位错密度演化模型的研究进展_雷明雨.pdf

书书书第 47 卷 第 1 期燕山大学学报Vol.47 No.12023 年 1 月Journal of Yanshan UniversityJan 2023文章编号:1007-791X(2023)01-0001-19位错密度演化模型的研究进展雷明雨，温斌*(燕山大学 亚稳材料制备技术与科学国家重点实验室，河北 秦皇岛 066004)收稿日期:2021-12-01责任编辑:王建青基金项目:国家自然科学基金资助项目(51925105，51771165)作者简介:雷明雨(1997-)，男，黑龙江齐齐哈尔人，硕士研究生，主要研究方向为材料塑性行为;*通信作者:温斌(1976-)，男，山西吕梁人，博士，教授，博士生导师，主要研究方向为材料力学行为的微观机理，Email:wenbin ysueducn。摘要:作为材料微观结构状态的一个内部变量，位错密度与材料组织结构演化和力学性能密切相关。金属材料在塑性变形过程中，其位错密度会发生演化。因此，位错密度演化模型的建立是材料组织结构和力学性能研究领域的一个重要课题。本文简要介绍了位错密度的演化规律及其物理机制，综述了当前位错密度演化模型的研究进展，总结了位错密度演化数值计算方法的研究现状，介绍了位错密度对组织结构演化和力学性能的影响规律，探讨了位错密度演化研究的发展趋势。关键词:塑性变形;位错密度演化模型;数值计算方法;微观组织结构;力学性能中图分类号:TU3132文献标识码:ADOI:103969/jissn1007-791X2023010010引言材料的性能取决于材料的微观组织结构，材料的微观组织结构又与其前期的加工历程紧密相关。因此，材料加工过程中微观组织结构演化的研究 1-3 不仅对材料性能的研究具有重要的意义 4，而且对指导材料加工工艺的开发研究也具有重要的意义 5-6。塑性变形是一种重要的金属材料加工方法 7，而塑性变形的主要载体是位错。在塑性变形过程中，位错会发生增殖等一系列的行为，从而使位错的数量、类型和空间分布等发生演化，进而影响材料的微观组织结构和力学行为。位错密度可以定量反映材料的微观组织结构和力学性能，所以位错密度演化的研究就成为金属材料组织和性能研究的一个关键。因此，许多研究者对位错密度演化进行了研究，并建立了很多位错密度演化模型。例如，K-M 模型 8-14、L-J 模型 15-18、E-K模型 19-21 和位错胞结构模型 22-27 等。除位错密度演化模型外，研究者还通过数值计算的方法对位错密度演化模型进行了研究，例如，有限元模拟方法(Finite Element Method，FEM)28-32、元胞自动机模拟方法(Cellular Automata，CA)33-39、分子动力学模拟方法(Molecular Dynamic，MD)40-43 和离散位 错 动 力 学 模 拟 方 法(DiscreteDislocationDynamics，DDD)44-50 等。无论在位错密度演化模型的建立方面，还是在位错密度数值计算方面，目前的研究已经取得了很大的进展。为了对位错密度演化模型有一个更全面的认识，本文对位错密度演化模型和数值计算方法的研究进展进行系统的综述，对位错密度对组织结构演化和力学性能的影响规律进行总结，并对位错密度演化研究的发展趋势进行探讨。1位错密度的定义及实验测定方法1934 年，Taylor，Orowan 和 Polanyi 几乎同时提出了位错的概念 51-54。随后，位错缺陷被透射电镜实验所证实 55。作为晶体中的一维缺陷，位错可以认为是已滑移区与未滑移区之间的分界。11位错密度的定义为了定量反映材料单位体积内位错的多少，研究者提出了位错密度的概念 56。位错密度通常被定义为单位体积晶体中位错线的总长度，或单2燕山大学学报2023位面积中位错线的数量，因此，位错密度可以表示为=LV=NlSl=NS，式中，L 为体积为 V 的晶体中位错线的总长度，V为晶体体积，N 为面积为 S 的晶体截面中的位错数(位错线与观察表面的交点)，l 为垂直于晶体截面方向的晶体尺寸。12位错密度的实验测量方法比较常用的测量位错密度的实验方法是表面腐蚀法(图 1(a)57)。由于位错处的原子处于亚稳态，腐蚀处理后，很容易在位错露头处出现腐蚀坑。所以，将试样切割和打磨后，进行腐蚀，然后统计晶体单位面积内腐蚀坑的数量即可得到位错密度。该方法虽然在操作上简单且成本较低，但是一般仅适用于单晶体位错的测量。此外，表面腐蚀法只能表征特定滑移面的平均位错密度行为，不能解释微观结构的不均匀性，导致测量结果具有随机性，精度较差。针对宏观区域范围位错密度的测量，还可以采用 X 射线衍射线性分析法(图 1(b)58、1(c)58)。作为一种间接分析方法，因其统计性强的特点，适用范围更广。但当材料的位错密度较低时，由于衍射线宽不明显，会导致结果误差较大。为此，可通过透射电镜分析法(图 1(d)59)对微观区域的位错密度进行测量。该方法不仅能直观地观测到位错的组态和数量，而且能够解释微观结构的不均匀性。此外，出于操作的简单和便捷性，电子背散射衍射分析法(图 1(e)60、1(f)60)也常被应用于测量材料的位错密度。该方法的另一个特点在于能直观地观测并对比不同试样间的位错密度，且精度更高。图 1不同方法测定材料的位错密度Fig1Determination of dislocation density of materials by different methods2影响位错密度演化的因素位错密度作为微观组织状态的内部变量，影响其演化的因素较多，例如应变量 61-63、温度 64-68、应变速率 67，69-70、晶粒尺度 21，71-79 和加载方式等。下面就这些因素对位错密度演化行为的影响做以总结。21应变量应变量是影响材料位错密度演化的一个重要因素。在塑性变形开始阶段，金属内部的位错密度较低。初始位错随应变量的增加不断增殖，并与其他位错缠结，直到堆积到材料表面。此时，由于应变量较小，堆积和缠结的位错很难动态回复，使得位错密度越来越大 61，63。随应变量的进一步第 1 期雷明雨 等位错密度演化模型的研究进展3增大，大量塞积的位错会形成很高的形变储能，促进位错的动态回复。回复过程可分为两个方面:一方面是螺型位错的交滑移;另一方面是刃型位错的攀移。因此，当交滑移活跃时，螺型位错密度不再增加，刃型位错密度仍然增加，位错密度的增殖速率减慢。由于塑性变形处于小应变区域，整体的位错密度仍旧处于增加阶段。但是，当达到临界应变量和较高温度条件时，刃型位错攀移作用增加，在晶界及亚晶界处发生动态再结晶 80，使得整体的位错密度降低。此后，塑性变形进入大应变区域，位错密度的增殖速率和回复速率趋于平衡，位错密度进入稳态阶段。22温度对于大多数的金属材料，随温度的升高，位错滑移和攀移的阻力降低，有利于回复和再结晶的进行。回复过程使位错密度的增殖速率减慢，动态再结晶则可大大降低位错密度。基于位错密度的演化机理并结合分子动力学模拟方法，ohith 71 研究了温度对位错密度演化的影响规律。研究结果表明，随着温度升高，原子热振动加剧，从而有利于主滑移系的开动。随着温度进一步升高，由于材料内部因位错而产生的储存能开始作用，大量的热激活促进位错在滑移系的进一步运动，位错之间相互湮灭结合，导致位错密度降低。相反，随温度的降低，位错运动能力减弱，一些位错转变为位错胞或亚晶结构。因此，合金和金属在低温变形时，其位错很难通过热激活来克服移动的障碍 67，可保留较高密度的位错。23应变速率金属和合金的塑性变形是一个热激活过程，所以是一种速率控制机制。Almasri 81 在对无氧铜大应变行为的研究中指出:当应变速率较低时，位错有充足的时间回复，材料内部的位错很难储存下来就通过回复过程湮灭消失，使得晶内弥散分布着少量的位错，晶界相对平直 82，整体位错密度较低。相反，当应变速率较高时，位错滑移逐渐从单滑移机制转变为多滑移机制，材料内部存在大量位错并伴随位错缠结。此时，由于位错在短时间内很难形成亚晶界，位错不断被原始晶界吸收并堆积到晶界处形成应力集中，使得晶界处往往塞积大量的位错，并出现呈链状分布的变形晶粒和大量细小的再结晶晶粒，导致晶界呈锯齿状分布，整体位错密度较高。不难看出，温度和应变速率是影响金属材料位错密度演化最重要的两个因素。当材料变形的应变速率一定时，位错密度随温度的升高而降低(如图 2(a);当材料的变形温度一定时，位错密度随应变速率的升高而升高(如图 2(b)。图 27 系铝合金不同变形条件下的位错密度实验值Fig2Experimental values of dislocation density of 7 seriesaluminum alloy under different deformation conditions24晶粒尺寸晶粒尺寸对材料性能的影响一直是材料科学的前沿问题，尤其在微米尺度晶体的塑性变形过程中，晶粒尺寸对改变材料的变形模式方面起着关键的作用 83。在以位错滑移为主要变形模式的晶粒尺寸范围内，位错的移动距离与晶粒的大小密切相关，晶粒内的位错密度会随晶粒尺寸的大小发生变化。通过三维离散位错动力学方法，El-Awady 72 研究了不同晶粒尺度下位错密度演化4燕山大学学报2023规律。结果表明，晶粒尺寸与位错密度之间的内在关系可以表示为=0+AbD，式中，0为初始位错密度，A 为材料常数，为应变，b 为伯氏矢量，D 为晶粒尺寸。可见，晶粒尺寸与位错密度之间呈现反比关系，二者间的关系是由位错的运动引起的。随晶粒尺寸的增加，由于位错移动的有效距离增加，位错储存的速率降低，总的位错密度减少。该关系仅适用于晶粒尺寸大于微米数量级的情况。当晶粒尺寸小于临界值(d1015 nm)时，变形从位错主导的滑移模式转变为晶界滑移。此时，在自由滑移面和晶界处的位错很难移动到相邻的晶粒中，使得位错的增殖速率降低 73，75。25加载方式金属和合金可在复杂或极端环境条件下工作，例如轧制变形 65，84、循环加载变形 85-86 和蠕变变形 9，87-88 等。材料在不同的加载方式下，位错往往表现出不同的演化行为，温度和速率相关的变形机制会导致材料强度和塑性的改变。因此研究材料的力学性能以及工程构件在不同加载条件下的寿命是非常必要的。对于轧制变形而言，通过控制轧制时的温度、应变速率和每道次的应变量，可使材料的晶粒细化且均匀，强度更高并兼具良好的延展性 84。在轧制过程中，金属微观组织间存在不均匀变形。对于多晶金属，应力取向也同样存在差异，因此对不同变形机制下的位错演化分析尤为重要。在轧制过程中:一方面，材料的应变硬化行为主要涉及到位错密度的增殖。当金属材料发生轧制变形时，位错会发生运动，这些运动的位错会受到溶质、第二相粒子以及析出物的影响，导致应变硬化速率存在差异。另一方面，材料的软化行为，主要涉及到位错的重新排列，一些符号相反的位错相互湮灭或重新排列。此外，在具有高层错能的金属中，动态回复迅速发生，并达到应力的稳定状态。具有中低层错能的材料的变形则以缓慢的动态回复为特征，阻止了初始位错结构中稳定位错排列的演化。当位错密度增加到临界再结晶位错密度时，动态再结晶开始并成为主要的软化现象。通过对微观结构演化过程的分析，研究人员已经将有限元方法与位错密度演化模型相结合，预测了轧制过程中的金属流动和微观组织结构演化规律 89，这为指导工艺生产提供了高效的途径。对于循环加载变形而言，为了描述金属材料在循环变形过程中的应力响应，研究人员从循环变形的物理机制出发，考虑了位错密度演化过程中硬化和软化之间的相互竞争 90，并结合位错理论，建立了一系列考虑应变硬化、动态回复、静态回复和动态结晶现象的位错密度演化本构模型，用以揭示循环变形中微观物理机制和宏观变形行为之间的联系。Li 等 85 系统地综述了不同类型面心立方单晶的循环变形行为，并指出取向、层错能、短程有序度和摩擦应力是循环变形最主要的影响因素。对于纯金属而言，由于不均匀变形及应力梯度的存在，在单个晶粒或不同的晶粒内部会形成不同的位错组态，即脉、墙、迷宫和胞状结构。在循环加载过程中，位错滑移的阻力随位错储存速率而变化，位错储存速率又受到位错滑移控制。文献 91通过分析位错模式的形成机制，揭 示 了 位 错 演 化 的 基 本 规 律。Zecevic 和Knezevic 92 开发了基于位错密度的弹塑性自洽模型，考虑了晶粒间的应力和滑移系水平背应力，并通过对包辛格效应的分析，成功预测了 AA6022-T4 合金的循环变形。Wu 等 93 系统地研究了铜铝合金中的循环变形行为，指出循环硬化行为与应变振幅间的关系。实验结果表明，在低应变振幅下，位错主要以偶极子的形式排列，并以平面滑移模式运动。对于平面滑移，滑移面的软化效应是位错在同一平面上跟随其他位错运动的主要原因;在中等应变振幅下，位错则以波状滑移和平面滑移的模式运动;在高应变量下，位错滑移的轨迹是曲折的，表现为波状滑移引起的位错环和位错缠结形成的三维位错结构，这种位错胞结构的出现与二次滑移的激活能密切相关，波状滑移通过独立的横向滑动实现在多个滑移面上的运动。因此，通过循环变形背后的位错组态、位错滑移模式和位错演化机制过程的分析，能够定量计算和描述金属内部微观组织及其相应的力学行为，对位错密度演化的研究具有指导意义。除了轧制、循环变形以外，人们对蠕变过程中的位错组态演化也进行了研究。研究人员发现，第 1 期雷明雨 等位错密度演化模型的研究进展5由于高温下刃型位错能够攀移，此外蠕变速率一般较低，这就使得蠕变过程中易于形成位错胞结构。因此，位错模式的形成和演化将为蠕变塑性过程的建模提供指导。从位错动力学角度出发，蠕变和塑性变形常被视为一个统一的热激活过程 87。塑性变形期间位错堆积引起的内应力集中，在随后的蠕变期间以位错攀移的形式释放。随着亚晶粒的形成，变形的阻力逐渐由亚晶界提供。然而，在本质上，蠕变和塑性变形存在差异 94，只是二者存在共同的内在微观机制，这就需要对位错滑移模式和微观物理机制进行更深入的研究。3位错密度演化模型为了研究材料的塑性行为，必须就材料位错密度演化行为有一个深入的理解 95。尽管通过实验能够测量位错密度，但很难定量测定位错的空间分布及位错密度随时间的演化。在材料变形过程中，加工硬化和动态软化同时发生，它们共同决定了位错密度的演化 9，11-13，15，19-22，24，26，95-102。下面将对一些典型位错密度演化模型做以总结。31K-M 模型基于对面心立方晶体材料的实验观察，Kocks和 Mecking 9，11 通过将位错动力学与结构演化动力学建立关联，借助平均位错密度概念，讨论了硬化和软化过程的竞争，建立了位错密度随应变的微分方程:dd=K1K2，其中，K1、K2分别为硬化项和软化项系数，与材料变形温度和应变速率相关，为位错密度。通过对 K-M 模型中硬化项与软化项的精确描述，可对特定工艺条件下位错密度演化行为进行研究。例如，Estrin 和 Mecking 12，103 通过对硬化项的调整，提出了 K-M-E 模型。他们将位错移动的平均自由程视为恒定值，解决了位错源与障碍之间距离无法在几何上表达的问题，使模型的适用性更广。Qian 等 34 考虑了沉淀相对位错移动的影响，并在硬化项中引入了一个无量纲参数，建立了微观结构与宏观现象的关联。Ashby 97 则从微观结构角度，考虑了几何必须位错和统计储存位错之间的区别，通过位错滑移距离表征了几何必须位错随应变累积的速率 78。动态软化在低温下主要受位错交滑移的影响，在高温下主要与刃型位错的攀移相关 104。对于高层错能材料，位错不易分解，动态回复比较快。而对于低层错能的材料，位错易于分解，动态回复较慢。因此，仅通过一个软化项系数来描述位错密度的演 化，K-M 模 型 的 可 靠 性 备 受 争议 105。为此，Kreyca 96 将软化项展开，引入了高温下的攀移湮灭项，并从位错的产生、固定和动态回复角度考虑了位错密度的演化过程，微分形式如下:dd=MbA2BMdcritb2CcvceqDdGb3?kBT22eq()，式中，A，B，C 均为校准系数，M 为泰勒因子，dcrit=Gb42KQvacsin为两个位错间的临界湮灭距离106，G 为剪切模量，Qvac为空位形成能，为伯氏矢量和位错线矢量之间的夹角，当刃型位错偶极子发生湮灭时，K=1v;当螺型位错偶极子发生湮灭时，K=1，cv和 ceq分别为当前时刻的空位浓度和平衡时的空位浓度66，Dd=Dd0exp(Qd/T)为扩散系数，Dd0为扩散的指前因子(频率因子)，Qd为激活能，为气体常数，?为应变速率，kB为玻尔兹曼常数，T 为绝对温度，eq为平均位错密度。通过与实验结果的比较，其模拟结果与实验值较为符合，但值得一提的是，上述经验模型较适用于对热机械制造过程的有限元模拟，而对于从位错相互作用机制出发的离散位错动力学数值模拟计算，则不再适用。32L-J 模型金属材料在热变形过程中发生的加工硬化使位错密度增殖，动态回复和动态再结晶软化作用使位错密度湮灭。为了解决 K-M 模型在高温、高应变速率条件下的局限性，Laasraoui 和 Jonas 15 从材料的晶粒尺度出发，考虑了晶粒内位错密度的演化过程，建立了适用于热变形条件下的 L-J 模型通式，如下:dd=U，其中，U 为硬化参数(视为应变的常数)，为软化6燕山大学学报2023参数(与位错的湮灭和重排相关)。不难看出，该模型类似于 K-M 模型的通式，同样采用唯一的内部结构变量。但是区别于 K-M 模型采用平均位错密度演化作为研究基础，而是考虑了晶粒内位错密度的演化过程，为材料内部晶粒组织演化分析提供了参考。为了将晶界迁移诱发 的 软 化 效 应 考 虑 在 内 100，107，Gourdet 和Montheillet 18 在 L-J 模型通式的基础上进行了改进，如下所示:d=(hr)ddV，式中，h=h0?0()mexpmQT()为硬化系数，h0为硬化常数，?0为应变速率修正常数(一般取 1)，m 为敏感系数，Q 为扩散激活能，r=r0?0()mexpmQT()为软化系数，r0为软化常数，dV 为晶界迁移过程中扫过的体积。为了满足不同的变形条件，研究人员在 K-M模型和 L-J 模型通式的基础上尝试了各种改进。但是二者始终采用单一的结构变量，这也是此类模型受限于一定变形条件下的原因所在。33E-K 模型K-M 模型和 L-J 模型将平均位错密度作为单一内部结构变量，简化了模型的计算难度和复杂程度。但是总位错密度是可动与不可动位错密度的叠加，两种位错类型会以不同的速率演化。尤其在连续单调应变和循环载荷这种结构参数快速变化的情况下，仅通过单参数模型计算的结果误差很大。为此，Estrin 和 Kubin 19 提出了双参数模型，并纳入两个内部变量:可动位错密度和不可动位错密度 21，相应的微分形式如下所示:dd=dmd+dfd，其中，dmd=C1b2fmC2mC3bf和dfd=C2m+C3bfC4f分别为可动位错密度和不可动位错密度随应变的演化速率微分方程，C1、C3为数值常数，C2、C4为与温度和应变速率相关的材料常数。对于可动位错密度演化而言:它的硬化项源于林位错阻碍可动位错的运动，使得可动位错储存在林位错附近。软化项则描述了可动位错间相互作用引起的位错湮灭以及可动位错被固定成为不可动位错的过程。对于不可动位错密度演化而言:不可动位错密度的硬化项主要来自于可动位错被固定的部分，还有一小部分拖曳过程中位错片段和位错环的贡献。最后的软化项与攀移和交滑移引起的林位错结构的重排和湮灭有关。但是该模型的局限性在于未区别刃型和螺型位错，而是将其包含在两个内部状态参数中。E-K 模型的另一个特点是:能够解释可动位错与溶质原子和林位错之间相互作用产生的动态应变时效现象 108，并针对变形区域不稳定而导致的波特文-勒夏特利埃效应 109-110 给出合理的解释。从本质上看，这种不稳定性流动通常是由于缺少可动位错造成的，随不可动位错趋于饱和，变形越来越不稳定。当总位错密度达到稳定极限时，颈缩开始 111。此外，在实际的塑性变形过程中，晶体的位错滑移是不均匀的，位错可在不同的滑移系中发生演化，导致 E-K 模型仅适用于预测一些纯金属以及结构简单的合金中的位错密度演化。对于结构复杂的合金和化合物而言，继续采用均匀分布的位错密度研究其演化行为显得不再合适 52。这就需要从更微观的角度，探讨不同滑移系上不同类型位错之间的相互作用和演化规律 112，揭示位错密度的演化机理。34位错胞结构模型早期的研究人员普遍将关注点放在塑性变形的早期阶段，并开发了一系列位错密度演化模型，但对于大变形量下位错密度演化的研究却知之甚少。实验结果表明铝、铜及其合金等金属材料，随应变量的增加，位错密度升高，位错间的相互作用不断加强，常伴随位错缠结现象的发生。这些缠结在一起的位错会逐渐形成类似于“墙”的状态，阻碍位错运动并发生位错的塞积，我们称其为位错墙。这些位错墙会交织排列构成彼此相对独立的区域，形成如图 3 113 所示的位错胞(亚晶粒)结构。传统意义上讲，金属材料塑性变形中的长程内应力主要源于位错堆积。但是，在复合材料的塑性变形中，位错胞结构常会产生不均匀的位错分布，不可避免地会产生相当大的长程内应力 114，使得严重塑性变形条件下的位错胞结构演第 1 期雷明雨 等位错密度演化模型的研究进展7化与晶体材料的力学行为紧密相关。Prinz 和Argon 25 提出了一个基于位错胞结构的模型，从胞内位错密度和胞壁位错密度演化的角度，分析了单相多晶在大应变单调变形条件下的位错密度演化。该模型作为将大应变塑性流动演化推广到三维形式的早期模型，对于内在物理机制表达的不够全面，特别是对位错源的产生机制没有给出明确的解释。为此，Tth 等 27 对早期的模型进行了归纳和改进。基于位错胞结构演化规律，预测了不同加载路径下的塑性变形过程。为材料后期的变形阶段研究提供了参考，位错密度演化的相应关系表示为total=fw+(1f)c，式 中，total为 总 位 错 密 度，?c=*3wb?w*6?cbd 1f()1/3k0?c?0()1/n?cc是位错胞内部的位错密度演化速率微分方程，*，*是几何参数，d是晶粒尺寸，k0是材料常数，?w，?c，?0分别为位错胞壁、胞内和参考值的应变速率，f 是位错胞壁的体积分数，n 是表征湮灭过程的应变率敏感性参数。?w=6*?c(1f)2/3bdf+3*?c(1f)wfbk0?w?0()1/n?ww是位错胞壁的位错密度演化速率微分方程。图 3位错胞中交织位错网络形成的 TEM 图像Fig3TEM image of the interwoven dislocationnetwork formation in the dislocation cell为了将位错胞结构模型推广到非均质合金，oters 22-23 等将位错密度演化进行空间分布，并考虑了偶极子和位错锁的形成机制，以及位错的产生、湮灭和存储。该模型区分了 3 种类型的位错，图 4 为 3 种内部状态变量:可动位错、胞壁不可动位错和胞内不可动位错的排列示意图，相应的位错密度关系为total=m+fw+(1f)i，不难看出，位错胞结构模型包含的材料参数和物理机制较多，模型较为复杂，为材料的变形过程提供了足够的位错密度演变信息。也正因如此，通过简单的实验模拟很难得到理想的拟合数据值，使得位错胞结构模型多结合数值计算方法来模拟金属材料的微观变形机制，优化材料的塑性变形行为 115。图 4位错类型排列的示意图Fig4Schematic diagram of dislocation type arrangement4位错密度演化的数值计算方法金属材料的加工变形过程与位错的运动密切相关 116，而对位错微观组织结构演化的研究是揭示材料塑性变形物理机制的关键。长期以来，人们受限于研究手段，致使研究处于以实验为基础的唯象方法，所得的结果仅对特定材料和特定变形条件有效，不具普适性。近年来，随计算机技术的飞速发展，数值计算已成为认识和模拟这些微观信息的重要手段 28，各种以位错密度演化模型为理论基础的数值计算方法被广泛应用在材料的塑性变形行为模拟过程中，从而使定量计算和描述金属内部微观组织结构演化成为可能。8燕山大学学报202341有限元模拟方法有限元模拟方法主要是利用平衡条件和边界条件，将各个单元按一定的规则连接起来，通过数值近似求解分析真实的物理模型。该方法具有方便性、实用性和有效性等特点，在材料塑性变形模拟中广泛应用 117。以纯铝为研究对象，Alankar等 31 建立了一种基于位错密度的晶体塑性有限元模型。位 错 密 度 演 化 方 程 通 过 有 限 元 软 件ABAQUS 中的用户子程序界面(UMAT)耦合，预测了多晶铝的织构演化。左右螺型位错和正负刃型位错密度演化的微分形式，如下:?e(s)+(gen)=?e(s)(gen)=s(e)+vs(e)+ls(e)+s(e)vs(e)ls(e)式中，?e+(gen)，?e(gen)，?s+(gen)，?s(gen)表示位错密度产生的速率，vs+，vs，ve+，ve表示位错的平均移动速度，ls+，ls，le+，le表示位错段的平均长度，上角标“”表示不同的滑移系，下角标“s”和“e”分别表示螺型和刃型位错，“+”和“”表示每种位错类型的正负(左右)形式。位错密度湮灭过程的速率方程为?e(s)+(ann)=?e(s)(ann)=e(s)+e(s)e(s)ve(s)+ve(s)(式中，e，s分别为刃型和螺型位错的临界俘获半径。为了有效监控小尺度晶体的弹塑性变形，Weber 等 118 利用有限元方法模拟了单晶纳米铜线的弯曲变形过程(如图 5(a)，通过跟踪开动的滑移系统以及位错类型、位错密度的演化，为小尺度实验提供了指导。Li 等 38 将有限元方法与下文的元胞自动机方法相结合，建立了三维的元胞自动机晶体塑性有限元模型，有效模拟了多尺度非均匀变形下的位错密度演化，并获得了不同应变下晶粒和晶界处累积的位错密度(图 5(b)38)，为大应变下组织变形机制和微观组织演化的研究提供了一个有效的技术途径。此外，由于工程材料具有多晶结构，它们的晶粒之间具有各向异性的特点。从晶体塑性角度出发 119，每个晶粒根据其各自的取向和施加在其上的局部热机械效应发生变形。将位错密度作为内部状态变量的塑性有限元模型，能够为此类超出实验范围内的材料特性研究提供有效的预测。图 5位错密度演化的有限元模拟Fig5Dislocation density distributionsimulated by finite element method42元胞自动机模拟方法元胞自动机是一种广泛使用的数值计算方法，该方法 34，120 通过模拟每个晶粒的微观组织演变，搭建离散的网格动力学模型。变形过程按照固定的规则进行更新，从而预测变形过程中的显微组织演化 121。如上节所述，有限元模拟方法有效考虑了位错间的相互作用，但未能捕获动态再结晶过程的形态特征。为了解决这些问题，Li 等提出了如图 6(a)所示的模型构建概念 38，将动态再结晶视为本构行为的一部分，通过元胞自动机与晶体塑性有限元的完全耦合，充分考虑了动态再结晶过程的微观结构演化和多尺度非均匀变形的塑性变形行为，建立了三维的元胞自动机晶体塑性有限元模型，并成功应用于 TA15 合金。在变形初期，位错主要集中在晶界处。模拟结果表明，随变形量的增加，晶粒内部的位错密度增加。但由于晶粒取向不同，大部分晶粒仍处在位错密度第 1 期雷明雨 等位错密度演化模型的研究进展9较低的阶段，与实验结果符合得很好。结合 K-M模型，Qian 和 Guo 34 利用元胞自动机方法研究了HY-100 钢的微观组织，成功模拟了塑性变形中的动态再结晶行为，其预测与实验结果吻合得很好。出于元胞自动机方法对高温变形下动态再结晶行为模拟的优势性，通过建立合理的可视化模型(图6(b)122-123)，能够有效评估再结晶条件下相应的微观结构形态演化和位错密度变化，为揭示材料高温下的变形机制提供了高效途径。图 6位错密度演化的元胞自动机建模Fig6Cellular automata modeling of dislocation densityevolution under different deformation conditions43分子动力学模拟方法分子动力学模拟方法是以牛顿运动方程和应用力场为基础的计算机模拟方法，可对体系中微观粒子之间的相互作用进行模拟 40。该方法将位错作为原子动力学的介质，解释了位错介导的塑性极限的原子机制 41。通过模拟不同变形条件下的应变响应，为材料变形机理的微观尺度研究提供了有效手段。分子动力学模拟方法的优势在于通过建立 3D 原子模型，能够模拟特定的加工工艺。文献 127 模拟了超细晶纳米镍在三种不同温度下的非对称循环加载变形，如图 7 所示。图 7不同条件下位错密度演化的分子动力学模拟Fig7Molecular dynamics simulation of dislocation density不难看出，温度的变化对位错密度有显著的影响。随温度的升高，原子的扩散增加了位错的运动速率。这有助于相反符号位错的湮灭，使得位错密度降低，材料的流动应力降低。由于其变形过程的复杂性，通过控制原子水平上的结构演化和潜在的变形机制，对纳米镍材料的性能研究具有重要意义。有时，为了得到力学性能良好的工程材料，需要量化材料微观结构在变形中的演化行为 4。例如，在高位错密度下的加工硬化效应和位错演化导致的晶粒细化，能有效提高材料的强度。但是对于成分复杂的合金材料和相对多道次的加工工艺而言，实验上尚且无法直接观察到其位错的演化过程，这就使得分子动力学模拟方法应用范围更加广泛 6。分子动力学模拟方法的优势在于能够有效描述微观结构的演化过程，并对小尺寸模型中位错介导的塑性流动的原子尺度观察非常有效。例如:在低温的塑性变形条件下，螺型位错的交滑移作为位错软化行为的重要回复机制，一直是研究的重点问题。Li 等 125 利用分子动力学模拟方法，通过模拟原子尺度的热激活过程，直观地观察到了纯铜在低温下的交滑移行为，为理论研究提供了合理的支撑。Yashiro等 126 采用分子动力学方法，对镍基高温合金进行单轴拉伸模拟，通过对自由表面形核的刃型位错、沉淀物对位错的钉扎以及位错间的相互作用等具体细节的分析，揭示了位错成核的新机制，这是实验上很难观测到的。但是由于时间与原子尺度的10燕山大学学报2023限制，要在分子动力学模拟中实现与实验过程相近的加载条件几乎是不可能的，这需要非常充裕的计算资源。此外，对于具体化的位错模型搭建、定量插入各种类型的初始位错密度以及位错相互作用机制的调控，分子动力学模拟便很难实现，而离散位错动力学方法的优势便得到了有效地发挥。44离散位错动力学模拟方法离散位错动力学模拟是基于 Peach-Koehler 力的数值计算方法，能够直观地预测位错间的相互作用，进而揭示位错微观结构与塑性行为间的物理联系 127。Bulatov 和 Cai 128 对离散位错动力学模拟方法作出了详细的理论解释，对比了各种离散位错动力学数值计算软件，并列举了位错演化现象的相应代码。其中离散位错动力学模拟平台ParaDis 因其高效的计算能力，是现阶段较为完善的离散位错动力学模拟软件 44-45。对于金属材料而言，塑性变形离不开位错之间的相互作用。然而，传统的数值方法很难实现对位错行为的可视化模拟，尤其对于很难定量判断的位错源而言，离散位错动力学方法能够很容易地搭建出满足材料本身特性的位错源条件，使位错主导的变形机制建立在一定的物理基础之上。因此，离散位错动力学方法为微观尺度位错介导的塑性研究提供了桥梁 74。熊健等 47 提出使用离散位错动力学模拟方法解决位错密度梯度结构的演化过程，并以 Cu单晶微柱作为模拟对象，指出了加载方向对位错密度梯度材料力学性能的影响。Sills 等 129 利用离散位错动力学模拟了面心立方 Cu 的应变硬化行为，图 8(a)129 为离散位错动力学模拟中典型的位错微观结构。由于不同连接类型对位错间相互作用的强度贡献存在差异 130，使得塑性变形过程中位错密度的演化速率不同，进而导致剪切应力应变曲线的不同(图 8(b)129)，这对揭示位错密度演化对材料力学性能的影响提供了有效手段。此外，该方法的另一个优势在于:可对不同滑移系内位错密度的演化给出合理预测(图 8(c)131)，有效解决了大部分本构模型由于忽略了滑移系开动的先后顺序而导致的初始应变硬化速率过大的问题。图 8离散位错动力学方法在模拟位错密度演化过程中的应用Fig8Application of discrete dislocation dynamics method in simulating the evolution of dislocation density第 1 期雷明雨 等位错密度演化模型的研究进展115材料组织微观结构和力学性能位错作为金属材料塑性变形的介质，与材料的强度、屈服、塑性等力学性能密切相关 132。在金属材料的塑性变形过程中，位错会发生增殖和湮灭等一系列交互作用 106，133，从而使材料中的位错密度发生演化，进而影响材料的微观组织结构和力学行为。通过对位错运动与材料的微观组织结构演化关系的研究，有助于从本质上解释材料的组织和性能变化的物理机制，揭示材料的力学行为 134。通过对材料微观组织结构的分析，可以有效确定材料的热力学特征、指导材料的加工工艺并保证材料的使用质量。正如上文 L-J 模型所提到的，在高堆垛层错能材料中，随应变量的增加，加工硬化与动态软化表现出相互竞争的关系。动态回复过程伴随可动位错与弗兰克位错网络中储存的位错相互作用使得位错间发生湮灭，最终导致二者趋于动态平衡。Serajzadeh 等 135 给出了热变形期间由于动态回复过程对应的流动应力变化关系:2=2ec+(202ec)e，式中，0，ec分别为流动应力，屈服应力和稳态应力，为动态回复系数。在中等至低堆垛层错能的材料中，位错易发生分解，位错密度降低 136。新的晶粒在驱动力的作用下逐渐形核长大，表现出动态软化的特征，我们称之为动态再结晶现象。其中，每个动态再结晶晶粒的位错密度和晶粒长大动力学都与动态再结晶过程密切相关。流动应力通过泰勒关系 137，由基体和全部动态再结晶晶粒的平均位错密度值估算得到。动态再结晶对流动应力的影响，可由Avrami 方程 138 进行评估，形式如下:=PXD(Pex)，其中，P=MGb 为动态再结晶引起的峰值应力，为位错的强化因子，XD=1 exp k(c/p)nd 为动态再结晶的体积分数，k 和 nd为动态再结晶材料参数，c为发生动态再结晶时的临界应变，p为峰值应变。值得注意的是，随应变量的增加，无论动态回复是否同时发生，动态再结晶的开始都对应一个临界的位错密度值 139。一旦位错密度到达该临界值时，将在晶界或其他内部晶体缺陷处形成新晶粒。因此，对于这种形核机制，临界位错密度的关系式 140 如下:0c=20S?3blm2()1/3，其中，S 为晶界能，l 为位错移动的平均自由程，m为晶界的迁移率，为位错线的能量。位错密度为金属材料微观组织演化过程的分析提供了内部条件。通过位错密度演化过程对回复和再结晶过程影响的研究，将微观组织演化与位错的运动联系起来，从而建立材料力学性能与其微观组织结构的相关性。借助于预测得到的微观组织结构和塑性流动行为，可以为实际的生产加工工艺提供合理的参考依据。此外，为了保证工程构件的安全性，强度是其中一个重要的研究课题。在工业生产中，人们常将关注点放在比原子尺寸范围大的其他缺陷，如杂质、裂缝和疏松等，通过改善这些缺陷提高材料强度。工程中用屈服强度和抗拉强度作为强度指标，但是很难针对强度给出定量精确的预测。因此，有必要从微观尺度出发揭示金属材料应变硬化过程的强度来源，指导材料的加工工艺。从位