浅谈函数极值的求法及应用.doc

本科毕业论文论文题目： 浅谈函数极值的求法及应用 学生姓名： 于淼 学号： 201000810327 专业： 数学与应用数学（师范类） 指导教师： 吴家超 学 院： 数学科学学院 1 2014年5月4日 目 录中文摘要 1英文摘要 1一、 对一元函数极值问题的简单回顾 2（一）一元函数极值的定义 2（二）一元函数极值的必要条件 2（三）一元函数极值的充分条件 2（四）一元函数求极值的现实应用 3二、 多元函数极值的求法 4（一）多元函数的简单介绍 41.多元函数极值的定义 42.多元函数极值的必要条件 43.多元函数极值的充分条件 44.多元函数极值的应用“牧童”经济模型 5（二）多元函数条件极值 71.Lagrange数乘法 72.Lagrange数乘法的步骤 83.多元函数条件极值的必要条件 94.多元函数条件极值的充分条件 9 5.Lagrange法求多元函数极值的应用一个价格决策模型 10参考文献 15附录 16浅谈函数极值的求法及应用于淼摘要：在日常的生产生活、经济管理以及经济核算中，我们往往要考虑到在前提条件一定的情况下，怎样才能保证以最小的投入获得最高回报的问题。这些问题都可以转化为函数中求最大（小）的问题。在求最值的问题中，我们就用到了函数极值的概念，所以函数极值的讨论具有非常重要的现实意义。本文首先对一元函数极值做了简单回顾，然而现实生活中的问题往往是复杂的，所以本文进一步研究了多元函数极值的求法Lagrange数乘法，并相应地给出了具体的现实模型以及matlab程序对应用加以说明。关键词：极值;多元函数;条件极值;极值应用中图分类号：O1Introduction to the calculational methods and application of absolute extremes of function Yu MiaoAbstract: In daily production and life, economic management and accounting, we often have to think about how to get a maximum return at the minimum investment on issues such as profit maximization under certain circumstances. These problems can be converted to a function for the largest (smallest) problem. In seeking the absolute extremes of function, we used the concept of function extreme. So the discussions on function extreme hold a very important practical significance.At first, this passage made a simple review on calculational methods of extreme value of the function of one variable; the problem is often complicated in real life, however. So in this paper, further research on the extremes for multivariate function are given though laser number multiplication, and correspondingly gives the concrete reality model for application.Keywords: absolute extremes; multivariate function; extremes with a condition; application一、对一元函数极值问题的简单回顾（一）一元函数极值的定义定义1 设是定义在上的函数，,若存在一点的某个邻域,使得,那么，称是的一个极大值点，就是其相应的极大值。若存在一点的某个邻域,使得,那么，称是的一个极小值点，就是其相应的极小值。（二）一元函数极值的必要条件定理1（Fermat引理） 假若是的一个极值点，并且在处可导，那么。（三）一元函数极值的充分条件定理2（极值的第一充分条件） 假若在点某邻域内导数存在。 （i） 如果当时，而当时，那么为极小值。（ii） 如果当时，而当时，那么为极大值。定理3（极值的第二充分条件） 假若在点的某邻域内存在一阶导数，在处存在二阶导数，并且，。（i） 如果，那么为极大值。（ii） 如果，那么为极小值。第一极值条件对稳定点和不可导点适用，第二条件用起来较简便，但在以下三种情况下不适用：不存在，即是不可导点；存在，但不存在；。当第三种情况出现时，就用到极值的第三充分条件:定理4（极值的第三充分条件） 假若在的某邻域内直到阶可导，在处阶导数存在，并且，那么（i） 若为偶数，在处取得极值，并且当时取得极大值，时取得极小值。（ii） 若为奇数，在处不取极值。（四）一元函数求极值的现实应用例1 把一批货物从河边上A城运往距离河km的B城（见图1），轮船运费单价为元/km，火车运费单价为元/km（）,问若在河边一点M处，建筑铁路MB，怎样才能使总运费最少。 Baxd图1解：设，则，。总运费由，得BAM， 。由是其唯一的稳定点，且由可知，是最小值点。所以M点选在距离C点km处时修建铁路，总运费可达到最少。在matlab中求稳定点，程序见附录1。二、多元函数极值的求法（一）多元函数的简单介绍1.多元函数极值的定义定义2 已知是一开区域，是上的函数，。如果存在的一个邻域，使（或），我们称是的极大值点（或极小值点）；相应地，我们称是其相应的极大值（或极小值）。2.多元函数极值的必要条件定理5 如果点是函数的极值点，并且在点有偏导数，那么，在点的一阶偏导数都等于零，即3.多元函数极值的充分条件定理6（多元函数极值的充分条件） 如果元函数在点附近具有二阶连续偏导数，并且是的驻点。那么，当二次型正定时，为函数的极小值；当负定时，为函数的极大值；当不定时，不是极值。记，并记它称为的阶Hesse矩阵。推论1 假若，则二次型正定，此时为它的极小值；假若，则二次型负定，此时为它的极大值。4.多元函数极值的应用“牧童”经济模型这是一个经济学家们非常熟悉的经济模型，它指的是，如果一种资源得不到适当的管理，那么这种资源就会被过度使用。我们将此问题构造如下模型：如果某牧场共有个牧民，他们共同占有同一片草地，每个牧民都可以在这片草地上自由放牧。每年春天，他们都要决定养多少只羊。我们第个牧民饲养的羊的数量记为，。如果我们将每只羊的平均价值表示为，那么就可以看作总羊数的函数，即，其中。因为一只羊需要吃一定数量的草才不至于被饿死，所以这片草地所能容纳的羊的总数量是有限的。设最大容纳量，则当时，；而当时，我们认为。我们从中看出，随着羊总量的逐渐增加，其价值就会随之下降，并且总数增加得愈快，价值就下降得愈快，所以我们假设，。它的变化趋势如图2所示。在我们构建的模型中，如果每个牧民都会随自己的意愿来选择饲养羊的数目以最大化自己的利润。如果购买一只羊的价值为，则第个牧民将得到的利润就为， 。O图2于是为了取得最大利润，羊的数量就要满足以下一阶最优化条件（*） ， 。即使得每个牧民获得最大利润的羊的数目（最优饲养量）（）必是此方程组的解，我们称为最优解。这个方程说明了，每增加一只羊就会产生正负两种效应，正效应是这只羊本身的价值的增加，负效应是这只羊的增加使之前已有羊的价值减少（因为）。从一阶最优化条件我们还能得到，第个牧民的最优饲养量是受其他牧民的饲养数目影响的，因此我们可以认为这样的是的函数，即，我们称其为反应函数。在一阶最优化条件中对求导得。所以。这就表明第个牧民的最优饲养量是随着其他牧民饲养的数目的增加而逐渐减少的。解方程组（*）就可以得到每一个牧民的最优饲养量，。因为以上的计算中我们考虑的都是关于的，所以，得到的是指一下情况下的最优饲养量，即每个牧民在增加饲养量时考虑的只是对自己的羊的价值的影响，而不是对牧场上所有羊的价值的影响。因此这样得出的所以牧民最优饲养量的总和并不一定是整个牧场总的最优饲养量。而实际中，整个牧场的最大利润应该是函数的最大值。它的一阶最优化条件为。设是使整个牧场获得最大利润的羊的总量，也就是整个牧场的最优饲养量。那么，。将（*）中的个式子相加得。通过将以上两式相比较，利用和的单调减少性质就能得到，即个人最优饲养量的总和比整个牧场的最优饲养量要大。这表明没有管理的时候共有草地有可能会被过度使用，从而无法取得最大利润。这就是得不到管理的公共资源的悲剧（Tragedy of Commons）。海洋中鱼类的过度捕捞，森林的乱砍滥伐，大气污染等的资源问题，都是“牧童”经济学的案例。（二）多元函数条件极值条件极值问题是指在条件组，的限制下，求目标函数的极值。在求解的过程中，最传统的方法是消元法，然而，利用Lagrange数乘法就可以不直接依赖消元而求解条件极值问题。1.Lagrange数乘法我们以二元函数为例来说，想要求函数的极值，其中受约束条件 的限制。如果把条件看成是所在的曲线方程，设曲线上的点为函数在条件下的极值点，并且在点的某邻域内方程能唯一地确定一个可微的隐函数，则也必定是的极值点。所以由在点可微，在点可微，我们就得到。 又当满足隐函数定理的条件时。 把代入后又可以得到。 从而存在某一常数，使得在点处满足如果我们引入辅助变量以及辅助函数， 则中三式就成为 这样我们就把一个条件极值问题转化成了讨论函数的无条件极值问题。这种方法就是Lagrange数乘法。我们将中的函数称作Lagrange函数，辅助变量称作Lagrange乘数。2.Lagrange数乘法的步骤由二阶函数的Lagrange数乘法我们总结出多元函数Lagrange数乘法的步骤如下：（1）确定目标函数和条件组；（2）作Lagrange函数，其中的个数为条件组的个数；（3）求Lagrange函数的稳定点（4）对每个稳定点（可能的极值点）据理说明是否为条件极值点。3.多元函数条件极值的必要条件定理8 如果点为函数满足约束条件的条件极值点，那么，必定存在个常数，使得在点成立。若将Lagrange乘数法推广到一般情形。同样可以构造Lagrange函数，那么条件极值点就在方程组（*） 的所有解所对应的点中。4.多元函数条件极值的充分条件定理9 设点及个常数满足方程组（*），那么当方阵为正定（负定）阵时，就是满足约束条件的条件极小（大）值点，所以就是在约束条件下的条件极小（大）值。 然而，在实际生活中我们遇到的往往是求最值问题，这时可以根据问题本身的性质判定最值的存在性。这样，只要把我们所求的的极值跟边界值加以比较，所得到的结果中最大的（最小的）就是所考虑问题中的最大值（最小值）。5.Lagrange法求多元函数极值的应用一个价格决策模型在生产与销售商品的过程中，销售的价格上涨将使得厂家在单位商品上所获得的利润随之增加，但同时也会使消费者的购买欲望有所下降，从而造成销售量的下降，厂家就会消减产量。然而在规模生产中，单位商品的生产成本又是随着产量的增加而降低的，所以销售量、成本与售价是互相影响的。因此，厂家要选择合适的销售价格以获得最大的利润，我们将这个价格称为最优价格。举例来说，一家空调厂在对某种型号空调的销售价格决策时有如下数据：(1) 由市场调查，该地区对该种空调的年平均需求量为100万台；(2) 去年该厂共售出空调10万台，每台的售价为4000元；(3) 生产1台空调的成本为4000元；但在批量生产时，生产1万台时成本就会降低为每台3000元。问：如果生产方式不变的，今年的销售价格定为多少才能取得最大利润？我们先建立一个一般的数学模型。假设这种型号的空调的总销售量为，每生产一台成本为，销售价格定为，则厂家所得的利润就为。根据市场预测，销售量与销售价格之间存在如下关系：，其中为市场最大需求量，为价格系数（售价增加，销售量随之减少）。同时，厂家对每台空调的成本又有如下测算：，这里的为生产1台空调的成本，为规模系数（产量增加即销售量增加，成本就会减小）。于是，问题就成为求利润函数在约束条件下的极值问题。作Lagrange函数，得到最优化条件由第二和第四式得到，即。将第四式带到第五式得。再由第一式就得到。将所得的这三个式子代入第三式，得，解得最优价格为所以只要确定了规模系数与价格系数，问题就得到了解决。现在就能利用这个模型来解决开始提出的问题。此时，。因为去年该厂共售出10万台空调，每台售价为4000元，由此可得；又因为生产1万台时成本就会降低为每台3000元，因此可得。将这些数据代入的表达式，所以今年的最优价格应为（元/台）。Lagrange数乘法求稳定点在matlab中的程序见附录2.参考文献：1陈纪修，於崇华，金路.数学分析第二版 高等教育出版社，2004.2华东师范大学数学系.数学分析第三版 高等教育出版社，2001.3王文波.数学建模及其基础知识详解 武汉大学出版社， 2005.4刘承平.数学建模方法，高等教育出版社， 2002.5杨杰，赵晓辉.数学软件与数学实验，清华大学出版社， 2011.附录：1. syms a b c d x=sym(x); f=b*(d-x)+c*sqrt(a2+x2); df_dx=diff(f)df_dx =(c*x)/(a2 + x2)(1/2) - b solve(df_dx,x)ans = (a*b)/(c2 - b2)(1/2) -(a*b)/(c2 - b2)(1/2) diff(f,2) ans =c/(a2 + x2)(1/2) - (c*x2)/(a2 + x2)(3/2)如果在此问题中我们假设，在程序中，则有 a=10,b=4,c=5,d=15; subs(ans)ans = 13.3333-13.33332. c=sym(c);v=sym(v);x=sym(x);n=sym(n);m=sym(m); syms a1 a2 a3 a4; f=(v-c)*x-m*(x-a1*exp(-a2*v)-n*(c-a3+a4*log(x)f =- m*(x - a1/exp(a2*v) - x*(c - v) - n*(c - a3 + a4*log(x) fc=diff(f,c)fc =- n - x fv=diff(f,v)fv =x - (a1*a2*m)/exp(a2*v) fx=diff(f,x)fx =v - m - c - (a4*n)/x fm=diff(f,m)fm =a1/exp(a2*v) - x fn=diff(f,n)fn =a3 - c - a4*log(x)目 录第一章 项目的意义和必要性11.1 项目名称及承办单位11.2 项目编制的依据11.3 肺宁系列产品的国内外现状21.4产业关联度分析31.5项目的市场分析4第二章 项目前期的技术基础82.1成果来源及知识产权情况，已完成的研发工作82.3产品临床试验的安全性和有效性8第三章 建设方案233.1建设规模233.2 建设内容233.3产品工艺技术233.5产品质量标准293.6 土建工程373.7 主要技术经济指标39第四章 建设内容、地点414.1 建设内容及建设规模414.2 建设地点414.3外部配套情况44第五章 环境保护、消防、节能465.1 环境保护465.2消防495.3节能50第六章 原材料供应及外部配套条件落实情况526.1主要原辅材料、燃料、动力消耗指标526.2 公用工程54第七章 建设工期和进度安排567.1建设工期和进度安排567.2建设期管理56第八章 项目承担单位或项目法人所有制性质及概况578.1 项目承担单位概况578.2 企业财务经济状况588.3 项目负责人基本情况59第九章 投资估算与资金筹措629.1 项目计算期629.2 投资估算的编制依据及参数629.3 投资估算629.4 资金筹措649.5 贷款偿还64第十章 财务评价6510.1财务评价依据6510.2销售收入和销售税金及附加估算6510.3利润总额及分配6610.4盈利能力分析6610.5不确定分析6610.6财务评价结论68第十一章 项目风险分析，效益分析6911.1 风险分析6911.2 效益分析7018