微分求积法在立方准晶矩形薄板的应用_赵延军.pdf

宝鸡文理学院学报（自然科学版），第 卷，第期，第，页，年 月 （），：微分求积法在立方准晶矩形薄板的应用赵延军，周彦斌，刘官厅（内蒙古师范大学 数学科学学院，内蒙古 呼和浩特 ）摘要：目的研究三维立方准晶矩形薄板在两侧具有非线性分布的余弦压缩载荷作用下的应力分布。方法通过使用微分求积法，把求解微分方程问题转化为求解线性方程组问题。结果求解方程组得到声子场和相位子场在立方准晶矩形薄板各位置的应力分量。结论通过数值结果得到声子场和相位子场的应力变化趋势图，对三维立方准晶薄板的屈曲分析具有一定的指导意义。关键词：余弦载荷分布；立方准晶；微分求积法；应力分布中图分类号：文献标志码：文章编号：（），（，）：，：；：准晶是以色列学者 于 年首次在 合金的电子衍射图中观察到一种具有准周期平移对称性的介于晶体和非晶体之间的固体结构。同时，从理论上提出了具有二十面体对称性的长程准周期序的概念。自发现和初步理论分准晶的准周期特殊晶格结构以来，许多独特的性质引起了科学家们的兴趣，例如耐腐、耐热、低摩擦、低热导率和显著的电子性质。准晶的研究引起了凝聚态物理、材料科学、力学等领域研究人员的广泛关注。准晶体中的缺陷在准晶体被发现的早期阶段已经被观察到，这对材料的安全性存在很大的影响。对于准晶的弹性问题，已经获得了大量的分析结果。范天佑利用应力函数法、变换收稿日期：，修回日期：基金项目：内蒙古自然科学基金项目（）；内蒙古师范大学高层次人才引进科研项目（）作者简介：赵延军（），男，山东枣庄人，在读硕士研究生，研究方向：连续介质力学中的数学问题 ：通讯作者：周彦斌（），男，河北邢台人，讲师，博士，硕士生导师，研究方向：准晶弹性与缺陷力学 ：法、摄动法和复变函数法等若干数学方法，提出了准晶弹性缺陷问题等理论。文献 在连续力学方法的框架内对嵌入准晶中的裂纹进行了分析，研究了准晶中的 裂纹问题，并获得了裂纹尖端附近应力场和应力强度因子的解析表达式。文献 使用 变换技术首先研究了具有 裂纹的十次准晶的奇异弹性声子和相位子应力，并推导了裂纹尖端附近的闭合应力强度因子。把复变函数方法推广到准晶中，处理静态裂纹问题。文献 利用复变函数理论引入新的位移势函数，研究二维准晶的平面弹性问题。文献 推广了复变函数法和保角变换在一维六方准晶中含非对称裂纹圆孔的反平面剪切问题的研究，给出了带裂纹的圆形孔口在裂纹尖端的应力强度因子的解析解。尽管对于传统线弹性断裂力学中各种具有理论和实际重要性的问题，已经获得了足够多与裂纹相关的解，但是在已知的立方准晶中的解很少。文献 通过引入位移函数，解决立方准晶的轴对称弹性问题，得到立方准晶在剪切应力作用下具有圆盘状裂纹问题弹性场、应力强度因子和应变能释放率的精确解。文献 同样利用位移函数把立方准晶中的动力学问题简化为求解波动方程问题，从而得到了运动螺旋位错的位移场和应力场的解析表达式以及位错弹性能和位错动能。文献 基于复势函数方法，求解了含有椭圆孔的立方准晶介质在均匀远场载荷作用下的平面问题，给出了应力强度因子、裂纹张开位移和应变能释放率的显式表达式。文献 提出了一种分析含有粘结缺陷的多层三维立方准晶矩形简支板的静态响应和自由振动的方法，得到任意均匀层中扩展位移和应力的通解，说明了非理想界面对立方准晶板静态响应和自由振动的影响。提出的微分求积法是求解初值和边值问题的一种有效的数值方法。自从 首次使用该方法解决结构力学中的问题以来，该方法得到了很好的发展，并成功地应用于各种问题。文献 将微分求积法引入国内并率先用于结构力学中的应用研究。准晶材料的研究中，对于薄板的研究较少。对于非线性分布压缩载荷屈曲分析这个问题要复杂得多，因为它需要首先解决平面弹性问题以获得平面内应力的分布，然后解决屈曲问题。本文利用微分求积法求解立方准晶在受个相对的侧面上具有非线性分布的余弦压缩载荷的应力分布，为准晶薄板的屈曲分析做了基础。问题陈述考虑三维立方准晶矩形薄板承受单轴非均匀分布边缘载荷的面内弹性问题。如图所示，长度为且宽度为，板厚为，边缘载荷为 ，。准周期方向为轴，取 平面建立直角坐标系。图余弦分布边缘压缩下的矩形板 在不考虑体力的情况下，三维立方准晶的基本方程 如下：本构方程：，。（）几何方程：，（），（）。（）平衡方程：，。（）（）（）式中，和，分别表示声子场和相位子场的应力分量；，和，分别表示声子场和相位子场的应宝鸡文理学院学报（自然科学版）年变；，和，分别表示声子场和相位子场的位移分量。，分别表示声子场弹性常数；，分别表示相位子场弹性常数；，分别表示声子场相位子场耦合弹性常数。用位移分量，和，表示的控制微分方程由（）式给出。（）（），（）（），（）（），（）（）。（）边界条件三维立方准晶矩形薄板在两侧承受非线性分布的余弦压缩载荷为：，。如图，该问题只涉及应力的边界条件：，（），（），（），（），（），（），（），（），（）其中，和是给定常数。相位子场是准晶特有的，其几何意义是无公度 拼砌所表现出的局部重排。准晶的声子场和相位子场是耦合的，因此在下面的分析中，假设相位子场的机械载荷。把公式（）代入（）（）式得到关于位移分量，和，的边界条件，沿着的边界条件：，（）（），（）（）。（）沿着的边界条件：，（）（），（）（）。（）问题求解使用微分求积法求解公式（）。首先对连续的求解区域进行网格划分，把连续的空间用一组离散的节点代替，然后把函数在节点处的偏导数的值近似等于域内同一坐标方向上节点函数的加权和。从而微分求积法将微分方程离散化得到线性方程组，最终得到数值解。图显示了的网格间距。为，方向的网格点数。每个点有个节点自由度（），（），（）和（）（，）。图具有网格间距的矩形板的图 根据微分求积原理，将求解区域划分为网格，第期赵延军 等微分求积法在立方准晶矩形薄板的应用方程式（）在内部网格点处的方程由（）（）式给出。（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）式中的，的取值为到，是相对于和变量的二阶导数的加权系数，是相对于和变量的一阶导数的加权系数。根据微分求积法，令 ，（，）。沿着的边界条件：（）（）（）（），（）其中，；，。（）（）（）（）（）（），（）其中，；，。（）（）（）（），（）其中，；，。（）（）（）（）（）（），（）其中，；，。沿着的边界条件：（）（）（）（），（）其中，；，。（）（）（）（）（）（），（）其中，；，。（）（）（）（），（）其中，；，。（）（）（）（）（）（），（）其中，；，。（）（）式可以组成（）个方程组。写成矩阵形式，得到以下等式：，（）其中，是系数矩阵。宝鸡文理学院学报（自然科学版）年求解（）式可以得到所有网格点位置的位移，然后通过（）式计算任何网格点的应力分量。（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（），（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）。（）数值讨论在微分求积法分析中，为了获得最佳收敛速度，使用以下非均匀网格间距，即，（）（），（）（），（）其中，。考虑个长宽比分别为.，和的薄矩形板，其中和分别是图所示的矩形板的长度和宽度。该板承受余弦分布载荷，在的边缘处 ，。为了清楚地显示应力扩散现象，图图中绘制了无量纲声子场，和 的应力分布，图图中绘制了无量纲相位子场，和 的应力分布。每个图下都有个图，分别对应于.，。由图图可知，应力边界条件满足：，和，在边界点处为零，和 在所有个边界边上的点处近似为零。图面内应力 的分布 图面内应力 的分布 第期赵延军 等微分求积法在立方准晶矩形薄板的应用图面内应力 的分布 图面内应力 的分布 图面内应力 的分布 图面内应力 的分布 从图和图中还可以看出，应力分布是变化的，与施加在边缘的应力分布不同。此外，声子场的应力分量 和 不为零，但是，它们的大小比 小很多，特别是对于应力 而言。同样相位子场的应力分量 和 也不为零，它们的大小比 小，特别是对于应力。得到的应力分布可以更好地分析立方准晶薄板在余弦分布载荷压缩下的屈曲，在屈曲分析中不能忽略除 和 之外的其余应力分量，否则在计算屈曲载荷中可能引起严重的误差。宝鸡文理学院学报（自然科学版）年从图可以看出，声子场应力 的分布近似于小长宽比时施加的边缘应力（如，.或者更小），随着长宽比的变大，变得更均匀分布（如或者更小）。从图可以看出，相位子场应力 的分布比较均匀。当长宽比较大时（如），从图图可以看出声子场应力分量 和 在板的中间部分趋于零，这与 原理一致。表列出了使用微分求积法求解立方准晶薄板的应力分量。取长宽比，在处应力的数值为例，其中网格点数取，。，和 是不考虑相位子场的，和。，和 是考虑相位子场的，和。可以看出，考虑准晶相位子场影响时的应力分布要略小于没有相位子场影响时的应力分布，体现出准晶材料在受力时所表现的力学性质不同于其他材料。表立方准晶在处应力分布 结论本文求解了立方准晶在受个相对的侧面上具有非线性分布的余弦压缩载荷的应力分布，采用的是微分求积法进行求解。为了清楚地显示应力扩散，绘制了不同长宽比的应力分量的图像。从图像中可以看出准晶相位子场的应力分布，数值结果可以看出相位子场对准晶的影响，使其拥有不同于经典材料的性质。相位子场的应力分量对于研究立方准晶板的屈曲分析，是不能忽略的量。在屈曲分析中不能忽略除 和 之外的其余应力分量，否则在计算屈曲载荷中可能引起严重的误差。得到的应力分布有利于准晶薄板在余弦分布载荷的压缩下的屈曲分析。参考文献：，（）：，：，（）：范天佑准晶数学弹性理论及应用北京：北京理工大学出版社，（）：，（）：，（）：（下转第 页）第期赵延军 等微分求积法在立方准晶矩形薄板的应用 ，（）：，：，（）：，（）：，（）：，（；，），（）：，（）：，（，）：，（）：，（）：，（）：，：，（）：尹媛，杨英，王玉，等基于第一性原理的双钙钛矿 光电性质和缺陷特性研究宝鸡文理学院学报（自然科学版），（）：，（编校：李宗红）（上接第 页），（，），（）：郭俊宏，刘官厅 一维六方准晶中具有不对称裂纹的圆形孔口问题的解析解 应用数学学报，（）：周旺民，范天佑，尹姝媛立方准晶材料的剪切裂纹问题应用数学和力学，（）：周旺民，宋玉海 立方准晶材料中的运动螺型位错 应用数学和力学，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：（编校：李哲峰）宝鸡文理学院学报（自然科学版）年