高等教育高数上期末总复习.pptx

高数高数(上上)期末总复习期末总复习函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数函数函数:主要内容主要内容函数极限及连续函数极限及连续 典型例题典型例题例例1 1解法讨论解法讨论解解:例例2 2解解例例3 3解解求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关关 系系高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分主要内容主要内容导数与微分导数与微分典型例题典型例题例例1 1解解:或：设或：设f(x)=xg(x)，g(x)=(x-1)(x-2)(x-100)，则则 f (x)=g(x)+xg(x)，f (0)=g(0)+0=100！。！。例例2 2解解例例3 3解解:例例4 4解解:两边取对数两边取对数例例5 5解解例例6 6解解例例7 7解解:洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理 主要内容主要内容导数的应用导数的应用(一一)例例1 1解解典型例题0；0；2/.导数的应用导数的应用(二二)典型例题典型例题例例1 1最大值例例2 2解：解：例例3 3例例4 4证证例例5 5证明证明例例6 6解解若两曲线满足题设条件若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数数和二阶导数,于是有于是有解此方程组得解此方程组得故所求作抛物线的方程为故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处的曲率圆的圆心为两曲线在点处的曲率圆的圆心为例例7 7解解奇函数奇函数列表列表:极大值极大值拐点拐点极小值极小值作图作图练练 习习 积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分主要内容主要内容不定积分不定积分基本积分表基本积分表是常数是常数)四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式典型例题典型例题例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解(倒代换倒代换)例例4 4解解解得解得例例5 5解解例例6 6解解例例7 7解解例例8 8解解例例9 9解解练习练习注注 或或当当a=0，b0时时当当a0，b=0时时 计算计算其中其中a，b是不全为是不全为0的非负常数的非负常数解解 当当a0，b0时时计算计算求求解解 原式原式=求求解解 原式原式=求求解解 令令则则从而从而求求解法解法1 原式原式=解法解法2 原式原式=计算不定积分计算不定积分解法解法1 原式原式=解法解法2 令令原式原式=计算计算解解 原式原式=计算计算分部积分或三角代换分部积分或三角代换答案答案测测 验验 题题测验题答案测验题答案典型例题典型例题例例1.计算解解:设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时，t=0；当x=a时，t=/2.定积分定积分例例2.计算解解:设,且当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.由前面的换元公式得：再用分部积分公式计算上式的右端的积分。设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et.于是：例例3 求求解解:这是一个这是一个型未定式。可看成以u=cosx为中间变量的复合函数。例例4 计算下列积分计算下列积分.解：1 原式=2 此题用第二换元法(换元换限不换回)。令，则1+lnx=t2,.故原式=)tx=+ln11.2.例5若f(x)在0,1上连续，证明证明：设,则dx=dt,且当x=0时，；时，t=0.于是 注意：此处用到注意：此处用到“定积分与积分变量无关定积分与积分变量无关”的结论。的结论。定积分应用的常用公式定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形定积分的应用定积分的应用如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数极坐标情形极坐标情形(2)体积体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4)旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo(5)细棒的质量细棒的质量(6)转动惯量转动惯量(7)变力所作的功变力所作的功(8)水压力水压力(9)引力引力(10)函数的平均值函数的平均值(11)均方根均方根二、典型例题二、典型例题例例1 1解解由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有例例2 2解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有故所求速度为故所求速度为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为例例3 3在第一象限内求曲线在第一象限内求曲线 上的一点，上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积。图形面积为最小，并求此最小面积。解解 设要求的点为（设要求的点为（x1，y1），），y1=-x12+1,过（过（x1，y1）的切线方程为）的切线方程为令令x=0,y=0得切线的得切线的截距截距:于是，所求面积为于是，所求面积为唯一驻点唯一驻点:解解 在点在点处的切线处的切线l方程为方程为即即所围面积所围面积令令得得t=1。又又故故t=1时，时，S 取最小值。此时取最小值。此时l的方程为的方程为 求曲线求曲线的一条切线的一条切线l，使该曲线与切线，使该曲线与切线 l及直线及直线x=0，x=2所围成的图形面积最小。所围成的图形面积最小。故此切线方程为故此切线方程为又因该切线过点又因该切线过点P（1，0），所以），所以即即从而，切线方程为从而，切线方程为因此，所求旋转体的体积因此，所求旋转体的体积解解 设所作切线与抛物线相切于点设所作切线与抛物线相切于点 ，因，因 过点过点P(1,0)作抛物线作抛物线的切线，该切线与上述抛物的切线，该切线与上述抛物线及线及x轴围成一平面图形，求此图形绕轴围成一平面图形，求此图形绕x轴旋转一周所成的体积。轴旋转一周所成的体积。1.求曲线求曲线 所围的面积所围的面积.1)求交点求交点.2)算面积算面积.2.设平面区域设平面区域D由由x=0,x=1,y=a(oa 0 是常数。是常数。解解 由对称性得由对称性得 8.半径为半径为R的球沉入水中的球沉入水中,求得上部与水面相切求得上部与水面相切,球的比重球的比重与水的相同与水的相同,问问:将球从水中取出需做多少功将球从水中取出需做多少功?解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.在小区间在小区间y,y+y上上,oxy对应球体的一小薄片对应球体的一小薄片,要提高要提高2R高度高度,水上的行程水上的行程:R+y,则则 dw=g(R+y)x2(y)dy 1