直线、平面平行的判定与性质知识点大全、经典例题解析、高考练习题.doc

直线、平面平行的判定与性质【考纲说明】1、理解直线与平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；2、会利用直线与平面、平面与平面的位置关系以及平行的判定定理和性质定理解决简单的应用与证明问题；3、本部分内容在高考中占5-10分左右.【趣味链接】1、 在修建公路时，工人师傅会拉一条笔直的线，以此作为高度的标准，这条线与地平面是平行的，运用的就是线面平行的原理，这样建造的楼房才会平整，不会高低不平.2、 磁悬浮列车利用“同性相斥，异性相吸”的原理，让磁铁具有抗拒地心引力的能力，使车体完全脱离轨道，悬浮在距离轨道约1厘米处，腾空行驶，创造了近乎“零高度”空间飞行的奇迹。其实，磁悬浮列车所在的平面与轨道平面是两个互相平行的面，这样列车才能安全、高速的运动，如果不平行，非常可能发生脱轨现象。【知识梳理】1. 直线与平面平行的判定与性质1、直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示aa=Aa|图形表示 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L和平面平行，记作L |。（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。简记为：线线平行，则线面平行.符号表示：.1、 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行. 简记为：线面平行，则线线平行. 符号表示：若.2. 平面与平面平行的判定与性质1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。符号表示为：平面、平面，若a，则a2、判定定理：判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。图形条件,bbPbll结论3、性质定理：性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面图形 条件 b a l a结论 ab l a3. 解题方法（1） 证明直线与平面平行的常用方法：2. 利用定义，证明直线与平面没有公共点。一般结合反证法来证明；3. 利用直线和平面平行的判定定理，注意定理成立时应满足的条件；4. 利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行；2、证明平面与平面平行的常用方法：（1）利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用两个平面垂直于同一直线；（4）证明两个平面同时平行于第三个平面；【经典例题】【例1】（2012浙江）设l是直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A.若l,l，则 B.若l，l，则 C.若,l, 则l D.若, l, 则l【解析】B【例2】（2012四川）下列命题正确的是（ ） A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】C【例3】（2011江西）已知，是三个相互平行的平面平面，之间的距离为，平面，之间的距离为直线与，分别相交于，那么“=”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】C【例4】（2011辽宁）如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是 AACSB BAB平面SCD CSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 【解析】D【例5】（2012全国）设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且 则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 即不充分也不必要条件【解析】A【例6】（2012河南），是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A，B，C，共面D，共点，共面【解析】B【例7】（2012江苏）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点D 不同于点C），且为的中点DCABEF求证：（1）平面平面； （2）直线平面ADE 【解析】（1）三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC，AD平面ABC，ADCC1又ADDE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线AD平面BCC1B1，AD平面ADE平面ADE平面BCC1B1；（2）A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点A1FB1C1，CC1平面A1B1C1，A1F平面A1B1C1，A1FCC1又B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线A1F平面BCC1B1又AD平面BCC1B1，A1FADA1F平面ADE，AD平面ADE，直线A1F平面ADE【例8】（2012浙江）如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为的菱形，且BAD120，且PA平面ABCD，PA，M，N分别为PB，PD的中点()证明：MN平面ABCD；() 过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值【解析】（）如图连接BDM，N分别为PB，PD的中点，在PBD中，MNBD又MN平面ABCD，MN平面ABCD；() 【例9】（2012北京）如图1，在中，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2。（）求证：平面；（）求证：；（）线段上是否存在点，使平面？说明理由。【解析】解：（1）D，E分别为AC，AB的中点，DEBC，又DE平面A1CB，DE平面A1CB，（2）由已知得ACBC且DEBC，DEAC，DEA1D，又DECD，DE平面A1DC，而A1F平面A1DC，DEA1F，又A1FCD，A1F平面BCDE，A1FBE（3）线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBCDEBC， DEPQ平面DEQ即为平面DEP由（）知DE平面A1DC，DEA1C，又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，A1CDP，A1C平面DEP，从而A1C平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ【例10】(2013四川)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA1，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；（2）设（1）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA1MN的余弦值【解析】（1） 过点P作直线lBC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内， 由直线与平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.（2）二面角AA1MN的余弦值为.【例11】（2012河南）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1PA1C1， 连接AP交棱CC1于D（）求证：PB1平面BDA1；（）求二面角AA1DB的平面角的余弦值.【解析】二面角AA1DB的平面角的余弦值为【例12】（2012辽宁）如图，直三棱柱，点M，N分别为和的中点. ()证明：平面; ()若二面角为直二面角，求的值.【解析】(1)连结AB,AC,由已知BAC=90, AB=AC,三棱柱ABC-ABC为直三棱柱，所以M为AB中点. 又因为N为BC的中点，所以MNAC. 又MN平面AACC，AC平面AACC, 因此MN平面AACC.(2)以A为坐标原点,分别以直线AB,AC,AA为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系O-xyz,设AA=1,则AB=AC=, 于是A(0,0,0),B(,0,0),C(0,0),A(0,0,1),B(,0,1),C(0,1). 所以M,N. 设=(x1,y1,z1)是平面AMN的法向量，可取=(1,-1,). 设=(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量，可取=(-3,-1,). 因为A-MN-C为直二面角，所以-3+(-1)(-1)+2=0，解得=. 【课堂练习】1、（2006陕西）已知平面外不共线的三点A,B,C到的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面ABC必平行于 B.平面ABC必与相交 C.平面ABC必不垂直于 D.存在ABC的一条中位线平行于或在内2、（2013新课标）已知m，n为异面直线，m平面，n平面，直线l满足lm，ln，l，l，则（)A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l3、（2013广东）设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A. 若,则 B若,则C若,则 D若,则4、(2011烟台)已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn.其中正确命题的个数为() A1 B2 C3 D45、（2013浙江）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若m，n，则mnB若m，m，则C若mn，m，则nD若m，则m6、(2011福建)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_7、(2013山东)如图所示，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，联结GH.(1)求证：ABGH；(2)求二面角DGHE的余弦值8、(2013江苏)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.9、（2013新课标）如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1平面A1CD； (2)求二面角DA1CE的正弦值10、（2013安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60.(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)求cosCOD.11、(2013湖北)如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足.记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，二面角ElC的大小为，求证：sinsinsin.12、(2011北京)如图，在四面体PABC中，PCAB，PABC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点(1)求证：DE平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由13、(2011天津)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点(1)证明：PB平面ACM； (2)证明：AD平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值14、（2012浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB=，AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点（1）证明：（i）EFA1D1 （ii）BA1平面B1C1EF；（1） 求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值15、（2009浙江）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， （I）设是的中点，证明：平面； （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离【课后作业】1、(2011潍坊)已知m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A若，则B若mn，m，n，则C若mn，m，则nD若n，n，则2、(2011日照)若l、m、n为直线，、为平面，则下列命题中为真命题的是()A若m，m，则B若m，n，则mnC若，则D若，l，则l3、(2011山东)已知直线m、n及平面，其中mn，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：一条直线；一个平面；一个点；空集其中正确的是()A B C D4、设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题正确的命题的个数是（ ） 若若 A0个B1个C2个D3个5、（2011浙江）下列命题中错误的是（ ） A.如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C.如果平面，平面，那么 D.如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面6、（2007北京）平面平面的一个充分条件是（） A存在一条直线 B存在一条直线 C存在两条平行直线 D存在两条异面直线7、设m，n是平面 内的两条不同直线，是平面 内的两条相交直线，则/ 的一个充分不必要条件（ ） A. m/且l/ B. m/l且n/l C. m/且n/ D. m /且n/l8、(2011琼海)下面给出四个命题：若平面平面，AB，CD是夹在，间的线段，若ABCD，则ABCD；a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c一定是异面直线过空间任一点，可以做两条直线和已知平面垂直；平面平面，P，PQ，则PQ；其中正确的命题是_(只填命题号) 9、（2013江西）如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_10、(2011枣庄)已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_个 11、已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点 （1）求证：平面； （2）若， 求异面直线与所成的角的大小. 12、正方体中，、分别是、的中点，求证：平面平面.13、如下图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.（1）求证：EM平面A1B1C1D1；（2）求二面角BA1NB1的正切值； 14、 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，AB=CC1=a，BC=b.（1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF平面ABC；（2）求证：A1C1AB；15、（2013广东） 如图，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图14(2)所示的三棱锥ABCF，其中BC.(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当AD时，求三棱锥FDEG的体积来源:学&科&网Z&X&X&K16、（2013福建）在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM平面PBC；(3)求三棱锥DPBC的体积17、（2013北京） 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.18、（2013辽宁）如图14，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点(1)求证：BC平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.19、(2013陕西)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O底面ABCD，ABAA1.(1)证明：平面A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积20、（2013天津）如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点(1)证明EF平面A1CD；(2)证明平面A1CD平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值21、(2006北京)如图，在底面为平行四边表的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（）求证：；（）求证：平面；（）求二面角的大小.22、（2012福建）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点。（）求证：B1EA D1（）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。 （）若二面角A-B1E-A1的大小为30，求AB的长。AB=2【参考答案】【课堂练习】1、 D 2、D 3、D 4、B 5、C 6、7、(2) 8、（1）ASB中，SA=AB且AFSB，F为SB的中点E、G分别为SA、SC的中点，EF、EG分别是SAB、SAC的中位线，可得EFAB且EGACEF平面ABC，AB平面ABC，EF平面ABC，同理可得EG平面ABC又EF、EG是平面EFG内的相交直线，平面EFG平面ABC；（2）平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBC=SB，AF平面ASB，AFSBAF平面SBC又BC平面SBC，AFBCABBC，AFAB=A，BC平面SAB又SA平面SAB，BCSA 9、 10、1712 11、 (1)直线l平面PAC12、(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点由(2)知，DFEGQ，且QDQEQFQGEG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QMQNEG.所以Q为满足条件的点13、 14、(1)证明：()因为C1B1A1D1，C1B1平面A1D1DA，所以C1B1平面A1D1DA，又因为平面B1C1EF平面A1D1DAEF，所以C1B1EF，所以A1D1EF.()因为BB1平面A1B1C1D1，所以BB1B1C1.又因为B1C1B1A1，所以B1C1平面ABB1A1，所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B，即A1B1FAA1B，故BA1B1F，所以BA1平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.由(1)知BA1平面B1C1EF，所以BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角在矩形AA1B1B中，AB，AA12，得BH.在直角BHC1中，BC12，BH，得sinBC1H，所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是. 15、I）连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则O（0，0，0），A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F（4，0，3），由题意得，G（0，4，0）因OB(8，0，0)，OE(0，4，3)，因此平面BOE的法向量为n(0，3，4)，（4分）FG(4，4，3)得nFG0，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG平面BOE（6分）（II）设点M的坐标为（x0，y0，0），则FM(x04，y0，3)，因为FM平面BOE，所以有FMn，因此有x0=4，y094，即点M的坐标为(4，94，0)，在平面直角坐标系xoy中，AOB的内部区域满足不等式组x0y0xy8，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在AOB内存在一点M，使FM平面BOE【课后作业】1、D 2、B 3、C 4、 5、D 6、D 7、B 8、 9、410、2 11、30度12、证明：连结B1D1，则由正方体可知BDB1D1,又可知PNB1D1,所以可知PNBD同理可证得MNA1D且PN和MN在平面PMN中交于点N，BD和A1D在平面A1BD中交于点D所以可知平面PMN平面A1BD13、（）证明：取A1B1的中点F，连EF，C1F E为A1B中点 EF BB1又M为CC1中点 EF C1M四边形EFC1M为平行四边形 EMFC1 而EM 平面A1B1C1D1 . FC1平面A1B1C1D1 .EM平面A1B1C1D1（）由EM平面A1B1C1D1 EM平面A1BMN平面A1BMN平面A1B1C1D1=A1N A1N/ EM/ FC1 N为C1D1 中点过B1作B1HA1N于H，连BH，根据三垂线定理 BHA1NBHB1即为二面角BA1NB1的平面角设AA1=a， 则AB=2a， A1B1C1D1为正方形A1H=， 又A1B1HNA1D1B1H=，在RtBB1H中，tanBHB1=即二面角BA1NB1的正切值为14、（1）可由证得 （2）先证得到， 从而得到，又由 得到，故 （3）15（1）在等边三角形中， ,在折叠后的三棱锥中也成立， ,平面，平面，平面；（2）在等边三角形中，是的中点，所以，. 在三棱锥中，；（3）由（1）可知，结合（2）可得. 16、VDPBC8 17、略18、证明：(1)由AB是圆O的直径，得ACBC. 由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.(2)联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC中点，由Q为PA中点，得QMPC.又O为AB中点，得OMBC.因为QMMOM，QM平面QMO.MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG平面PBC.19、证明：由题设知，BB1DD1，四边形BB1D1D是平行四边BDB1D1.又BD1平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1B1C1BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C.又A1B1平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1，又SABD1，VABDA1B1D1SABDA1O1.20、 21、 22、AB=2200904231616