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2019高考数学（理）解答题考前60天冲刺：圆锥曲线
圆锥曲线
1..如图，在平面直角坐标系中。椭圆的右焦点为，右准线为。
〔1〕求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程。
〔2〕过点作直线交椭圆于点，又直线交于点,假设，求线段的长；
〔3〕点的坐标为，直线交直线于点，且和椭圆的一个交点为点，是否存在实数，使得，假设存在，求出实数；假设不存在，请说明理由。
2.设A、B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴长等于焦距，且是它的右准线，
(1)求椭圆方程；
(2)设P为右准线上不同于点〔4，0〕的任一点，假设直线AP、BP分别与椭圆交于异于A、B两点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内、
3.如图，椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直、直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率.
〔1〕求椭圆的标准方程；

B
〔2〕设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点、试判断直线与以为直径的圆的位置关系、
4.椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经
过点，直线交椭圆于不同的两点A，B.
〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕求的取值范围；
〔Ⅲ〕假设直线不过点M，试问是否为定值？并说明理由。
5.椭圆的焦点，过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为，过作直线l与椭圆交于A、B两点.
〔I〕求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)是否存在实数使，假设存在，求的值和直线的方程；假设不存在，说明理由、

6.椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P〔4，0〕且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕求的取值范围；
〔3〕假设B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。
7.椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线是抛物线的一条切线、
〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕过点的动直线L交椭圆C于 A、B两点、问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T?假设存在，求点T坐标；假设不存在，说明理由。
8.设椭圆的两个焦点是，且椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕假设直线与椭圆C交于不同的两点M、N，线段MN垂直平分线恒过点A〔0，-1〕，求实数m的取值范围。

9.椭圆的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点的最短距离为、
〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；
〔Ⅱ〕过点且斜率为的直线与交于、两点，是点关于轴的对称点，证明：三点共线、
10.椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为.点P(1，)、A、B在椭圆E上，且＋＝m(m∈R)、
(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
(2)当m＝－3时，证明原点O是△PAB的重心，并求直线AB的方程、
11.抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点、
〔1〕证明：直线的斜率互为相反数；
〔2〕求面积的最小值；
〔3〕当点的坐标为，且、根据〔1〕〔2〕推测并回答以下问题〔不必说明理由〕：
12.椭圆E：=1〔a＞b＞o〕的离心率e=，且经过点〔,1〕，O为坐标原点。
〔Ⅰ〕求椭圆E的标准方程；
〔Ⅱ〕圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线
x=－4在x轴上方的一点，过M作圆O的两条切线，
切点分别为P、Q，当∠PMQ=60°时，求直线PQ的方程.
13.设抛物线C1：x2＝4y的焦点为F，曲线C2与C1关于原点对称、
(Ⅰ)求曲线C2的方程；
(Ⅱ)曲线C2上是否存在一点P〔异于原点〕，过点P作C1的两条切线PA，PB，切点A，B，满足|AB|是|FA|与|FB|的等差中项？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由、
14.在平面直角坐标系中，圆和圆，
〔1〕假设直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
〔2〕设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
15.，椭圆C过点A，两个焦点为〔-1，0〕，〔1，0〕。
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
16、双曲线：的左焦点为，左准线与轴的交点是圆的圆心，圆恰好经过坐标原点，设是圆上任意一点、
〔Ⅰ〕求圆的方程；
〔Ⅱ〕假设直线与直线交于点，且为线段的中点，求直线被圆所截得的弦长；
〔Ⅲ〕在平面上是否存在定点，使得对圆上任意的点有？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由、
17. 椭圆：〔〕的左、右焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上任意一点、的最大值为，最小值为、
〔１〕求椭圆的方程；
〔２〕假设直线：与椭圆相交于、两点〔、不是左右顶点〕，且以为直径的圆过点、求证：直线过定点，并求出该定点的坐标、
18.抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程;
(2)动直线过点,交抛物线于、两点.
假设直线的斜率为1,求的长;
是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.
19.圆C1的方程为，定直线l的方程为、动圆C与圆C1外切，且与直线l相切、
〔Ⅰ〕求动圆圆心C的轨迹M的方程；
〔II〕斜率为k的直线l与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l的垂线恰好经过点A〔0，6〕，并交轨迹M于异于点P的点Q，记为POQ〔O为坐标原点〕的面积，求的值、
20、椭圆经过点，它的焦距为，它的左、右顶点分别为，是该椭圆上的一个动点〔非顶点〕，点是点关于轴的对称点，直线相交于点.
〔Ⅰ〕求该椭圆的标准方程、〔Ⅱ〕求点的轨迹方程、
21.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e=，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-,直线l与y轴交于点P〔0，m〕，与椭圆C交于相异两点A、B，且、
〔1〕求椭圆方程；
〔2〕假设，求m的取值范围、

22、设抛物线M方程为，其焦点为F，P〔〔为直线与抛物线M的
一个交点，
〔1〕求抛物线的方程；
〔2〕过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，试问在抛物线M的准线上是否存在一点Q，使得QAB
为等边三角形，假设存在求出Q点的坐标，假设不存在请说明理由、
23.点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.
〔Ⅰ〕当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；
〔Ⅱ〕设、为轨迹上两点，且>1,>0,，求实数，使，且.
24.如图，在中，，以、为焦点的椭圆恰好过的中点.
〔1〕求椭圆的标准方程；
〔2〕过椭圆的右顶点作直线与圆相交于、两点，试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗？假设能，求出直线的方程；假设不能，请说明理由.
x
A(4,2)
O
y
P
F
25.如下图，是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，的最小值为8.
〔1〕求抛物线方程；
〔2〕假设为坐标原点，问是否存在定点，使过点的动直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆恰过坐标原点,假设存在，求出定点的坐标；假设不存在，请说明理由.
26.椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，。
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕如果直线与椭圆相交于，假设，证明直线与直线的交点必在一条确定的双曲线上；
〔3〕过点作直线〔与轴不垂直〕与椭圆交于两点，与轴交于点，假设，，证明：为定值。
27.抛物线C:y=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点。
〔1〕求·的值；〔2〕设=，求△ABO的面积S的最小值；
〔3〕在〔2〕的条件下假设S≤，求的取值范围。
28.抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程;
(2)动直线过点,交抛物线于、两点.
假设直线的斜率为1,求的长;
是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.
2018届高考数学〔理〕考前60天冲刺【六大解答题】圆锥曲线专练
1..如图，在平面直角坐标系中。椭圆的右焦点为，右准线为。
〔1〕求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程。
〔2〕过点作直线交椭圆于点，又直线交于点,假设，求线段的长；
〔3〕点的坐标为，直线交直线于点，且和椭圆的一个交点为点，是否存在实数，使得，假设存在，求出实数；假设不存在，请说明理由。
解：〔1〕由椭圆方程为
可得，，，
，、
设，那么由题意可知，
化简得点G的轨迹方程为.…………4分
〔2〕由题意可知，
故将代入，
可得，从而、……………8分
〔3〕假设存在实数满足题意、
由得①
②
椭圆C：③
由①②解得，、
由①③解得，、………………………12分
∴，
、
故可得满足题意、………………………16分
2.设A、B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴长等于焦距，且是它的右准线，
(1)求椭圆方程；
(2)设P为右准线上不同于点〔4，0〕的任一点，假设直线AP、BP分别与椭圆交于异于A、B两点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内、
解：〔1〕由得
方程为………………………………………………………………………6分
〔2〕A〔，0〕，B〔2，0〕，令M在椭圆上，，又M异于A、B点，，令P、A、M三点共线，，……………10分

，，>0，……………………14分
B在以MN为直径的圆内
3.如图，椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直、直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率.
〔1〕求椭圆的标准方程；

B
〔2〕设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点、试判断直线与以为直径的圆的位置关系、

〔1〕将整理得
解方程组得直线所经过的定点〔0，1〕，所以、
由离心率得、
所以椭圆的标准方程为、------------------------------------------4分
〔2〕设，那么、
∵，∴、∴
∴点在以为圆心，2为半径的的圆上、即点在以为直径的圆上、……6分
又，∴直线的方程为、
令，得、又，为的中点，∴、……8分
∴，、
∴
、
∴、∴直线与圆相切、
4.椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经
过点，直线交椭圆于不同的两点A，B.
〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕求的取值范围；
〔Ⅲ〕假设直线不过点M，试问是否为定值？并说明理由。
〔Ⅰ〕，-------------------------2分
依题意设椭圆方程为：把点代入，得
椭圆方程为-------------------------------4分
〔Ⅱ〕把代入椭圆方程得：，
由△可得----------------------------------6分
〔Ⅲ〕设，A,B与M不重合，
，-------------------8分

，
为定值0.------------12分
5.椭圆的焦点，过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为，过作直线l与椭圆交于A、B两点.
〔I〕求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)是否存在实数使，假设存在，求的值和直线的方程；假设不存在，说明理由、
(Ⅰ)设椭圆方程为，由题意点在椭圆上，
所以+=1，解得………………5分
(Ⅱ)当直线斜率不存在时，易求，所以
由得，直线的方程为、………………7分
当直线斜率存在时，
所以，
由得
即
因为，所以
此时，直线的方程为
6.椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P〔4，0〕且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕求的取值范围；
〔3〕假设B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。
(1)解：由题意知，∴，即
又，∴
故椭圆的方程为
(2)解：由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为
由得： 由得：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么① ∴
∴ ∵，∴，∴
∴的取值范围是、
(3)证：∵B、E两点关于x轴对称，∴E(x2，－y2)
直线AE的方程为，令y=0得： 又，∴
由将①代入得：x=1，∴直线AE与x轴交于定点(1，0)、
7.椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线是抛物线的一条切线、
〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕过点的动直线L交椭圆C于 A、B两点、问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T?假设存在，求点T坐标；假设不存在，说明理由。
解析：〔Ⅰ〕由
因直线相切，，∴，
………………2分
∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
形，∴故所求椭圆方程为
〔Ⅱ〕当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：
当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：
由
即两圆公共点〔0，1〕
因此，所求的点T如果存在，只能是〔0，1〕
〔ⅰ〕当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T〔0，1〕
〔ⅱ〕假设直线L斜率存在时，可设直线L：
由
记点、

∴TA⊥TB,
综合〔ⅰ〕〔ⅱ〕，以AB为直径的圆恒过点T〔0，1〕、
8.设椭圆的两个焦点是，且椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕假设直线与椭圆C交于不同的两点M、N，线段MN垂直平分线恒过点A〔0，-1〕，求实数m的取值范围。

9.椭圆的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点的最短距离为、
〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；
〔Ⅱ〕过点且斜率为的直线与交于、两点，是点关于轴的对称点，证明：三点共线、
(I)由题可知：…………2分
解得，
椭圆C的方程为…………………………4分
〔II〕设直线：，，，，，
由得.…………6分
所以，.……………………8分
而
，，…………10分

∴三点共线
10.椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为.点P(1，)、A、B在椭圆E上，且＋＝m(m∈R)、
(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
(2)当m＝－3时，证明原点O是△PAB的重心，并求直线AB的方程、
解：〔1〕由=及解得a2=4，b2=3，
椭圆方程为；…………………………………………………………2分
设A〔x1,y1〕、B〔x2,y2〕，由得
〔x1+x2-2，y1+y2-3〕=m〔1，〕，即
又，，两式相减得
;………………………6分
〔2〕由〔1〕知，点A〔x1,y1〕、B〔x2,y2〕的坐标满足，
点P的坐标为〔1，〕,m=-3，于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3++=0，
因此△PAB的重心坐标为(0，0)、即原点是△PAB的重心.
∵x1+x2=-1，y1+y2=-，∴AB中点坐标为〔，〕，………………………10分

又，，两式相减得
;
∴直线AB的方程为y+=(x+),即x+2y+2=0.
11.抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点、
〔1〕证明：直线的斜率互为相反数；
〔2〕求面积的最小值；
〔3〕当点的坐标为，且、根据〔1〕〔2〕推测并回答以下问题〔不必说明理由〕：
①直线的斜率是否互为相反数？②面积的最小值是多少？
〔1〕设直线的方程为、
由可得、
设，那么、
∴
∴

、
又当垂直于轴时，点关于轴，显然、
综上，、----------------5分
〔2〕=、
当垂直于轴时，、
∴面积的最小值等于、------10分
〔3〕推测：①；
②面积的最小值为、-------13分
12.椭圆E：=1〔a＞b＞o〕的离心率e=，且经过点〔,1〕，O为坐标原点。
〔Ⅰ〕求椭圆E的标准方程；
〔Ⅱ〕圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线
x=－4在x轴上方的一点，过M作圆O的两条切线，
切点分别为P、Q，当∠PMQ=60°时，求直线PQ的方程.
解：〔1〕椭圆的标准方程为：
〔2〕连接QM，OP，OQ，PQ和MO交于点A，
有题意可得M〔-4，m〕，∵∠PMQ=600
∴∠OMP=300，∵，
∵m>0,∴m=4,∴M(-4,4)
∴直线OM的斜率,有MP=MQ,OP=OQ可知OM⊥PQ,
,设直线PQ的方程为y=x+n
∵∠OMP=300,∴∠POM=600,∴∠OPA=300,
,即O到直线PQ的距离为,
(负数舍去),∴PQ的方程为x-y+2=0
13.设抛物线C1：x2＝4y的焦点为F，曲线C2与C1关于原点对称、
(Ⅰ)求曲线C2的方程；
(Ⅱ)曲线C2上是否存在一点P〔异于原点〕，过点P作C1的两条切线PA，PB，切点A，B，满足|AB|是|FA|与|FB|的等差中项？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由、
(Ⅰ)解；因为曲线与关于原点对称，又的方程，
所以方程为、…………5分
(Ⅱ)解：设，，,、
的导数为，那么切线的方程，
又，得，
因点在切线上,故、
同理,、
所以直线经过两点，
即直线方程为,即，
代入得，那么,，
所以，
由抛物线定义得，、
所以，
由题设知，，即，
解得，从而、
综上，存在点满足题意，点的坐标为
或、
…………15分
14.在平面直角坐标系中，圆和圆，
〔1〕假设直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
〔2〕设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
(1)设直线的方程为：，即
由垂径定理，得：圆心到直线的距离，
结合点到直线距离公式，得：
化简得：
求直线的方程为：或，即或
(2)设点P坐标为，直线、的方程分别为：
，即：
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：圆心到直线与直线的距离相等。
故有：，
化简得：
关于的方程有无穷多解，有：
解之得：点P坐标为或。
〔方法二〕因为为数列中的项，
故为整数，又由〔1〕知：为奇数，所以
经检验，符合题意的正整数只有。
15.，椭圆C过点A，两个焦点为〔-1，0〕，〔1，0〕。
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
解：〔Ⅰ〕由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，〔舍去〕
所以椭圆方程为。……………4分
〔Ⅱ〕设直线AE方程为：，代入得

设,,因为点在椭圆上，所以

………8分
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得

所以直线EF的斜率
即直线EF的斜率为定值，其值为。
16、双曲线：的左焦点为，左准线与轴的交点是圆的圆心，圆恰好经过坐标原点，设是圆上任意一点、
〔Ⅰ〕求圆的方程；
〔Ⅱ〕假设直线与直线交于点，且为线段的中点，求直线被圆所截得的弦长；
〔Ⅲ〕在平面上是否存在定点，使得对圆上任意的点有？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由、
解：〔Ⅰ〕由双曲线E：，得：，，、……2分
又圆C过原点，所以圆C的方程为、……………………4分
〔Ⅱ〕由题意，设，代入，得，…………5分
所以的斜率为，的方程为、………………6分
所以到的距离为，……………………………………7分
直线FG被圆C截得的弦长为……………………………9分
(Ⅲ)设P(s,t),G(x0,y0),那么由，得
整理得3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144-s2-t2=0.①………………11分
又G(x0,y0)在圆C:(x+4)2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=0②
②代入①，得(2s+24)x0+2ty0+144-s2-t2=0.……………………………………13分
又由G(x0,y0)为圆C上任意一点可知，…………………………14分
解得：s=-12,t=0.…………………………………………………………………15分
所以在平面上存在一定点P，其坐标为〔-12,0〕、
17. 椭圆：〔〕的左、右焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上任意一点、的最大值为，最小值为、
〔１〕求椭圆的方程；
〔２〕假设直线：与椭圆相交于、两点〔、不是左右顶点〕，且以为直径的圆过点、求证：直线过定点，并求出该定点的坐标、
解析：〔1〕是椭圆上任一点,且，

……………………2分
当时，有最小值；当或时,有最大值、
，，、
椭圆方程为。……………………4分
〔2〕设，，将代入椭圆方程得
、
………………6分
，，，
为直径的圆过点，，
或都满足，……………………9分
假设直线恒过定点不合题意舍去，
假设直线：恒过定点。
18.抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程;
(2)动直线过点,交抛物线于、两点.
假设直线的斜率为1,求的长;
是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.
解：解:(1)由题意,可设抛物线方程为.…………1分
由,得.…………2分
抛物线的焦点为,.…………3分
抛物线D的方程为.…………4分
(2)设,.…………5分
直线的方程为：,…………6分
联立,整理得:…………7分
=.…………9分

19.圆C1的方程为，定直线l的方程为、动圆C与圆C1外切，且与直线l相切、
〔Ⅰ〕求动圆圆心C的轨迹M的方程；
〔II〕斜率为k的直线l与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l的垂线恰好经过点A〔0，6〕，并交轨迹M于异于点P的点Q，记为POQ〔O为坐标原点〕的面积，求的值、
解〔Ⅰ〕设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，那么
，且————2分
A
可得、
由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹M的方程、————5分
〔II〕如图示，设点P的坐标为，那么切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为、由于该直线经过点A〔0,6〕，所以有，得、因为点P在第一象限，所以，点P坐标为〔4,2〕，直线PQ的方程为、—————9分
把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得，解得或4，可得点Q的坐标为、所以

20、椭圆经过点，它的焦距为，它的左、右顶点分别为，是该椭圆上的一个动点〔非顶点〕，点是点关于轴的对称点，直线相交于点.
〔Ⅰ〕求该椭圆的标准方程、〔Ⅱ〕求点的轨迹方程、
解：
〔Ⅰ〕由题意得：c=1，①②
····················3分
由①、②得所以所求椭圆的标准方程为···········6分
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，设
所以
两式相乘得：
由于点在椭圆上，所以代入上式得
····················13分
21.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e=，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-,直线l与y轴交于点P〔0，m〕，与椭圆C交于相异两点A、B，且、
〔1〕求椭圆方程；
〔2〕假设，求m的取值范围、
〔1〕设C：＋＝1〔a>b>0〕，设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝，＝，
∴a＝1，b＝c＝，故C的方程为：y2＋＝15′
〔2〕由＝λ，
∴λ＋1＝4，λ＝3或O点与P点重合=7′
当O点与P点重合=时，m=0
当λ＝3时，直线l与y轴相交，那么斜率存在。
设l与椭圆C交点为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕
得〔k2＋2〕x2＋2kmx＋〔m2－1〕＝0
Δ＝〔2km〕2－4〔k2＋2〕〔m2－1〕＝4〔k2－2m2＋2〕>0〔*〕
x1＋x2＝，x1x2＝11′
∵＝3∴－x1＝3x2∴
消去x2，得3〔x1＋x2〕2＋4x1x2＝0，∴3〔〕2＋4＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝013′
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，
因λ＝3∴k≠0∴k2＝>0，∴－1<m<－或<m<1
容易验证k2>2m2－2成立，所以〔*〕成立
即所求m的取值范围为〔－1，－〕∪〔，1〕∪｛0｝
22、设抛物线M方程为，其焦点为F，P〔〔为直线与抛物线M的
一个交点，
〔1〕求抛物线的方程；
〔2〕过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，试问在抛物线M的准线上是否存在一点Q，使得QAB
为等边三角形，假设存在求出Q点的坐标，假设不存在请说明理由、
解：〔1〕〔舍去〕
--5分
〔2〕假设直线的斜率不存在，那么Q只可能为，此时不是等边三角形，舍去，--7分
假设直线的斜率存在，设直线的方程为〔〕，设直线与抛物线的交点坐标为A〔〕、B〔〕
，
设存在，，设Q到直线的距离为
有题意可知：
---10分
由①可得：------③
③代入②得：，
化简得：----14分，
为所求点-----15分
23.点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.
〔Ⅰ〕当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；
〔Ⅱ〕设、为轨迹上两点，且>1,>0,，求实数，使，且.
解：〔Ⅰ〕设点，由得.…………2分
由,得，即.……………4分
又点在轴的正半轴上，∴.故点的轨迹的方程是
.…………………………………………………………6分
〔Ⅱ〕由题意可知为抛物线：的焦点，且、为过焦点的直线与抛物
线的两个交点,所以直线的斜率不为.……………………………………7分
当直线斜率不存在时，得，不合题意；……8分
当直线斜率存在且不为时，设，代入得
，
那么，解得.…………9分
代入原方程得，由于，所以，由,
得，∴.……………………………………………………12分
24.如图，在中，，以、为焦点的椭圆恰好过的中点.
〔1〕求椭圆的标准方程；
〔2〕过椭圆的右顶点作直线与圆相交于、两点，试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗？假设能，求出直线的方程；假设不能，请说明理由.
解〔1〕∵∴

∴∴
依椭圆的定义有：
∴，又，∴
∴椭圆的标准方程为……………………………………………7分
〔求出点p的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P点的坐标代入即可求出椭圆方程，
也可以给总分值.〕
椭圆的右顶点，圆圆心为，半径.
假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧，
那么，圆心到直线的距离
当直线斜率不存在时，的方程为，
此时圆心到直线的距离〔符合〕
当直线斜率存在时，设的方程为，即，
∴圆心到直线的距离，无解
综上：点M、N能将圆分割成弧长比值为的两段弧，此时方程为
x
A(4,2)
O
y
P
F
25.如下图，是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，的最小值为8.
〔1〕求抛物线方程；
〔2〕假设为坐标原点，问是否存在定点，使过点的动直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆恰过坐标原点,假设存在，求出定点的坐标；假设不存在，请说明理由.
解：设抛物线的准线为，过作于，过作于，
B
x
A(4,2)
O
y
P
F
〔1〕由抛物线定义知
C
(折线段大于垂线段)，当且仅当三点共线取等号.由题意知,即抛物线的方程为：5分
〔2〕假设存在点，设过点的直线方程为，
显然，，设，，由以为直径的圆恰过坐标
原点有①6分
把代人得
由韦达定理②7分
又③
②代人③得④
②④代人①得
动直线方程为必过定点10分
当不存在时，直线交抛物线于,仍然有，
综上：存在点满足条件12分
注：假设设直线BC的方程为可避免讨论.
26.椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，。
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕如果直线与椭圆相交于，假设，证明直线与直线的交点必在一条确定的双曲线上；
〔3〕过点作直线〔与轴不垂直〕与椭圆交于两点，与轴交于点，假设，，证明：为定值。
解：〔1〕由
………………………3分
所以椭圆方程为。………………………5分
〔2〕依题意可设，且有
又
，将代入即得
所以直线与直线的交点必在双曲线上。……………………10分
〔3〕依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为，……………11分
设、、，那么两点坐标满足方程组
消去并整理，得，
所以，①，②……………………13分
因为，所以，
即所以，又与轴不垂直，所以，
所以，同理。…………………………14分
所以。
将①②代入上式可得。…………………………16分
27.抛物线C:y=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点。
〔1〕求·的值；〔2〕设=，求△ABO的面积S的最小值；
〔3〕在〔2〕的条件下假设S≤，求的取值范围。
⑴根据抛物线的方程可得焦点F〔1,0〕，设直线l的方程为x=my+1，将其与C的方程联立，消去x可得-4my-4=0.
设A、B点的坐标分别为〔，〕，〔，〕〔﹥0﹥〕，那么=-4.
因为=4，=4，所以==1，
故·=+=-3………………………………………………4分
(2)因为=，所以〔1-，-〕=〔-1，〕即1-=-①
-=②
又=4③=4④，由②③④消去，后，得到=，将其代入①，注意到﹥0，解得=。
从而可得=-，=2，故△OAB的面积S=·=
因为≧2恒成立,故△OAB的面积S的最小值是2………(8分).(3)由≦解之的≦≦
28.抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程;
(2)动直线过点,交抛物线于、两点.
假设直线的斜率为1,求的长;
是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.
解：解:(1)由题意,可设抛物线方程为.…………1分
由,得.…………2分
抛物线的焦点为,.…………3分
抛物线D的方程为.…………4分
(2)设,.…………5分
直线的方程为：,…………6分
联立,整理得:…………7分
=.…………9分
(ⅱ)设存在直线满足题意,那么圆心,过作直线的垂线,垂足为,设直线与圆的一个交点为.可得:…………10分
…………11分
即=
=
==…………13分
当时,,此时直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值.
…………14分
因此存在直线满足题意…………15分