毕业论文-概率论中有关独立性的研究.docx

摘要概率论是研究随机性或不确定性等现象的学科，而独立性的研究是具中重要 内容2，由于实际需耍，对概率论中独立性的研究也较为重耍，并且独立性对 解决一些实际问题具有理论意义。论文关于独立性的研究做了如下分析：首先，本文研究了随机事件独立性的概念、两个和多个事件的独立性、事件 独立性与互不相容，互斥的关系以及在生活中的应用，并通过实例进行了分析。另外，研究了随机变量独立性的概念，性质以及判定方法，也都给出了实例 加以论证。关键词：随机事件；随机变量；独立性AbstractProbability theory is the subject of studying randomness or uncertainty phenome non such as discipline, and the study of independence is one of its important contents. Due to the actual need, it is very important to study the theory of probability, besides, the study of independence has theoretical significance to solve some practical problems.This thesis has done the following analysis on the research of independence:First of all, this paper has studies the concept of the independence of random event, the independence of two or more events , the independence of event, the relationship of incompatibility and the mutual exclusion as well as the application in the life, and these are analyzed through examples.Besides, this paper has studied the concept, the properties and methods of independent random variabilities, and also demonstrating them by examplesKey words: Random events; A random variability; Independence引吞21 随机事件的独立性 31. 1事件独立性的概念31. 1.1两个随机事件的独立性 31. 1.2多个事件的独立性41.1.3事件独立与互不相容的区别与联系61.2随机事件的独立性的应用 81.2.1用于判别两个事件是否独立81.2.2用于分析系统的可靠性82 随机变量的独立性102. 1随机变量独立性的概念 102.2随机变量独立性的性质112.2.1随机变量独立性没有传递性112.2.2 /(兀)与g(y)独立而X与丫不独立122.3随机变量相互独立的判定 13总结19参考文献20致谢21概率论的研究对生产生活都有着密不可分的联系，在概率论的研究屮，研究 随机现象的独立性，尤其显得重耍。对于现有的知识水平，掌握好这个问题，对 于培养抽象概括能力、逻辑推广能力、空间想象能力和自学能力，以及研究这个 课题在实际中的应用价值的体现，都有很大的帮助。对于独立性的理解和判定正 确与否直接关系到建模解题全过程。事件的独立性和随机变量的独立性在概率计 算的简化和证明中有广泛的应用。有不少学者对概率论中的独立性进行了研究。在文献1中胡乔林研究了概 率论屮有关独立性的问题。在文献2中吴俊给出了关于随机事件独立性的若干 性质。在文献3中尹传存，吕玉华，李福山分析了随机变量独立性的一些结果。 在文献5-6中尤芳等人引入了随机变量独立性的若干判定方法及运用。基于对独立性的研究，本文综合了概率论问题中的随机事件和随机变量的独 立性的概念，判定以及应用对独立性问题做出了更加深入的讨论，能够让读者更 准确的理解独立性的相关问题。1随机事件的独立性1.1事件独立性的概念1.1.1两个随机事件的独立性定义1对于事件A和若P(AB) = P(A)P(B)就称事件A和B是相互独立 的，简称A和B独立。注意：(1) A与B是互不相容事件是指4与3不可能同时发生；(2) A与B相互独立指A发生与B发生互不相关；(3) 由上述定义可知必然事件及不可能事件与任何事件都相互独立，定义1中允许 P(A) = 0或=(4) 若A与B相互独立,那么容易推出P(A|B) = O。证：由条件概率的定义及公式P(AB) = P(A)P(B)知：P(AB)=P(AB)P(B)P(A)P(B)P(B)P(A)我们知道，若A与B相互独立，由力关于B的条件概率等于无条件概率，即 两事件A与独立的实际意义应是事件B发生对事件A发生的概率没有影响,更 准确地讲，两事件A与B独立的实际意义为：其中任一事件发生与否对另一事件 的概率没有任何影响，这就是下述所谓的独立扩张定理：定理1若事件A与相互独立，则三对事件(A,劝，(A,B), (A,B),分别也 是相互独立的。证：由 J AB = A-AB ,且 AB 包含于 A,故 P(AB) = P(A)-P(AB),因 A与 B相互独立，有P(AB) = P(A)-P(AB)从而P(AB) = P( A) - P(AB) = P(A) 一 P(A)P(B) = P(A)(1- P(B) = P(A)P(B)A与用相互独立，由A与B的对称性可得兔与B也相互独立，把证得结果应用于 (A,B),可见(入环也相互独立。1.1.2多个事件的独立性前而我们学习了两个事件的独立性的概念、定理，由此我们可以给出三个事 件的独立性的概念。三个事件的独立性的定义：若4、B、C是随机事件E中的三个事件，满足 下列条件：(1) P(AB) = P(A)P(B)；(2) P(BC) = P(B)P(C);(3) P(AC) = P(A)P(C) ；(4) P(ABC) = P(A)P(B)P(C)。则称A、B、C为相互独立的事件。若A、B、C只满足上述(1)、(2)、(3),则称它们为两两相互独立的事件。例1袋中装有四个大小相同的球，其中红球、蓝球、黄球各一个，另一个是 涂有红、蓝、黄三种颜色的球。解：设任取一球其上涂有红色”；B= “任取一球其上涂有蓝色”；C= “任取一球其上涂有黄色”。则P(A) = l/2, P(B) = l/2, P(C) = l/2P(AB) = 1/4, P(AC) = 1/4, P(BC) = 1/4, P(ABC) = 1/4显然P(AB) = P(A)P(B), P(BC) = P(B)P(C), P(AC) = P(A)P(C)但是P(ABC)P(A)P(B)P(C)由此说明：事件A、B、C是两两相互独立的，但三个事件不是相互独立的。 即定义中的4个条件缺一不可，由满足(1)、(2)、(3)不能推出(4)。利用两个事件的 独立性中的结论，可以推广得到：设A、B、C是随机试验E的三个相互独立的 事件，把其中任一个事件换为其对立事件，亦相互独立。他们的关系如图1所示图1例2 个人看管三台机床，设在任一时刻这三台机床正常工作(即不需人照 看)的概率分别为0.9、0.8、0.85 ,求在任一时刻三台机床都正常丁作的概率；(2) 三台机床中至少有一台正常工作的概率。解：显然，三台机床丁作正常与否是相互独立的。设4表示“第i台机床工作正常”(心1,2,3),则P(AJ = 0.9, P(A2) = 0.8, P(A3) = 0.85o三台机床都正常工作即仏、入同时发生的概率P(AA2A3)而 人、码、短是三个相互独立的事件。. P(AlA2A3) = P( A, )P(/u )P( A3) = 0.9 X 0.8 X 0.85 = 0.612(2)三台机床、码、A?中至少有一台正常工作即至少有一个发生的概率 为：/人+码+人3)，利用对立事件的概率及摩根律可知P(4 + A-y + 合)=1 戶(4| + 4。+ 合)=1-P(瓦忑石)=1 一 P(入)P(忑)P(忑)= 1-(1-P(A)(1-P(A2)(1-P(A3)= 1-0.1x0.2x0.15 = 0.997用数学归纳法可以定义：对于粒个事件,&， 53),如果其任意-1 个事件都是相互独立的，且满足PG4/2 P4)P(4J则称这几个事件是相互独立的。正确理解事件独立性这概念还必须明了对下述概念的区别：事件独立与互不 相容的区别与联系。1.1.3事件独立与互不相容的区别与联系两个事件相互独立与互不相容的区别与联系：相互独立与互不相容是两个不 同的概念。两事件互不相容是指两事件不能同时发生，即4B二，分析：互不 相容描述的是两事件Z间的关系，由AB =可得P(AB) = P(A)P(BA) = P(B)P(AB) = 0如 P(A)0,贝lJP(B|A) = Oo反之，如P(A)0,且P(B|A) = O,则P(AB) = O,在古典概型(即样本点有 限)下有AB =，即4与B互不相容。如P(A)0,且P(B|A)0,则4与B两事件必能同吋发生，因而力与B必 然不会互不相容，相互独立与互不相容是两个不同的概念，但它们Z间有关系。例3证明若P(A) 0, P(B) 0则有当A与3两事件独立时，AB，即A与B相容；(2)当AB =，即人与B互不相容时，4与B不独立。证：因力与B两事件相互独立，且P(A)0, P(B)0。可得P(AB) = P(A)P(B)0故AB =(D,即A与B相容。(2)因 AB =(D,故 P(4B) = P() = 0,而 P(A), P(B)均为正数，故 P(A)P(B) 也为正数，于是P(AB)工P(A)P(B),即A与B不相互独立。由上例得到“互不相容”与“独立” Z间的关系。结论：当4与发生的概率都非零(大于0)时，如果4与B相互独立，则人与B 必不互不相容(即相容)；(2) 若A与B互不相容，则A与B必不相互独立；(3) 两个事件互不相容只表明这两个事件不能同吋发生，即至多只能发生一 个，但可以都不发生，两两事件对立则表示它们有且仅有一个发生；值得说明 的是，在实际问题中，判断两事件A与3的独立性通常是根据它们的实际意义看 彼此是否有影响来进行判断的。注意以上结论是在P(A)0,且P0的条件下得到的，如果这些条件不 满足，所得的结论就不同了。如果A与B互不相容，且A = O (P(A) = O,P(B) = O)时，可知A与任何事件 都独立，当然A与B也相互独立，这时两事件A与B相互独立，且互不相容。例4在一正方形平板上均匀地投掷豆子，记事件4二豆子落在左半边区域 , 8 = 豆子落在上半边区域,则AB=豆子落在左上1/4平板上,显然有 P(A) = P(B) = l/2, P(AB) = l/4,所以有 P(AB) = P(A)P(B),即两事件独立, 但是AB二，也就是两事件并不互斥。如果定义A = 豆子落在左半边1 /4区域, 则P(A) = l/4, P(B) = l/2, P(AB) = l/8仍然有P(AB) = P(A)P(B)的两事件独立的关系。这说明两事件其中一个事件 的概率发生改变时，两事件仍有可能是独立的。定理1若人与B相互独立，则艮与B,人与B,人与矗也相互独立。例5有两道单选题，记二第1道题答对, %二第2道题答对，两事件 是独立事件，在两道题都不会的情况下乱猜答案，问只答对1道题的概率。解：第1道题选对第2道题选错的概率P(A1A) = P(A1)P(A) = 1/4x3/4 = 3/16同样，第1道题选错第2道题选对的概率P 币 2)= 3/16所以最终只答对1道题的概率是3/8。例6已知一批种子的出苗率为0.9,现每穴种甲，乙两粒。问一粒出苗 一粒不出苗的概率是多少？解：设A二“甲种子岀苗”，B二“乙种子岀苗”，C二“一粒岀苗另一粒不出 苗”，则C = ABuAB且 B与 B互不相容。由题意知A与是相互独立的。 所以A与万，瓜与B也是独立的，因此所求概率为：P(C) = P(AB) + P(AB) = P(A)P(方)+ P(A)P(B)= 0.9x(l- 0.9) + (1-0.9) x0.9 = 0.181.2随机事件的独立性的应用在实际生产和生活的齐领域，人们在应用概率论的过程屮，通常约定俗成地 假定独立性条件满足，即使系统中的各个环节看上去有明显的相依性，也近似地 假定它们是独立运行的，这样做的根本原因是由于独立性的假设可以大大简化有 关概率的计算。1.2.1用于判别两个事件是否独立在实际应用过程中，我们通常不能用定义来判断两事件是否独立，而是用试 验的方式来判断的，或者用直观上的性质来看一个事件的发生是否会影响另一事 件发生的概率来判断。例7在袋中有白球和黑球各6个，在乂放回的摸球的试验中，设第一次摸到 白球为事件A，第二次摸到黑球为事件仏，显然A只与第一次试验相关，4只 与第二次试验相关。州是否发生不影响事件心发生的概率，即P（每）= 从而事件A与事件码相互独立。1.2.2用于分析系统的可靠性多个独立事件并和交的运算法则，在实际生活中可以将该性质用丁生产中的 系统可靠性分析，从而可以大大简化运算。例8系统正常T作的概率称作该系统的可靠性，假定系统的齐部件是否止常 工作相互独立，第i （/ = 1,2,.个部件正常工作的概率为P,由事件独立性可得, 将斤个部件串联组成的系统的可靠性可表示为R严片,代，而这个部件并 联的系统可靠性为/?2 = 1-（1-片）（1-笃）（1-E），下面介绍儿个比较复杂的系 统:如图2所示(1 ) (2)(3)(4)图2以上四个图中，已标号的部件正常工作的概率均为P,且各个部件是否正常工作 相互独立，分别计算上述四个系统正常工作的概率忆，心，R,心。解：在图中串联部件1至/I正常工作的概率为严，I.0理串联部件1 *至n * 正常工作的概率为从而系统正常工作的概率为：尺二_(1_丹)2 在图中并联部件i与i*(i = 1,2,3,)正常工作的概率为：l-(l-P)2 = P (2-P)将这个并联电路再串联得系统正常工作的概率为：% =P”(2_py 在图中由部件2, 3组成的串联电路正常T作的概率为尸，2, 3与4 组成的并联电路正常工作的概率为：1-(1-P2)(1-P)将该子并联电路与部件1串联后正常丁作的概率为：l-l-(l-P2)(l-P)P而部件5与6串联电路正常T作的概率为Ph从而系统正常T作的概率为：/? =1-1-P(1-(1-P2)(1-P)(1-P2) = 2P2 + P3-2P4 _/ + F 在图(4)中所示的电路图中，系统正常工作的概率可分两种情况进行讨论, 即部件5正常工作与部件5不能正常工作。1、部件5正常工作为事件比，系统正常工作为事件/?，则由Bayes公式，系 统正常工作的概率r5 = p(ra5)p(a5)p(ra5)p(a)当部件5正常工作时，相当于图(2)中n = 2的情形，易得,系统正常工作的概率P(RA5) = P2(2-P)2、当部件5不能正常工作时，相当丁图中n = 2的情形，易得，系统正常 工作的概率P(RA5) = P2-P)综上，系统正常工作的概率Z?5 =P(7?|i45)P(A5) + P(/?A5)P(A5) = PP2(2-P)2 + (l-P)P2(2-P2) = 2P2+3P3-5P4 + 2P5 由此可见，随机事件的独立在实际概率计算中的广泛用途。2随机变量的独立性2.1随机变量独立性的概念随机变量的独立性概念是概率论中的重耍概念Z-0设X及丫为离散随机变量，如果对丁他们任意一对可能值兀及)1,事牛X = x. 与y=X，是独立的，则称随机变量x与y是独立的。按独立事件的概率乘法定理， 对于独立离散随机变量x及丫，我们有卩(兀，)1)= “(忑)內(开)0)其中心1,2,，;丿丄1,2,”。这就是说,独立离散随机变量的联合概率函数 等于他们的边缘概率函数的乘积。设X及Y为连续随机变量，如果对于任意一对数值x及y,事件Xx与 y00,x00,y0由上面得到的结果易知f(x.y) = fx(x)fY(y)所以随机变量x与丫是独立的。最后，我们指出，在实际问题中，判断随机变量的独立性很少借助丁式或（3）来验证，通常是根据经验的直观想法进行判断。2.2随机变量独立性的性质2. 2.1随机变量独立性没有传递性命题1 x,匕z是三个随机变量，由x与y独立和y与z独立不能推出x与 z独立，即随机变量的独立性没有传递性。例io设（x,y,Z）的联合密度函数为：则（X, Y）的联合密度函数为:由此可知，X与丫相互独立，并且都服从标准正态分布。同样可证Y与Z相互独 立，并且都服从标准正态分布，但是X与Z不相互独立。事实上/（x.z）（兀,J二匸/（兀,）沁血L=(x2-2/M7+22)2I 12卜8 一 e 2 dyQC= e2眉1- pX与Z均为标准正态分布，他们的密度函数分别为:所以对一切兀，z/(x.z)(X，Z)H/x(Q/z 故X与Z不互相独立。2. 2. 2 /与g(y)独立而X与丫不独立命题2设X与Y是两个随机变量，/(兀)和g(y)为一元函数。若/(兀)与g(y) 相互独立，则X与丫不一定相互独立。卄(叽),5口4a20,其他例11设(X,Y)的联合密度函数为:其屮a0为常数，“(x)和“(y)都是-a.a JL的连续奇函数，且0v /(x)y(y) a由丁 “(兀)和“(y)均不等丁零,所以当xa, y时，/(兀,刃fx(x)fY(刃。故X 与Y不相互独立。但是，不难证明X?与厂是相互独立的。下而就来证明这一结 论：容易求出(X2,/2)的联合分布函数为：0,x 0或y 0/xyfi xa2,0 y a cr “(x, y)=丄仮,0 x a2a一丄 V7,0 ycr al,x a2, y a2而X?与厂的联合分布函数分别为:O,ySO al,y /0,x 0F 2 (x) = -4xfi x a2所以F(%2,y2)(兀,刃=耳2(兀)耳2(刃故X?与厂是相互独立的。2.3随机变量相互独立的判定判别法Z-：定义法用随机变量独立性的定义判别，是对一系列随机事件的独立性做岀判定，进 而断定随机变量的独立性。判别法Z-：分布函数法由于x与丫的独立条件P(aX bya2Y b2) = P(axX ) P(a2 Yb2)是随机变量的概率关系，而随机变量X的分布函数Fx (x) = PXx完整地刻画 Tx的全部概率特性，因此分布函数可以用來刻画随机变量的独立性。定理2设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),共边缘分布函数分别为 Fx (x), Fr(y),则X与丫相互独立的充耍条件是对任意实数兀都有F(x9y) = Fx(x)-FY(y)该定理把随机变量的概率关系转化为函数关系，而函数关系的判别一般来说会容易些。判别法Z三：密度函数法对于连续型随机变量x与丫的独立性，一些概率教科书给出了如下结果：设 (x,y)是二维连续型随机量则x与丫独立的充分必要条件是联合概率密度函数 等于两个边缘概率密度函数的乘积，即F(x9y) = Fx(x)-FY(y)定理3设二维连续型随机变量(X,Y)有联合密度/任,刃，其边缘密度分别为AWJr(y)，则X与Y独立的充要条件是:f(x,y) = fx(x)-fY(y)儿乎处处成立。该定理给出了判别独立性的一个方法：若处处成立，则X与丫相互独立；若存在非零测度集A,使当(x,y)wA时恒有 门兀,刃工人忆(刃，则X与Y不独立。上述判别法对数学耍求较高，而且边 缘密度函数的计算有时也会很繁琐，故其判例兹不赘述。值得推介的是定理2的 推论：推论1设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为连续函数/(x,y), axb, cyd ,则随机变量X与丫相互独立的充要条件为：(1) 存在连续函数g(x)与加刃使/(x, y) = g(x) h(y)；(2) a, b, c, 分别是与无关的常数或8。推论1使随机变量独立性的判别变为考察联合密度函数是否可分离变量， 以及/(x,y)定域的边界是否为常数的简单工作。例2设8xy,0 x y,0 y 1GZ)% 其他问x与丫是否独立？解：二元密度函数值大于0的定义域为图3所示的阴影部分，固定xe(),l,fx (x)=+ f (x, y)dy = f Sxydy = 4x(1 -x2)00Jv于是4x(1-x2),0x10,其他同理求得A(3?)=f 8 尢 y 10,其他可知/x.y)(x,y) = AU)-A(y)不是儿乎处处成立，所以x与Y不独立。图3判别法Z四：用相关性推断独立性我们知道，随机变量的相关系数卩紬刻画 了随机变量x与YZ间线性相性的程度，那么Qxy是否也可以用來描述随机变量 x与y的独立性呢？我们有：定理4 x与丫独立的必要条件是x与丫不相关，即：x与丫的相关系数 pxy工0,鳩 X与丫的协方差Cov(X.Y) H 0 ；换言之，若pxy H ()或C(x, Y)丰0 , 则X与丫不独立。故定理4可以用于判定随机变量不独立。需耍指出，定理4的逆命题并不成 立，即：“ X与丫不相关”推不出“X与Y独立”。判别法Z五：严格单调连续朗数的性质我们知道，严格单调的连续函数有很好的分析性质，关于随机变量的独立性 有：定理5设X与Y是两个随机变量，g(兀)与/?(y)分别是关丁兀与y严格单调的 连续函数，则X与Y相互独立的的充耍条件是随机变量g(X)与力(丫)相互独立。 判别法Z六：利用联合分布概率判断定理6设（X）为二维离散型随机变量，且具有如表1的联合分布概率，若X 与Y相互独立，则X与Y的联合分布概率矩阵秩必为1。例13设二维随机变量（X,Y）的联合分布列为X。0.1b兀】a0.45问其中a, b取什么值时（X）独立？ 解：若x与y独立，则（0.1+ 6/）（0+ 方）二0.1乂a+ Z? = 0.45,a = 0.3, ” = 05或。=05, b 0.3o例14设二维随机变量（x,y）的联合分布列为：01201/61/91/18113a0问其中a, 0収什么值时，（X,Y）独立？解：X的分布列：011/6 + 1/9 + 1/181/3 + G + 0y的分布列:012pj1/6 + 1/31/9 + q1/18 + 0人=1/6 + 1/3 = 1/2,乙=1/9 + 久厶=1/18 + 0片=1/6 + 1/9 + 1/18 = 1/3, = 1/3 + q + 0山于边缘分布律必满足人+人+人=1及片+匕=1。又X与丫相互独立的等价条件为P产RxPj,可知片+鬥=1且比=PR即 a = 2/9, 0 = 1/9。结果分析：以上两个例子中所对应(x,y)的联合分布概率矩阵的秩均为1。定理7设(X,Y)是连续型随机变量，其联合密度函数为：/(x,y), axb, cy0,y00,其他讨论X与Y的相互独立性。解:设h(x) = ex , g(y) = =v,则有 /*(兀，刃=/?(%) g(y) 乂dT-oo, b = 0, c-00, =0由此可知X与F相互独立。至此，我们研究了随机变量独立性的六种判别方法。判别法的齐个判定条件 与随机变量独立Z间都是充耍条件关系，因而它们既可以用于判定独立，也可以 用于判定不独立。在实际运用时，需耍仔细地甄别、合理地选择和科学地利用这 些不同的关系方可使独立性的判别更有效率。此外还应当指出，在实际应用问题 中，随机变量的独立性往往是凭直觉经验判断出来的，这也是不乏具例的。总结独立性是古典概型事件中一个重耍的概念，本论文主耍介绍了独立性的概 念，随机事件的独立性的某些性质应用及用它来证明某些概率事件。由部分例题 可以清楚的看到如何用定义及性质来解题，让读者看完后能掌握用独立性解题的 方法和独立性的概念应用。参考文献1 胡乔林.浅谈概率论中的独立性问题济南职业学院.2007 (24)2 吴俊.关于随机事件独立性的若干性质.安徽经济管理学院.2000(02)3 尹传存，吕玉华，李福山.随机变量独立性的几个结果.曲阜师大数学系.1998 (04)4 尤芳.随机变量独立性的若干判别法.苏州大学数学科学学院.2006 (05)侯玉双，何莉敏，余亭.随机变量独立性的判定与运甩内蒙古科技大学理学院，中国海洋 大学.2008 (03)6概率论与数理统计(第四版)沈恒范致谢在本论文的写作过程屮，我的导师XXX老师倾注了大量的心血，从选题到 开题报告，从写作提纲，到一遍乂一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，循 循善诱，在此我表示衷心感谢。同时我还耍感谢在我学习期间给我极大关心和支 持的各位老师以及关心我的同学和朋友。