案】4
【解析】试题分析：
要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为，所以最多由4个不同的数组成.
考点：数列的项与和.
12.在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是 .
【答案】

考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的图象和性质；3.数形结合的思想.
13.设，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为 .
【答案】4
【解析】试题分析：
，当确定时，唯一，故有4种组合.
考点：三角函数
14.如图，在平面直角坐标系中，O为正八边形的中心，.任取不同的两点，点P满足，则点P落在第一象限的概率是.

【答案】
【解析】试题分析：
共有种基本事件，其中使点P落在第一象限共有种基本事件，故概率为.
考点：古典概型
二、 选择题（5×4=20）
15. 设，则“”是“”的（ ）
（A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：
，所以是充分非必要条件，选A.
考点：充要条件
16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ）

（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【解析】试题分析：
依次取，结合图形可知只有满足，选D.
考点：极坐标系
17. 已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，使得恒成立的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】试题分析：
由题意得：对一切正整数恒成立，当时不恒成立，舍去；当时，因此选B.    
考点：1.数列的极限；2.等比数列的求和.
18、设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
、①和②均为真命题、①和②均为假命题
、①为真命题，②为假命题、①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】
试题分析：
因为必为周期为的函数，所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此①不一定.选D.函数性质
考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.
三、解答题（74分）

19. 将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧。

（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小。
【答案】（1）．（2）．
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．
确定．计算后即得.
（2）设过点的母线与下底面交于点，根据，知或其补角为直线与所成的角．确定，．得出．
试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．
由的长为，可知．
，
．
（2）设过点的母线与下底面交于点，则，
所以或其补角为直线与所成的角．
由长为，可知，
又，所以，
从而为等边三角形，得．
因为平面，所以．
在中，因为，，，所以，
从而直线与所成的角的大小为．

考点：1.几何体的体积；2.空间的角.[来源:学§科§网]
20、 （本题满分14）
有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图

（1） 求菜地内的分界线的方程
（2） 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值
【答案】（1）（）．（2）五边形面积更接近于面积的“经验值”．
【解析】
试题分析：（1）由上的点到直线与到点的距离相等，知是以为焦点、以
为准线的抛物线在正方形内的部分．
（2）计算矩形面积，五边形面积．进一步计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可．
试题解析：（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以
为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）．
（2）依题意，点的坐标为．
所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差
的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”．
考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积.
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率.
【答案】（1）．（2）.
【解析】
试题分析：（1）设．根据是等边三角形，得到，解得．
（2）（2）设，，直线与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据与双曲线交于两点，可得，且．[来源:Zxxk.Com]
设的中点为．由，计算，从而．
得出的方程求解．
试题解析：（1）设．
由题意，，，，
因为是等边三角形，所以，
即，解得．
故双曲线的渐近线方程为．
（2）由已知，，．
设，，直线．显然．
由，得．
因为与双曲线交于两点，所以，且．
设的中点为．[来源:学*科*网]
由即，知，故．
而，，，
所以，得，故的斜率为．
考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.平面向量的数量积.
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）．（2）．（3）．
【解析】
试题分析：（1）由，利用得求解．
（2）转化得到，讨论当、时，以及且时的情况．
（3）讨论在上单调递减．
确定函数在区间上的最大值与最小值之差.得到，对任意
成立．
试题解析：（1）由，得，
解得．[来源:Zxxk.Com]
（2），，
当时，，经检验，满足题意．
当时，，经检验，满足题意．
当且时，，，．
是原方程的解当且仅当，即；
是原方程的解当且仅当，即．
于是满足题意的．
综上，的取值范围为．
（3）当时，，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意
成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，时，
有最小值，由，得．
故的取值范围为．   
考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.
【答案】（1）．（2）不具有性质．（3）见解析．
【解析】
试题分析：（1）根据已知条件，得到，结合求解．
（2）根据的公差为，的公比为，写出通项公式，从而可得．
通过计算，，，，即知不具有性质．
（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．
试题解析：（1）因为，所以，，．
于是，又因为，解得．
（2）的公差为，的公比为，
所以，．
．
，但，，，
所以不具有性质．
（3）[证]充分性：
当为常数列时，．
对任意给定的，只要，则由，必有．
充分性得证．
必要性：
用反证法证明．假设不是常数列，则存在，
使得，而．
下面证明存在满足的，使得，但．
设，取，使得，则
，，故存在使得．
取，因为（），所以，
依此类推，得．
但，即．
所以不具有性质，矛盾．
必要性得证．
综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．
考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.充要条件的证明；3.反证法.
17