2019年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科).doc

2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求．
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（﹣1，0） D．（0，1）
2．（5分）若复数（a+i）（2+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．-12 D．12
3．（5分）设变量x，y满足约束条件x+y≤52x-y≤4y≤x+1y≥0，则目标函数z＝2x+y的最大值为（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
4．（5分）已知p：“x＝2”，q：“x﹣2=2-x”，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知sin2α=13，则cos2（α-π4）＝（　　）
A．16 B．13 C．23 D．56
6．（5分）已知向量a→=（2，1），b→=（﹣1，k），a→⊥（2a→+b→），则k＝（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
7．（5分）（2x﹣y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为（　　）
A．﹣40 B．120 C．160 D．200
8．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为（　　）

A．2π+8 B．π+8 C．2π+83 D．π+83
9．（5分）将偶函数f（x）=3sin（2x+φ）﹣cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移π6个单位，得到y＝g（x）的图象，则g（x）的一个单调递减区间为（　　）
A．（-π3，π6） B．（π12，7π12） C．（π6，2π3） D．（π3，5π6）
10．（5分）已知矩形ABCD，AB＝1．AD=2，E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体P﹣BCE的外接球表面积为（　　）
A．10π B．5π C．5π2 D．55π12
11．（5分）双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的个交点为A，若|AF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（　　）
A．1+2 B．1+3 C．2+2 D．2+3
12．（5分）设a为常数，函数f（x）＝ex（x﹣a）+a，给出以下结论：
①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；
②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0：
③若a＜0，则当x＜0时，f（x）＜0
其中正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题每小题5分，满分20分.
13．（5分）已知双曲线x2a2-y22=1（a＞0）的一条渐近线为y=2x，则实数a＝　 　．
14．（5分）不透明的布袋中有3个白球，2个黑球，5个红球共10个球（除颜色外完全相同），从中随机摸出2个球，则两个球不同色的概率为　 　．
15．（5分）已知f（x）＝log2（4x+1）﹣x，则使得f（2x﹣1）+1＜log25成立的x的取值范围是　 　
16．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，且a＝1，A=2π3，若当b、c变化时，g（b，c）＝b+λc存在最大值，则正数λ的取值范围是　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共70分解否须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）数列{an}中，a1＝1，an+an+1＝pn+1，其中p为常数．
（1）若a1，a2，a4成等比数列，求P的值：
（2）是否存在p，使得数列{an}为等差数列？并说明理由．
18．（12分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：
学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
数学
117
128
96
113
136
139
121
124
121
115
115
123
125
117
123
122
132
129
96
105
106
120
物理
80
81
83
85
89
81
91
78
85
91
72
76
87
82
79
82
81
89
63
73
77
45

学号
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
数学
108
137
87
95
108
119
101
128
125
74
81
135
101
97
116
102
76
100
62
86
120
101
物理
76
80
71
57
72
65
69
79
0
55
56
77
63
70
75
63
59
64
42
62
77
65
用这44人的两科成绩制作如下散点图：

学号为22号的A同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A、B两同学的成绩（对应于图中A、B两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：
数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ＝0.8222，回归直线l（如图所示）的方程为y＝0.5006x+18.68．
（Ⅰ）若不剔除A、B两同学的数据，用全部44的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ0，回归直线为l0，试分析γ0与γ的大小关系，并在图中画出回归直线l0的大致位置．
（Ⅱ）如果B同学参加了这次物理考试，估计B同学的物理分数（精确到个位）：
（Ⅲ）就这次考试而言，学号为16号的C同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式Zi=Xi-Xs统一化成标准分再进行比较，其中Xi为学科原始分，X为学科平均分，s为学科标准差）．
19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，DF＝BE＝1，AF＝CE=3，且平面ADF⊥底面ABCD，平面BCE⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：EF⊥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角A﹣EF﹣C的余弦值．

20．（12分）已知过点D（4，0）的直线1与椭圆C：x24+y2=1交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1y2≠0，O为坐标原点．
（Ⅰ）若x1＝0，求△OAB的面积：
（Ⅱ）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA，TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．
21．（12分）已知常数a＞0，函数f（x）＝ln（1+x）-2x2a+x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性：
（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=acosθy=sinθ（θ为参数，a＞0），直线l的参数方程为x=-1+ty=3-t（t为参数）．
（Ⅰ）若a＝2，求曲线C与l的普通方程；
（Ⅱ）若C上存在点P，使得P到l的距离为24，求a的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．
（Ⅰ）若f （1）+f（2）＞5，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x的不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，32），求a，b的值．

2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求．
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（﹣1，0） D．（0，1）
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，
B＝{x|﹣1＜x＜1}，
则A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2）．
故选：B．
2．（5分）若复数（a+i）（2+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．-12 D．12
【解答】解：∵复数（a+i）（2+i）＝2a﹣1+（a+2）i在复平面内所对应的点在虚轴上，
∴2a﹣1＝0，即a=12．
故选：D．
3．（5分）设变量x，y满足约束条件x+y≤52x-y≤4y≤x+1y≥0，则目标函数z＝2x+y的最大值为（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
【解答】解：作出变量x，y满足约束条件x+y≤52x-y≤4y≤x+1y≥0可行域如图：
由z＝2x+y知，
所以动直线y＝﹣2x+z的纵截距z取得最大值时，
目标函数取得最大值．
由x+y=52x-y=4得A（3，2）．
结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，
目标函数取得最大值z＝2×3+2＝8．
故选：B．

4．（5分）已知p：“x＝2”，q：“x﹣2=2-x”，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由q：“x﹣2=2-x”，解得：x＝1（舍去）或x＝2，
由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立．
∴p是q的充分必要条件，
故选：C．
5．（5分）已知sin2α=13，则cos2（α-π4）＝（　　）
A．16 B．13 C．23 D．56
【解答】解：∵sin2α=13，
∴cos2（α-π4）=1+cos(2α-π2)2=1+sin2α2=1+132=23．
故选：C．
6．（5分）已知向量a→=（2，1），b→=（﹣1，k），a→⊥（2a→+b→），则k＝（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
【解答】由a→=（2，1），b→=（﹣1，k），得2a→+b→=（3，2+k），
由a→⊥（2a→+b→），
所以2×3+1×（2+k）＝0，
所以k＝﹣8，
故选：A．
7．（5分）（2x﹣y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为（　　）
A．﹣40 B．120 C．160 D．200
【解答】解：∵（x+2y）5＝x5+10x4y+40x3y2+80x2y3+80xy4+32y5，
∴（2x﹣y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为160﹣40＝120，
故选：B．
8．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为（　　）

A．2π+8 B．π+8 C．2π+83 D．π+83
【解答】解：根据三视图，转换为几何体为：左侧是一个半圆锥，右侧是一个四棱锥，
如图所示：

所以：V几何体＝V1+V2，
=12⋅13⋅π⋅12⋅2+13⋅2⋅2⋅2，
=π+83
故选：D．
9．（5分）将偶函数f（x）=3sin（2x+φ）﹣cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移π6个单位，得到y＝g（x）的图象，则g（x）的一个单调递减区间为（　　）
A．（-π3，π6） B．（π12，7π12） C．（π6，2π3） D．（π3，5π6）
【解答】解：函数f（x）=3sin（2x+φ）﹣cos（2x+φ），
=2sin(2x+φ-π6)，
由于函数f（x）为偶函数且0＜φ＜π，
故：φ=2π3，
所以：函数f（x）＝cos2x的图象向右平移π6个单位．
得到：g（x）＝2cos（2x-π3）的图象，
令：2kπ≤2x-π3≤2kπ+π（k∈Z），
解得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3（k∈Z），
故函数的单调递减区间为：[kπ+π6，kπ+2π3]（k∈Z），
当k＝0时，单调递减区间为：[π6，2π3]，
由于：（π6，2π3）⊂[π6，2π3]，
故选：C．
10．（5分）已知矩形ABCD，AB＝1．AD=2，E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体P﹣BCE的外接球表面积为（　　）
A．10π B．5π C．5π2 D．55π12
【解答】解：由AB＝1，AD=2，E为AD中点，
可得PE=22，PB＝PC＝1，
得∠EPB＝∠EPC＝90°，
∠CPB＝90°，
∴P﹣BCE为长方体一角，
其外接球直径为其体对角线长，
∴2R=PE2+PC2+PB2=102，
∴R=104，
∴外接球表面积为4πR2=5π2，
故选：C．

11．（5分）双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的个交点为A，若|AF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（　　）
A．1+2 B．1+3 C．2+2 D．2+3
【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c＝1，
因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，|AF2|＝|F1F2|，
由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以 b2a=2c，
c2＝a2+b2＝1，解得a=2-1，双曲线的离心率e=ca=1+2．
故选：A．
12．（5分）设a为常数，函数f（x）＝ex（x﹣a）+a，给出以下结论：
①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；
②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0：
③若a＜0，则当x＜0时，f（x）＜0
其中正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：函数f（x）＝ex（x﹣a）+a，可得f（0）＝0，
f（x）恒过原点，
①，若a＞1，由f（x）的导数为f′（x）＝ex（x﹣a+1），
即有x＞a﹣1时，f（x）递增；x＜a﹣1时，f（x）递减，
可得x＝a﹣1处取得最小值，且f（a﹣1）＝a﹣ea﹣1，
由ex≥x+1，可得a﹣ea﹣1＜0，即有f（a﹣1）＜0，f（a）＝a＞0，
则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点，故正确；
②，若0＜a＜1，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，
且x→+∞时，f（x）→+∞，可得x＜a﹣1时存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0，故正确；
③，若a＜0，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且f（0）＝0，x→﹣∞时，f（x）→a，
结合图象可得当x＜0时，f（x）＜0，故正确．
故选：D．

二、填空题：本大题共4小题每小题5分，满分20分.
13．（5分）已知双曲线x2a2-y22=1（a＞0）的一条渐近线为y=2x，则实数a＝　1　．
【解答】解：双曲线x2a2-y22=1（a＞0）的一条渐近线为y=2x，
可得2a=2，解得a＝1．
故答案为：1．
14．（5分）不透明的布袋中有3个白球，2个黑球，5个红球共10个球（除颜色外完全相同），从中随机摸出2个球，则两个球不同色的概率为　3145　．
【解答】解：不透明的布袋中有3个白球，2个黑球，5个红球共10个球（除颜色外完全相同），
从中随机摸出2个球，
基本事件总数n=C102=45，
两个球不同色的包含的基本事件个数m=C102-C32-C22-C52=31，
∴两个球不同色的概率为p=mn=3145．
故答案为：3145．
15．（5分）已知f（x）＝log2（4x+1）﹣x，则使得f（2x﹣1）+1＜log25成立的x的取值范围是　（0，1）　
【解答】解：根据题意，f（x）＝log2（4x+1）﹣x，
f（﹣x）＝log2（4﹣x+1）+x＝log2（4x+1）﹣x＝f（x），则函数f（x）为偶函数，
当x＞0时，f（x）＝log2（4x+1）﹣x，其导数f′（x）=4xln4(4x+1)ln2-1=4x-14x+1＞0，
故f（x）在（0，+∞）递增，
f（1）＝log25﹣1，
故f（2x﹣1）+1＜log25，
即f（2x﹣1）＜f（1），则有f（|2x﹣1|）＜f（1），
故|2x﹣1|＜1，解得：0＜x＜1，
故不等式的解集是（0，1），
故答案为：（0，1）．
16．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，且a＝1，A=2π3，若当b、c变化时，g（b，c）＝b+λc存在最大值，则正数λ的取值范围是　（12，2）　．
【解答】解：由正弦定理得：bsinB=csinC=asinA=23，
所以b+λc=23（sinB+λsinC）
=23[sinB+λsin（π3-B）]
=23[（1-λ2）sinB+3λ2cosB]
=23(1-λ2)2+(3λ2)2sin（B+α）
其中tanα=3λ2-λ，
由B∈(0，π3），
b+λc存在最大值，即B+α=π2有解，
即α∈（π6，π2）
即3λ2-λ＞33，
所以12＜λ＜2，
故答案为：（12，2）
三、解答题：本大题共5小题，共70分解否须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）数列{an}中，a1＝1，an+an+1＝pn+1，其中p为常数．
（1）若a1，a2，a4成等比数列，求P的值：
（2）是否存在p，使得数列{an}为等差数列？并说明理由．
【解答】解：（1）∵数列{an}中，a1＝1，an+an+1＝pn+1，其中p为常数．
∴a1+a2＝p+1，a2+a3＝2p+1，a3+a4＝3p+1，
∴a2＝p，a3＝p+1，a4＝2p，
∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22=a1a4，∴p2＝2p，
∵p≠0，∴p＝2．
（2）当n≥2时，an+an+1＝pn+1，an﹣1+an＝pn﹣p+1，
相减，得：an+1﹣an﹣1＝p，
∴{a2n﹣1}是首项为1，公差为p的等差数列，{a2n}是首项为p，公差为p的等差数列，
∴a2n﹣1＝p+（n﹣1）p＝pn+1﹣p=p2(2n-1)+1-p2，
a2n＝p+（n﹣1）p＝np=p2⋅2n，
∴要使得数列{an}为等差数列，则1-p2=0，解得p＝2，
∴存在p＝2，使得数列{an}为等差数列．
18．（12分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：
学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
数学
117
128
96
113
136
139
121
124
121
115
115
123
125
117
123
122
132
129
96
105
106
120
物理
80
81
83
85
89
81
91
78
85
91
72
76
87
82
79
82
81
89
63
73
77
45

学号
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
数学
108
137
87
95
108
119
101
128
125
74
81
135
101
97
116
102
76
100
62
86
120
101
物理
76
80
71
57
72
65
69
79
0
55
56
77
63
70
75
63
59
64
42
62
77
65
用这44人的两科成绩制作如下散点图：

学号为22号的A同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A、B两同学的成绩（对应于图中A、B两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：
数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ＝0.8222，回归直线l（如图所示）的方程为y＝0.5006x+18.68．
（Ⅰ）若不剔除A、B两同学的数据，用全部44的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ0，回归直线为l0，试分析γ0与γ的大小关系，并在图中画出回归直线l0的大致位置．
（Ⅱ）如果B同学参加了这次物理考试，估计B同学的物理分数（精确到个位）：
（Ⅲ）就这次考试而言，学号为16号的C同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式Zi=Xi-Xs统一化成标准分再进行比较，其中Xi为学科原始分，X为学科平均分，s为学科标准差）．
【解答】解：（Ⅰ）γ0＜γ，
说明理由可以是：
①离群的点A，B会降低变量间的线性关联程度，
②44个数据点与回归直线l0的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，
③42个数据点与回归直线l的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，
④42个数据点更加贴近回归直线l，
⑤44个数据点与回归直线l0更离散，或其他言之有理的理由均可；
，
要点：直线l0斜率须大于0且小于l的斜率，
具体位置稍有出入没有关系，无需说明理由；
（Ⅱ）令x＝125，代入y＝0.5006x+18.68≈81，
故估计B同学的物理分数大约是81分；
（Ⅲ）由表中知C同学的数学原始分为122，物理原始分为82，
数学标准分为Z16=x16-xs1=122-110.518.36≈0.63，
物理标准分为Z16=y16-ys2=82-7411.18≈0.72，
0.72＞0.63，
故C同学物理成绩比数学成绩要好一些．
19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，DF＝BE＝1，AF＝CE=3，且平面ADF⊥底面ABCD，平面BCE⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：EF⊥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角A﹣EF﹣C的余弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）分别过点E，F作BC，AD的垂线，垂足为N，M，连结MN，
∵平面ADF⊥平面ABCD，且平面ADF∩平面ABCD＝AD，
∴FM⊥平面ABCD，
又MN⊂平面ABCD，∴FM⊥MN，
同理可证EN⊥平面ABCD，∴FM∥EN，
过点B作BG⊥AD，垂足为G，
在Rt△AGB中，∠BAD＝60°，AB＝2，则AG＝1，
又MD=12，∴GM＝BN=12，
又GM∥BN，∴四边形BNMG为平行四边形，则MN∥GB，
∴MN⊥AD，
又FM∩AD＝M，∴MN⊥平面ADF，
故EF⊥平面ADF．
解：（Ⅱ）以M为原点，建立空间直角坐标系，
由（Ⅰ）知MN＝GB=3，则A（32，0，0），F（0，0，32），E（0，3，32），C（-32，3，0），
∴FE→=（0，3，0），AF→=（-32，0，32），FC→=（-32，3，-32），
设平面AEF的一个法向量m→=（x，y，z），
则m→⋅AF→=0m→⋅FE→=0，即-32x+32z=03y=0，
取x＝1，得m→=（1，0，3），
设平面EFC的法向量n→=（x，y，z），
则n→⋅FC→=0n→⋅FE→=0，即-32x+3y-32z=03y=0，
取x＝1，得n→=（1，0，-3），
设二面角A﹣EF﹣C的平面角为θ，
则cosθ=-|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=-|1-3|2×2=-12，
∴二面角A﹣EF﹣C的余弦值为-12．

20．（12分）已知过点D（4，0）的直线1与椭圆C：x24+y2=1交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1y2≠0，O为坐标原点．
（Ⅰ）若x1＝0，求△OAB的面积：
（Ⅱ）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA，TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．
【解答】解：（Ⅰ）当x1＝0时，A（0，1）或A（0，﹣1），
由对称性，不妨令A（0，1），此时直线l：x+4y﹣4＝0，
联立x+y-4=0x2+4y2=4，消x整理可得5y2﹣8y+3＝0，解得y1＝1，或y2=85，故B（85，35），
所以△OAB的面积为12×1×85=45，
（Ⅱ）显然直线l的斜率不为0，设直线l：x＝my+4，
联立x=my+4x2+4y2=4，消去x整理得（m2+4）y2+8my+12＝0，
所以△＝64m2﹣4×12（m2+4）＞0，即m2＞12，
则y1+y2=-8mm2+4，y1y2=12m2+4，
设T（t，0），
则kTA+kTB=y1x1-t+y2x2-t=y1(x2-t)+y2(x1-t)(x1-t)(x1-t)=2my1y2+(4-t)(y1+y2)(x1-t)(x2-t)，
因为直线TA，TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，
所以kTA+kTB＝0，
即2my1y2+（4﹣t）（y1+y2）=24mm2+4+8m(t-4)m2+4=8m(t-1)m2+4=0，解得t＝1，
故x轴上存在定点T（1，0），使得直线TA，TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．
21．（12分）已知常数a＞0，函数f（x）＝ln（1+x）-2x2a+x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性：
（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．
【解答】解；（Ⅰ）f′（x）=x2+4a2-4a(x+1)(x+2a)2，
①当4a2﹣4a≥0即a≥1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
②当4a2﹣4a＜0即0＜a＜1时，
由f′（x）＝0，即x2+4a2﹣4a＝0，
解得：x1＝﹣2a-a2（舍），x2＝2a-a2，
由f′（x）＜0，解得：0＜x＜x2，
由f′（x）＞0，解得：x＞x2，
故f（x）在（0，2a-a2）递减，在（2a-a2，+∞）递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若f（x）的两个极值点是x1，x2，则0＜a＜1，
且x1＝﹣2a-a2，x2＝2a-a2分别是f（x）的极大值点和极小值点，
由f（x）的定义域知﹣2a-a2＞-1，且﹣2a-a2≠-2a，解得：a≠12，
又f（x1）+f（x2）
＝ln（1+x1）-2x12a+x1+ln（1+x2）-2x22a+x2
＝ln（1+x1+x2+x1x2）-4x1x2+4a(x1+x2)(2a+x1)(2a+x2)，
将x1+x2＝0，x1x2＝4a2﹣4a代入得：
f（x1）+f（x2）＝ln（4a2﹣4a+1）-4(a2-a)2a2-a，
令2a﹣1＝t，得：f（x1）+f（x2）＝lnt2+2t-2，
由0＜a＜1且a≠12知，﹣1＜t＜1且t≠0，
记h（t）＝lnt2+2t-2，
①当0＜t＜1时，h（t）＝2（lnt+1t）﹣2，h′（t）＝2(t-1t2)＜0，
故h（t）在（0，1）递减，故h（t）＞h（1）＝0，
即当0＜2a﹣1＝t＜1即12＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0，
②当﹣1＜t＜0时，h（t）＝2（ln（﹣t）+1t-2，h′（t）＝2(t-1t2)＜0，
故h（t）在（﹣1，0）递减，h（t）＜h（﹣1）＝﹣4＜0，
即当﹣1＜2a﹣1＝t＜0，即0＜a＜12时，f（x1）+f（x2）＜0，
综上，满足条件的a的范围是（12，1）．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=acosθy=sinθ（θ为参数，a＞0），直线l的参数方程为x=-1+ty=3-t（t为参数）．
（Ⅰ）若a＝2，求曲线C与l的普通方程；
（Ⅱ）若C上存在点P，使得P到l的距离为24，求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为x=acosθy=sinθ（θ为参数，a＞0），
由于：a＝2，
故：x=2cosθy=sinθ（θ为参数），
所以转换为直角坐标方程为：x24+y2=1．
（Ⅱ）设点P（acosθ，sinθ），
则：点P到直线的距离d=|acosθ+sinθ-2|2=|1+a2sin(β+θ)-2|2，
当1+a2≥2时，
即a≥3时，0≤d≤1+a2+22，
当1+a2＜2时，
即：0＜a＜3时，
2-a2+12≤d≤1+a2+22，
由于：1+a2+22＞1+22=32，
所以当a≥3时，始终满足条件．
当a＜3时，由2-a2+12≤24，
解得：a≥52
故：a的取值范围是：[52，+∞)．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．
（Ⅰ）若f （1）+f（2）＞5，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x的不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，32），求a，b的值．
【解答】解：（Ⅰ）由f（1）+f（2）＞5得|1﹣a|+|2﹣a|＞2，
当a≥2时，a﹣1+a﹣2＞2，解得：a＞52，
当1≤a＜2时，a﹣1+2﹣a＞2，不等式无解，
当a≤1时，1﹣a+2﹣a＞2，解得：a＜12，
综上，a的范围是（﹣∞，12）∪（52，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）＜b，
∴|x﹣a|+x＜b，
当x≥a时，x﹣a+x＜b，解得：x＜a+b2，
当x＜a时，a﹣x+x＜b，得a＜b，
由不等式的解集是（﹣∞，32），
则a＜ba+b2=32，又a，b∈N*，
故a＝1，b＝2．
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