2012高考四川理科数学试题及答案(高清版).doc

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试
数学理工农医类(四川卷)

参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)＝P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
Pn(k)＝pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)
球的表面积公式 S＝4πR2
其中R表示球的半径
球的体积公式 V＝πR3
其中R表示球的半径
第一部分　(选择题　共60分)
本部分共12小题，每小题5分，共60分．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．)(1＋x)7的展开式中x2的系数是(　　)
A．42 B．35 C．28 D．21
2．复数(　　)
A．1 B．－1 C．i D．－i
3．函数在x＝3处的极限(　　)
A．不存在 B．等于6
C．等于3 D．等于0
A．101 B．808 C．1 212 D．2 012
4．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC，ED，则sin∠CED＝(　　)

A． B．
C． D．
5．函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)

6．下列命题正确的是(　　)
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
8．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　)
A． B． C．4 D．
9．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是(　　)
A．1 800元 B．2 400元
C．2 800元 D．3 100元
10．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP＝60°，则A，P两点间的球面距离为(　　)

A． B．
C． D．
11．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同．在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有(　　)
A．60条 B．62条 C．71条 D．80条
12．设函数f(x)＝2x－cosx，{an}是公差为的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5＝(　　)
A．0 B． C． D．
第二部分　(非选择题　共90分)
本部分共10小题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(UA)∪(UB)＝________.
14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．

15．椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B．当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
16．记[x]为不超过实数x的最大整数．例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.设a为正整数，数列{xn}满足x1＝a，(n∈N*)．现有下列命题：
①当a＝5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn＝xk；
③当n≥1时，xn＞－1；
④对某个正整数k，若xk＋1≥xk，则xk＝[]．
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ.
18．函数(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．

(1)求ω的值及函数f(x)的值域；
(2)若，且x0∈(，)，求f(x0＋1)的值．
19．如图，在三棱锥P－ABC中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA，平面PAB⊥平面ABC．

(1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小；
(2)求二面角B－AP－C的大小．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n都成立．
(1)求a1，a2的值；
(2)设a1＞0，数列的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值．
21．如图，动点M与两定点A(－1,0)，B(2,0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB．设动点M的轨迹为C．

(1)求轨迹C的方程；
(2)设直线y＝－2x＋m与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．
22．已知a为正实数，n为自然数，抛物线y＝－x2＋与x轴正半轴相交于点A．设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
(1)用a和n表示f(n)；
(2)求对所有n都有成立的a的最小值；
(3))当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．

1． D　含x2的项是展开式中的第三项T3＝x2＝21x2，所以x2的系数是21.
2． B　.
3． A　当x＜3时，；
当x＞3时，.
由于f(x)在x＝3处的左极限不等于右极限，所以函数f(x)在x＝3处的极限不存在．
4． B　因为四边形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，所以∠AED＝.
在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，所以sin∠BEC＝，cos∠BEC＝.sin∠CED＝sin(－∠BEC)＝cos∠BEC－sin∠BEC＝.
5． D　当x＝－1时，y＝a－1－＝0，∴函数图象恒过(－1,0)点，显然只有D项符合，故选D项．
6．C　若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A项不正确错；
如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个点的平面与这个平面相交，B项不正确；
如图，平面α∩β=b，a∥α，a∥β，过直线a作平面ε∩α=c，过直线a作平面γ∩β=d，∵a∥α，∴a∥c，∵a∥β，∴a∥d，∴d∥c，∵cα，dα，∴d∥α，又∵dβ，∴d∥b，∴a∥b，C项正确；

若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可平行、可相交，D项不正确．
7．C　因为，则向量与是方向相同的单位向量，所以a与b共线同向，即使成立的充分条件为C项．
8． B　由抛物线定义，知＋2＝3，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x.因为点M(2，y0)在抛物线上，所以，故.
9． C　设某公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为目标函数z＝300x＋400y.
作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点．

作直线l0：3x＋4y＝0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值，由得B(4,4)，满足题意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2 800.
10．A　过点A作AH⊥平面BCD，∵平面BCD与底面所成的角为45°，AO⊥平面α，且点B为交线上与平面α的距离最大的点，∴点H在OB上，且∠AOB=45°.过点H作HM⊥OP，垂足为M，连接AM，在等腰直角三角形AOH中，AH=OH=.在Rt△HOM中，∠HOP=60°，∴HM=OH·.在Rt△AHM中，，则在Rt△AMO中，，
∴cos∠AOP=，∴，
∴A，P两点的球面距离为.

11． B　因为a，b不能为0，先确定a，b的值有种，则c有种，即所形成的抛物线有条．当b＝±2时，b2的值相同，重复的抛物线有条；当b＝±3时，b2的值相同，重复的抛物线有条，所以不同的抛物线共有条．
12． D　因为{an}是以为公差的等差数列，所以a1＝a3－，a2＝a3－，a4＝a3＋，a5＝a3＋，则f(a1)＝2a3－－cos(a3－)，f(a2)＝2a3－－cos(a3－)，f(a3)＝2a3－cosa3，f(a4)＝2a3＋－cos(a3＋)，f(a5)＝2a3＋－cos(a3＋)．
所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＋f(a5)
＝10a3－[cos(a3－)]＋cos(a3－)＋cosa3＋cos(a3＋)＋[cos(a3＋)]
＝10a3－(cosa3＋cosa3＋2coscosa3)
＝10a3－(＋1＋2cos)cosa3＝5π.则a3＝.
于是a1＝a3－＝，a5＝a3＋＝，f(a3)＝2×－cos＝π.
故[f(a3)]2－a1a5＝π2－×＝.
13．答案：{a，c，d}
解析：UA＝{c，d}，UB＝{a}，所以(UA)∪(UB)＝{a，c，d}．
14．答案：90°
解析：如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立坐标系D－xyz.
设正方体的棱长为2，则＝(2，－1，2)，＝(0,2,1)，，故异面直线A1M与ND所成角为90°.

15．答案：3
解析：设椭圆的右焦点为F1，则|AF|＝2a－|AF1|＝4－|AF1|，
∴△AFB的周长为2|AF|＋2|AH|＝2(4－|AF1|＋|AH|)．
∵△AF1H为直角三角形，
∴|AF1|＞|AH|，仅当F1与H重合时，|AF1|＝|AH|，
∴当m＝1时，△AFB的周长最大，此时
S△FAB＝×2×|AB|＝3.

16．答案：①③④
解析：当a＝5时，x1＝5，，，①正确．
当a＝1时，x1＝1，，x3＝1，xk恒等于；
当a＝2时，x1＝2，，，
所以当k≥2时，恒有；
当a＝3时，x1＝3，，，，，，
所以当k为偶数时，xk＝2，当k为大于1的奇数时，xk＝1，②不正确．
在xn＋[]中，当为正整数时，xn＋[]＝xn＋≥，
∴；当不是正整数时，令[]＝－t，t为[]的小数部分，0＜t＜1，，∴xn＋1≥[]，∴xn≥[]，即xn＞－1，③正确．
由以上论证知，存在某个正整数k，若xk＋1≥xk，则xk＝[]，④正确．
17．解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么
.
解得.
(2)由题意，P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝3)＝.
所以，随机变量ξ的概率分布列为
ξ
0
1
2
3
P

故随机变量ξ的数学期望：
.
18．解：(1)由已知可得，
f(x)＝3cosωx＋sinωx＝sin(ωx＋)．
又正三角形ABC的高为，从而BC＝4.
所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即，.
函数f(x)的值域为[，]．
(2)因为，由(1)有
，
即.
由x0∈(，)，知，
所以.
故
＝
＝
＝.
19．解：解法一：(1)设AB的中点为D，AD的中点为O，连结PO，CO，CD．

由已知，△PAD为等边三角形．
所以PO⊥AD．
又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD，
所以PO⊥平面ABC．
所以∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．
不妨设AB=4，则PD=2，，OD=1，.
在Rt△OCD中，.
所以，在Rt△POC中，.
故直线PC与平面ABC所成的角的大小为.
(2)过D作DE⊥AP于E，连结CE.
由已知可得，CD⊥平面PAB．
根据三垂线定理知，CE⊥PA．
所以∠CED为二面角B－AP－C的平面角．
由(1)知，.
在Rt△CDE中，.
故二面角B－AP－C的大小为arctan 2.
解法二：(1)设AB的中点为D，作PO⊥AB于点O，连结CD．
因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD，
所以PO⊥平面ABC．
所以PO⊥CD．
由AB=BC=CA，知CD⊥AB．
设E为AC中点，
则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．
如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.

不妨设PA＝2，由已知可得，AB＝4，OA＝OD＝1，，.
所以O(0,0,0)，A(－1,0,0)，C(1,,0)，P(0,0,)．
所以＝(－1，，)，而＝(0,0，)为平面ABC的一个法向量．
设α为直线PC与平面ABC所成的角，
则.
故直线PC与平面ABC所成的角的大小为.
(2)由(1)有，＝(1,0,)，＝(2,,0)．
设平面APC的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则

从而
取，则y1＝1，z1＝1，
所以n＝(，1,1)．
设二面角B－AP－C的平面角为β，易知β为锐角．
而面ABP的一个法向量为m＝(0,1,0)，
则.
故二面角B－AP－C的大小为.
20．解：(1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，①
取n＝2，得＝2a1＋2a2，②
由②－①，得a2(a2－a1)＝a2.③
若a2＝0，由①知a1＝0；
若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④
由①④解得，a1＝＋1，a2＝2＋；或a1＝1－，a2＝2－.
综上可得，a1＝0，a2＝0；或a1＝＋1，a2＝＋2；或a1＝1－，a2＝2－.
(2)当a1＞0时，由(1)知a1＝＋1，a2＝＋2.
当n≥2时，有(2＋)an＝S2＋Sn，(2＋)an－1＝S2＋Sn－1，所以(1＋)an＝(2＋)an－1，即an＝an－1(n≥2)，
所以an＝a1()n－1＝(＋1)·()n－1.
令，则
bn＝1－lg()n－1＝1－(n－1)lg 2＝.
所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为)，从而b1＞b2＞…＞b7＝＞lg1＝0，
当n≥8时，，
故n＝7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为.
21．解：(1)设M的坐标为(x，y)，显然有x＞0，且y≠0.
当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．
当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，有，即.
化简可得，3x2－y2－3＝0.
而点(2，±3)在曲线3x2－y2－3＝0上，
综上可知，轨迹C的方程为3x2－y2－3＝0(x＞1)．
(2)由消去y，
可得x2－4mx＋m2＋3＝0.(*)
由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内．
设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，
所以
解得，m＞1，且m≠2.
设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|＜|PR|有，.
所以
＝.
由m＞1，且m≠2，有，且.
所以的取值范围是(1,7)∪(7,)．
22．解：(1)由已知得，交点A的坐标为(，0)．对y＝－x2＋an求导得y′＝－2x，则抛物线在点A处的切线方程为，即.则f(n)＝an.
(2)由(1)知f(n)＝an，则成立的充要条件是an≥2n3＋1.
即知，an≥2n3＋1对所有n成立．特别地，取n＝2得到.
当，n≥3时，
an＞4n＝(1＋3)n＝1＋·3＋·32＋·33＋…
≥1＋·3＋·32＋·33
＝1＋2n3＋[5(n－2)2＋(2n－5)]
＞2n3＋1.
当n＝0,1,2时，显然()n≥2n3＋1.
故时，对所有自然数n都成立．
所以满足条件的a的最小值为.
(3)由(1)知f(k)＝ak，则
，.
下面证明：.
首先证明：当0＜x＜1时，.
设函数g(x)＝(x2－x)＋1,0＜x＜1.
则．
当0＜x＜时，g′(x)＜0；当＜x＜1时，g′(x)＞0.
故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min＝g()＝0.
所以，当0＜x＜1时，g(x)≥0，即得.
由0＜a＜1知0＜ak＜1(k∈N*)，
因此，
从而
＝
＝.

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