2012高考四川理科数学试题及答案(高清版).doc

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率Pn(k)pk(1p)nk(k0,1,2，n)球的表面积公式 S4R2其中R表示球的半径球的体积公式 VR3其中R表示球的半径第一部分(选择题共60分)本部分共12小题，每小题5分，共60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1)(1x)7的展开式中x2的系数是()A42 B35 C28 D212复数()A1 B1 Ci Di3函数在x3处的极限()A不存在 B等于6C等于3 D等于0A101 B808 C1 212 D2 0124如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连结EC，ED，则sinCED()A BC D5函数yax(a0，且a1)的图象可能是()6下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|8已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A B C4 D9某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1 800元 B2 400元C2 800元 D3 100元10如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足BOP60，则A，P两点间的球面距离为()A BC D11方程ayb2x2c中的a，b，c3，2,0,1,2,3，且a，b，c互不相同在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A60条 B62条 C71条 D80条12设函数f(x)2xcosx，an是公差为的等差数列，f(a1)f(a2)f(a5)5，则f(a3)2a1a5()A0 B C D第二部分(非选择题共90分)本部分共10小题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13设全集Ua，b，c，d，集合Aa，b，Bb，c，d，则(UA)(UB)_.14如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_15椭圆的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B当FAB的周长最大时，FAB的面积是_16记x为不超过实数x的最大整数例如，22，1.51，0.31.设a为正整数，数列xn满足x1a，(nN*)现有下列命题：当a5时，数列xn的前3项依次为5,3,2；对数列xn都存在正整数k，当nk时总有xnxk；当n1时，xn1；对某个正整数k，若xk1xk，则xk其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E.18函数(0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形(1)求的值及函数f(x)的值域；(2)若，且x0(，)，求f(x01)的值19如图，在三棱锥PABC中，APB90，PAB60，ABBCCA，平面PAB平面ABC(1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小；(2)求二面角BAPC的大小20已知数列an的前n项和为Sn，且a2anS2Sn对一切正整数n都成立(1)求a1，a2的值；(2)设a10，数列的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值21如图，动点M与两定点A(1,0)，B(2,0)构成MAB，且MBA2MAB设动点M的轨迹为C(1)求轨迹C的方程；(2)设直线y2xm与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|PR|，求的取值范围22已知a为正实数，n为自然数，抛物线yx2与x轴正半轴相交于点A设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距(1)用a和n表示f(n)；(2)求对所有n都有成立的a的最小值；(3)当0a1时，比较与的大小，并说明理由1 D含x2的项是展开式中的第三项T3x221x2，所以x2的系数是21.2 B.3 A当x3时，；当x3时，.由于f(x)在x3处的左极限不等于右极限，所以函数f(x)在x3处的极限不存在4 B因为四边形ABCD是正方形，且AEAD1，所以AED.在RtEBC中，EB2，BC1，所以sinBEC，cosBEC.sinCEDsin(BEC)cosBECsinBEC.5 D当x1时，ya10，函数图象恒过(1,0)点，显然只有D项符合，故选D项6C若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A项不正确错；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个点的平面与这个平面相交，B项不正确；如图，平面=b，a，a，过直线a作平面=c，过直线a作平面=d，a，ac，a，ad，dc，c，d，d，又d，db，ab，C项正确；若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可平行、可相交，D项不正确7C因为，则向量与是方向相同的单位向量，所以a与b共线同向，即使成立的充分条件为C项8 B由抛物线定义，知23，所以p2，抛物线方程为y24x.因为点M(2，y0)在抛物线上，所以，故.9 C设某公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为目标函数z300x400y.作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点作直线l0：3x4y0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值，由得B(4,4)，满足题意，所以zmax430044002 800.10A过点A作AH平面BCD，平面BCD与底面所成的角为45，AO平面，且点B为交线上与平面的距离最大的点，点H在OB上，且AOB=45.过点H作HMOP，垂足为M，连接AM，在等腰直角三角形AOH中，AH=OH=.在RtHOM中，HOP=60，HM=OH.在RtAHM中，则在RtAMO中，cosAOP=，A，P两点的球面距离为.11 B因为a，b不能为0，先确定a，b的值有种，则c有种，即所形成的抛物线有条当b2时，b2的值相同，重复的抛物线有条；当b3时，b2的值相同，重复的抛物线有条，所以不同的抛物线共有条12 D因为an是以为公差的等差数列，所以a1a3，a2a3，a4a3，a5a3，则f(a1)2a3cos(a3)，f(a2)2a3cos(a3)，f(a3)2a3cosa3，f(a4)2a3cos(a3)，f(a5)2a3cos(a3)所以f(a1)f(a2)f(a3)f(a4)f(a5)10a3cos(a3)cos(a3)cosa3cos(a3)cos(a3)10a3(cosa3cosa32coscosa3)10a3(12cos)cosa35.则a3.于是a1a3，a5a3，f(a3)2cos.故f(a3)2a1a52.13答案：a，c，d解析：UAc，d，UBa，所以(UA)(UB)a，c，d14答案：90解析：如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则(2，1，2)，(0,2,1)，故异面直线A1M与ND所成角为90.15答案：3解析：设椭圆的右焦点为F1，则|AF|2a|AF1|4|AF1|，AFB的周长为2|AF|2|AH|2(4|AF1|AH|)AF1H为直角三角形，|AF1|AH|，仅当F1与H重合时，|AF1|AH|，当m1时，AFB的周长最大，此时SFAB2|AB|3.16答案：解析：当a5时，x15，正确当a1时，x11，x31，xk恒等于；当a2时，x12，所以当k2时，恒有；当a3时，x13，所以当k为偶数时，xk2，当k为大于1的奇数时，xk1，不正确在xn中，当为正整数时，xnxn，；当不是正整数时，令t，t为的小数部分，0t1，xn1，xn，即xn1，正确由以上论证知，存在某个正整数k，若xk1xk，则xk，正确17解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么.解得.(2)由题意，P(0)，P(1)，P(2)，P(3).所以，随机变量的概率分布列为0123P故随机变量的数学期望：.18解：(1)由已知可得，f(x)3cosxsinxsin(x)又正三角形ABC的高为，从而BC4.所以函数f(x)的周期T428，即，.函数f(x)的值域为，(2)因为，由(1)有，即.由x0(，)，知，所以.故.19解：解法一：(1)设AB的中点为D，AD的中点为O，连结PO，CO，CD由已知，PAD为等边三角形所以POAD又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AD，所以PO平面ABC所以OCP为直线PC与平面ABC所成的角不妨设AB=4，则PD=2，OD=1，.在RtOCD中，.所以，在RtPOC中，.故直线PC与平面ABC所成的角的大小为.(2)过D作DEAP于E，连结CE.由已知可得，CD平面PAB根据三垂线定理知，CEPA所以CED为二面角BAPC的平面角由(1)知，.在RtCDE中，.故二面角BAPC的大小为arctan 2.解法二：(1)设AB的中点为D，作POAB于点O，连结CD因为平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AD，所以PO平面ABC所以POCD由AB=BC=CA，知CDAB设E为AC中点，则EOCD，从而OEPO，OEAB如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设PA2，由已知可得，AB4，OAOD1，.所以O(0,0,0)，A(1,0,0)，C(1,0)，P(0,0,)所以(1，)，而(0,0，)为平面ABC的一个法向量设为直线PC与平面ABC所成的角，则.故直线PC与平面ABC所成的角的大小为.(2)由(1)有，(1,0,)，(2,0)设平面APC的一个法向量为n(x1，y1，z1)，则从而取，则y11，z11，所以n(，1,1)设二面角BAPC的平面角为，易知为锐角而面ABP的一个法向量为m(0,1,0)，则.故二面角BAPC的大小为.20解：(1)取n1，得a2a1S2S12a1a2，取n2，得2a12a2，由，得a2(a2a1)a2.若a20，由知a10；若a20，由知a2a11.由解得，a11，a22；或a11，a22.综上可得，a10，a20；或a11，a22；或a11，a22.(2)当a10时，由(1)知a11，a22.当n2时，有(2)anS2Sn，(2)an1S2Sn1，所以(1)an(2)an1，即anan1(n2)，所以ana1()n1(1)()n1.令，则bn1lg()n11(n1)lg 2.所以数列bn是单调递减的等差数列(公差为)，从而b1b2b7lg10，当n8时，故n7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为.21解：(1)设M的坐标为(x，y)，显然有x0，且y0.当MBA90时，点M的坐标为(2，3)当MBA90时，x2，由MBA2MAB，有，即.化简可得，3x2y230.而点(2，3)在曲线3x2y230上，综上可知，轨迹C的方程为3x2y230(x1)(2)由消去y，可得x24mxm230.(*)由题意，方程(*)有两根且均在(1，)内设f(x)x24mxm23，所以解得，m1，且m2.设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|PR|有，.所以.由m1，且m2，有，且.所以的取值范围是(1,7)(7,)22解：(1)由已知得，交点A的坐标为(，0)对yx2an求导得y2x，则抛物线在点A处的切线方程为，即.则f(n)an.(2)由(1)知f(n)an，则成立的充要条件是an2n31.即知，an2n31对所有n成立特别地，取n2得到.当，n3时，an4n(13)n13323313323312n35(n2)2(2n5)2n31.当n0,1,2时，显然()n2n31.故时，对所有自然数n都成立所以满足条件的a的最小值为.(3)由(1)知f(k)ak，则，.下面证明：.首先证明：当0x1时，.设函数g(x)(x2x)1,0x1.则当0x时，g(x)0；当x1时，g(x)0.故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)ming()0.所以，当0x1时，g(x)0，即得.由0a1知0ak1(kN*)，因此，从而.北京天梯志鸿教育科技有限责任公司