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中学自主招生数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．在-2，0，1，这四个数中，最小的数是（ ）
A．-2
B．0
C．1
D．
2．2018年河南省全年生产总值48055.86亿元，数据“48055.86亿”用科学记数法表示为（ ）
A．4.805586×104
B．0.4805586×105
C．4.805586×1012
D．4.805586×1013
3．如图是由5个小立方块搭建而成的几何体，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a+a=a2
B．（2a）3=6a3
C．a3×a3=2a3
D．a3÷a=a2
5．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．为鼓励同学们阅读经典，了解同学们课外阅读经典名著的情况，在某年级随机抽查了20名同学每期的课外阅读名著的情况，调查结果如下表：
课外名著阅读量/本
8
9
10
11
12
学生数
3
3
4
6
4
则关于这20名同学课外阅读经典名著的情况，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是10本
B．平均数是10.25本
C．众数是12本
D．方差是0
7．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号和为4的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．关于x的一元二次方程x2-2x-（m-1）=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0且m≠1
B．m＞0
C．m≥0且m≠1
D．m≥0
9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），B（-2，0），C（2，0），过点B作AC的垂直平分线于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（1，1）
B．（1，）
C．（，1）
D．（1，）
10．如图1，在△ABC中，∠C=90°，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿折线CA→AB匀速运动，到达点B时停止运动，点P出发一段时间后动点Q从点B出发，以相同的速度沿BC匀速运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，并停止运动，设点P的运动时间为ts，△PQC的面积为Scm2，S关于t的函数图象如图2所示（其中0＜t≤3，3≤t≤4时，函数图象均为线段（不含点O），4＜t＜8时，函数图象为抛物线的一部分）给出下列结论：
①AC=3cm； ②当S=时，t=或6．下列结论正确的是（ ）
A．①②都对
B．①②都错
C．①对②错
D．①错②对
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：()0−|−2|=
12．将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果∠1=58°，那么∠2的度数为
13．若不等式组没有解，则m的取值范围是
14．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=2，BC是半圆O的直径，则图中阴影部分的面积为
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，点D是BC上一动点，DE⊥AB，DF⊥BC，将△BDE沿直线DF翻折得到△B'E'D，连接AB'，AE'，当△AB'E'是直角三角形时，则BD=
三.解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．先化简，再求值：，其中x＝+1．
17．随着手机普及率的提高，有些人开始过份依赖手机，一天中使用手机时间过长而形成了“手机瘾”．某校学生会为了解学校初三年级学生使用手机情况，随机调查了部分学生的使用手机时间，将调查结果分成五类：A．基本不用；B．平均每天使用手机1～2小时；C．平均每天使用手机2～4小时；D．平均每天使用手机4～6小时；E．平均每天使用手机超过6小时．并根据统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
（1）学生会一共调查了多少名学生．
（2）此次调查的学生中属于E类的学生有 名，并补全条形统计图．
（3）若一天中使用手机的时间超过6小时，则患有严重的“手机瘾”．该校初三年级共有900人，估计该校初三年级中约有多少人患有严重的“手机瘾”．
18．如图．平行四边形AOBC的顶点为网格线的交点，反比例函数y=（x＞0）的图象过格点A，点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和2B铅笔画出△ABC沿CO所在直线平移，使得点C与点O重合，得到△A′B′O（不写画法）．
①点A′，点B′ （填“是”或“不是”）都在反比例函数图象上；
②四边形A′B′BA是 （特殊四边形），它的面积等于 .
19．如图，AB是半圆O的直径，点C为半圆O右侧上一动点，CD⊥AB于点D，∠OCD的平分线交AB的垂直平分线于点E，过点C作半圆O的切线交AB的垂直平分线于点F．
（1）求证：OC=OE；
（2）点C关于直线EF的对称点为点H，连接FH，EH，OH．
填空：
①当∠E的度数为 时，四边形CFHE为菱形．
②当∠E的度数为 时，四边形CFHO为正方形．
20．小亮家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手AM的仰角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上．洗手盆及水龙头示意图如图2，其相关数据为AM=10cm，MD=6cm，DE=22cm，EH=38cm．求CH的长．（参考数据：sin37°=，cos37°=，tan37°=，≈1.7）
21．某网店经市场调查，发现进价为40元的某新型文具每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
售价x（元）
60
70
80
90
…
销售量y（件）
280
260
240
220
…
（1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是 （填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），求这个函数关系式；
（2）当售价为 元时，当月的销售利润最大，最大利润是 元；
（3）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？
22．（1）问题发现
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠CAB=90°，点D在AC上，过点D作DE⊥BC于点E，以DE，BE为边作▱DEBF，连接AE，AF．
填空：线段AE与AF的关系为 ；
（2）类比探究
将图1中△CDE绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？并说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△CDE绕点C在平面内旋转，若AC=5，DC=3，请直接写出当点A，D，E三点共线时BE的长．
23．如图，抛物线y=ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=-x+3经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点O出发以每秒2个单位的速度沿OB向点B匀速运动，同时点E从点B出发以每秒1个单位的速度沿BO向终点O匀速运动，当点E到达终点O时，点P停止运动，设点P运动的时间为t秒，过点P作x轴的垂线交直线BC于点H，交抛物线于点Q，过点E作EF⊥BC于点F．
①当PQ=5EF时，求出t值；
②连接CQ，当S△CBQ：S△BHQ=5：2时，请直接写出点Q的坐标．
参考答案与试题解析
1. 【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
【解答】解：-2＜1＜0＜，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数比较大小，正数大于零，零大于负数．
2. 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：48055.86亿用科学记数法表示为4.805586×1012．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
3. 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：该几何体的俯视图是
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4. 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式=2a，故A错误；
（B）原式=8a3，故B错误；
（C）原式=a6，故C错误；
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
5. 【分析】设甲的钱数为x，人数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，
依题意，得：．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6. 【分析】根据中位数，平均数，众数，方差的意义解答即可．
【解答】解：A．中位数是＝10.5 （本），故A错误；
B．平均数（8×3+9×3+10×4+11×6+12×4）=10.25（本），正确；
C．众数是10本，故C错误；
D．显然方差不为0，D错误，
故选：B．
【点评】本地考察了中位数平均数，众数以及方差，正确理解中位数，平均数，众数，方差的意义是解题的关键．
7. 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和为4的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次摸出的小球标号和为4的有2种情况，
∴两次摸出的小球标号和为4的概率是：．
故选：B．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8. 【分析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x-（m-1）=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-2）2-4×1×[-（m-1）]=4m＞0，
∴m＞0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
9. 【分析】先确定D为AC的中点，根据中点坐标公式可得结论．
【解答】解：∵BD是AC的垂直平分线，
∴D是AC的中点，
∵A（0，2），C（2，0），
∴D（1，），
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的定义和点的坐标，熟练掌握中点坐标公式是关键．
10. 【分析】①由函数图象可知当0＜t≤3时，点Q未动，点P在AC上移动，移动时间t=3，然后依据路程=时间×速度求解即可；
②求出求S关于t的函数关系式，由S=列出关于t的方程，从而可求得t的值．
【解答】解：由函数图象可知当0＜t≤3时，点Q未动，点P在AC上移动，
∴AC=t×1=3×1=3cm．
故①正确；
在Rt△ABC中，S△ABC=BC•AC=6，即BC×3=6，解得BC=4．
由勾股定理可知：AB=5．
当0＜t≤3时，点Q未动，点P在AC上运动．如图1所示：
S=BC•PC=×4t=2t．
当3≤t≤4时，由题意可知，点Q未动，点P在AB上运动．如图2所示：
PB=AB-AP=5-（t-3）=8-t．
过点P作PH⊥BC，垂足为H，则，
，
由函数图象可知当4＜t＜8时，点Q在BC上，点P在AB上，如图3所示：过点P作PH⊥BC，垂足为H．
同理：PH=（8-t）．
QC=BC-BQ=4-（t-4）=8-t．
∴S
综上所述，S=，
当0＜t≤3时，2t=，解得t＝，
当3≤t≤4时，−t+＝，解得：t=7（舍去），
当4＜t＜8时，，解得t=6或t=10（舍去），
综上所述，当t为或6时，△PQC的面积为．
故②正确．
∴①②都对．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式，依据函数图象求得AC、BC的长是解题的关键．
11. 【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=1-2=-1．
故答案为：-1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12. 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．
【解答】解：如图，由三角形的外角性质得，
∠3=90°+∠1=90°+58°=148°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=148°．
故答案为：148°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
13. 【分析】利用不等式组取解集的方法判断即可求出m的范围．
【解答】解：∵不等式组没有解，
∴m-1≥1，
解得m≥2．
故答案为：m≥2．
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式取解集的方法是解本题的关键．
14. 【分析】根据S阴=（S扇形OFC-S△OFC）+（S△ABC-S△OFC-S扇形OBF），计算即可．
【解答】解：如图，连接OF．
S阴=（S扇形OFC-S△OFC）+（S△ABC-S△OFC-S扇形OBF），
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的面积公式，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．
15. 【分析】分两种情形画出图形：如图1中，当∠AB′E′=90°时，设BD=DB′=x．如图2中，当∠AE′B′=90°时，易证：A，E′，D共线，设BD=AD=x．分别构建方程求解即可．
【解答】解：如图1中，当∠AB′E′=90°时，设BD=DB′=x．
∵DF∥AC，
∴，
，
∵∠ACB′=∠AB′F=∠FDB′=90°，
∴∠AB′C+∠FB′D=90°，∠CAB′+∠AB′C=90°，
∴∠CAB′=∠FB′D，
∴△ACB′∽△B′DF，
，
解得x=．
如图2中，当∠AE′B′=90°时，易证：A，E′，D共线，设BD=AD=x．
在Rt△ACD中，则有x2=42+（6-x）2，
解得x=，
综上所述，满足条件的BD的值为或．
【点评】本题考查翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16. 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=
当x=+1时，原式=．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17. 【分析】（1）根据使用手机时间为C的人数和所占的百分比即可求出总人数；
（2）用总人数减去A、B、C、D类的人数，求出E类的人数，从而补全统计图；
（3）用全校的总人数乘以一天中使用手机的时间超过6小时的学生人数所占的百分比，即可求出答案．
【解答】解：（1）20÷40%=50（人），
答：学生会一共调查了50名学生．
（2）此次调查的学生中属于E类的学生有：50-4-12-20-9=5 （名），
补全条形统计图如图：
（3）900×=90（人），
答：该校初三年级中约有90人患有严重的“手机瘾”．
故答案为：（2）5．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18. 【分析】（1）求出点A坐标，利用待定系数法解决问题即可．
（2）①根据要求画出图形即可，利用图象法判断即可．
②根据矩形的判定方法即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意A（1，4），
∵反比例函数y=经过点A（1，4），
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=．
（2）①△A′B′O如图所示．
观察图象可知A′（-4，-1），B′（-1，-4），
∴A′，B′均在y=的图象上．
②观察图象可知：A，O，B′共线，B，O，A′共线，且OA=OB′=OB=OA′，
∴四边形AA′B′B是矩形，
∴S矩形A′B′BA=AA′•A′B′=5×3=30．
故答案为矩形，30．
【点评】本题考查反比例函数的应用，平移变换，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19. 【分析】（1）先证明EF∥CD，再由角平分线的定义可得∠OCE=∠E，最后由等角对等边可得结论；
（2）①如图2，证明△CEH和△CFH是等边三角形，可得四边形CFHE的四边相等，可得结论；
②如图3，证明△OCF是等腰直角三角形，得OC=FC，根据四边相等且有一个有是直角的四边形是正方形，可得结论．
【解答】证明：（1）如图1，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴EF⊥AB，且EF经过圆心O，
∵CD⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠E=∠ECD，
∵CE平分∠OCD，
∴∠OCE=∠ECD，
∴∠OCE=∠E，
∴OC=OE；
（2）①当∠E的度数为30°时，四边形CFHE为菱形．
理由是：如图2，连接CH，交EF于G，
∵点C关于直线EF的对称点为点H，
∴EF是CH的垂直平分线，
∴FH=CF，EH=CE，EF⊥CH，
∴∠CEG=∠HEG=30°，
∴∠CEH=60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH=CE=CH，
由（1）知：∠OEC=∠OCE=30°，
∴∠FOC=2∠OEC=60°，
∵FC是⊙O的切线，
∴FC⊥OC，
∴∠OCF=90°，
∴∠OFC=30°，
∴∠CFH=2∠OFC=60°，
∴△CHF是等边三角形，
∴FH=FC=CH=EH=CE，
∴四边形CFHE是菱形；
故答案为：30°；
②当∠E的度数为22.5°时，四边形CFHO为正方形；
理由是：如图3，
连接CH，交EF于点G，则FH=CF，OH=OC，
∵∠OEC=∠OCE=22.5°，
∴∠FOC=45°，
∵∠OCF=90°，
∴∠OFC=45°，
∴FC=OC=OH=FH，
∴四边形CFHO为正方形；
故答案为：22.5°．
【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到等边三角形、等腰直角三角形、对称的性质、矩形和正方形的判定等知识，其中（2），对称性质的运用，是解题的关键．
20. 【分析】作AG⊥EH于G，则∠ANM=∠AGC=90°，EG=MN，NG=ME=MD+DE=28，由三角函数求出AN=AM×sin37°=6，MN=AM×cos37°=8，得出EG=8，
AG=AN+NG=34，由三角函数求出CG==20，即可得出结果．
【解答】解：作AG⊥EH于G，如图所示：
则∠ANM=∠AGC=90°，EG=MN，NG=ME=MD+DE=6+22=28，
∵，
∴，
∴EG=8，AG=AN+NG=6+28=34，
∵∠ACG=60°，
，
∴CH=EH-EG-CG=38-8-20=10（cm）；
答：CH的长为10cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题；根据三角函数求出AN、MN、AG的长是解题的关键．
21. 【分析】（1）利用一次函数的性质和待定系数法求解可得；
（2）根据月销售利润=单件利润乘以月销售量可得函数解析式，配方成顶点，再利用二次函数的性质求解可得；
（3）先根据获利不得高于进价的80%得出x的范围，再结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）由表格知，售价每增加10元，销售量对应减少20元，
所以这个函数是一次函数，设其解析式为y=kx+b，
根据题意，得：，
解得：
中学自主招生数学试卷
一．选择题（每题3分，满分36分）
1．﹣的倒数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．下列标志的图形中，是轴对称图形的是但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算中，结果是a6的式子是（ ）
A．a2•a3 B．a12﹣a6 C．（a3）3 D．（﹣a）6
4．下列调查方式，你认为最合适的是（ ）
A．了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C．了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式
D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式
5．若x＝﹣4，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
6．已知|a|＝3，b2＝16，且|a+b|≠a+b，则代数式a﹣b的值为（ ）
A．1或7 B．1或﹣7 C．﹣1或﹣7 D．±1或±7
7．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
9．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1
11．如图，已知菱形ABCD中，∠A＝40°，则∠ADB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
二．填空题（满分18分，每小题3分）
13．据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元，这个数用科学记数法表示为 万元．
14．已知扇形的弧长为4π，圆心角为120°，则它的半径为 ．
15．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为 cm．
16．如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2的值为 ．
17．若一次函数y＝（1﹣2m）x+m的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＜y2，且与y轴相交于正半轴，则m的取值范围是 ．
18．如图（1）是重庆中国三峡博物馆，又名重庆博物馆，中央地方共建国家级博物馆图（2）是侧面示意图．某校数学兴趣小组的同学要测量三峡博物馆的高GE．如（2），小杰身高为1.6米，小杰在A处测得博物馆楼顶G点的仰角为27°，前进12米到达B处测得博物馆楼顶G点的仰角为39°，斜坡BD的坡i＝1：2.4，BD长度是13米，GE⊥DE，A、B、D、E、G在同一平面内，则博物馆高度GE约为 米．（结果精确到1米，参考数据tan27°≈0.50，tan39°≈0.80）
三．解答题
19．（6分）计算：
（1）sin30°﹣cos45°+tan260°
（2）2﹣2+﹣2sin60°+|﹣|
20．（6分）求不等式组的非负整数解．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△△CDF；
（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
22．（8分）今年西宁市高中招生体育考试测试管理系统的运行，将测试完进行换算统分改为计算机自动生成，现场公布成绩，降低了误差，提高了透明度，保证了公平．考前张老师为了解全市初三男生考试项目的选择情况（每人限选一项），对全市部分初三男生进行了调查，将调查结果分成五类：A、实心球（2kg）；B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球；E、其它．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）将上面的条形统计图补充完整；
（2）假定全市初三毕业学生中有5500名男生，试估计全市初三男生中选50米跑的人数有多少人？
（3）甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目：B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球中各选一项，同时选择半场运球、立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树形图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．
23．（9分）随着经济水平的不断提升，越来越多的人选择到电影院去观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过淘票票，猫眼等网上平台购票，快捷且享受更多优惠，电影票价格也越来越便宜．2018年从网上平台购买5张电影票的费用比在现场购买3张电影票的费用少10元，从网上平台购买4张电影票的费用和现场购买2张电影票的费用共为190元．
（1）请问2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格各为多少元？
（2）2019年“元旦”当天，南坪上海城的“华谊兄弟影院”按照2018年在网上平台购票和现场购票的电影票的价格进行销售，当天网上和现场售出电影票总票数为600张．“元旦”假期刚过，观影人数出现下降，于是该影院决定将1月2日的现场购票的价格下调，网上购票价格保持不变，结果发现现场购票每张电影票的价格每降价0.5元，则当天总票数比“元旦”当天总票数增加4张，经统计，1月2日的总票数中有通过网上平台售出，其余均由电影院现场售出，且当天票房总收益为19800元，请问该电影院在1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了多少元？
24．（9分）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC＝BC；
（2）若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．
25．（10分）若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）与y轴交于点C，其图象的顶点为点M，O是坐标原点．
（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）求此二次函数的解析式并写出二次函数的对称轴；
（2）如图1，若a＞0，b＞0，△ABC为直角三角形，△ABM是以AB＝2的等边三角形，试确定a，b，c的值；
（3）设m，n为正整数，且m≠2，a＝1，t为任意常数，令b＝3﹣mt，c＝﹣3mt，如果对于一切实数t，AB≥|2t+n|始终成立，求m、n的值．
26．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：﹣的倒数是：﹣．
故选：B．
2．解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3．解：A、a2•a3＝a5，故本选项错误；
B、不能进行计算，故本选项错误；
C、（a3）3＝a9，故本选项错误；
D、（﹣a）6＝a6，正确．
故选：D．
4．解：A、了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，正确；
B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，故错误；
C、了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，抽样调查方式，故错误；
D、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用抽样调查方式，故错误；
故选：A．
5．解：∵36＜37＜49，
∴6＜＜7，
∴2＜﹣4＜3，
故x的取值范围是2＜x＜3．
故选：A．
6．解：∵|a|＝3，
∴a＝±3；
∵b2＝16，
∴b＝±4；
∵|a+b|≠a+b，
∴a+b＜0，
∴a＝3，b＝﹣4或a＝﹣3，b＝﹣4，
（1）a＝3，b＝﹣4时，
a﹣b＝3﹣（﹣4）＝7；
（2）a＝﹣3，b＝﹣4时，
a﹣b＝﹣3﹣（﹣4）＝1；
∴代数式a﹣b的值为1或7．
故选：A．
7．解：当a＝0时，a2＝0，故A、B中分式无意义；
当a＝﹣1时，a+1＝0，故C中分式无意义；
无论a取何值时，a2+1≠0，
故选：D．
8．解：∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，
∴点A′的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为﹣2+3＝1，
∴A′的坐标为（﹣1，1）．
故选：A．
9．解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴＝，
解得：AB＝4．
故选：C．
10．解：作OD⊥BC交BC与点D，
∵∠COA＝60°，
∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．
∴S扇形AOC＝；
S扇形BOC＝．
在三角形OCD中，∠OCD＝30°，
∴OD＝，CD＝，BC＝R，
∴S△OBC＝，S弓形＝＝，
＞＞，
∴S2＜S1＜S3．
故选：B．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADC＝140°，
∴∠ADB＝×140°＝70°，
故选：D．
12．解：A、∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B、∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C、∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D、∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
二．填空题
13．解：5 400 000＝5.4×106万元．
故答案为5.4×106．
14．解：因为l＝，l＝4π，n＝120，
所以可得：4π＝，
解得：r＝6，
故答案为：6
15．解：连结OB，如图，
∵∠BCD＝22°30′，
∴∠BOD＝2∠BCD＝45°，
∵AB⊥CD，
∴BE＝AE＝AB＝×2＝，△BOE为等腰直角三角形，
∴OB＝BE＝2（cm）．
故答案为：2．
16．解：∵平移后解析式是y＝x﹣b，
代入y＝得：x﹣b＝，
即x2﹣bx＝5，
y＝x﹣b与x轴交点B的坐标是（b，0），
设A的坐标是（x，y），
∴OA2﹣OB2
＝x2+y2﹣b2
＝x2+（x﹣b）2﹣b2
＝2x2﹣2xb
＝2（x2﹣xb）
＝2×5＝10，
故答案为：10．
17．解：∵当1＜2时，y1＜y2，
∴函数值y随x的增大而增大，
∴1﹣2m＞0，
解得m＜
∵函数的图象与y轴相交于正半轴，
∴m＞0，
故m的取值范围是0＜m＜
故答案为0＜m＜
18．解：如图，延长CF交GE的延长线于H，延长GE交AB的延长线于J．设GE＝xm．
在Rt△BDK中，∵BD＝13，DK：BK＝1：2.4，
∴DK＝5，BK＝12，
∵AC＝BF＝HJ＝1.6，DK＝EJ＝5，
∴EH＝5﹣1.6＝3.4，
∵CH﹣FH＝CF，
∴﹣＝12，
∴﹣＝12，
∴x＝12.6≈13（m），
故答案为13．
三．解答题
19．解：
（1）原式＝
＝
（2）原式＝
＝
20．解：解不等式组得﹣2＜x≤5，
所以原不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，5．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
22．解：（1）被调查的学生总人数：150÷15%＝1000人，
选择B的人数：1000×（1﹣15%﹣20%﹣40%﹣5%）＝1000×20%＝200；
补全统计图如图所示；
（2）5500×40%＝2200人；
（3）根据题意画出树状图如下：
所有等可能结果有9种：
BB、BC、BD、CB、CC、CD、DB、DC、DD，
同时选择B和D的有2种可能，即BD和DB，
P（同时选择B和D）＝．
23．解：（1）设现场购买每张电影票为x元，网上购买每张电影票为y元．
依题意列二元一次方程组∵
经检验解得
（2）设1月2日该电影院影票现场售价下调m元，那么会多卖出张电影票．
依题意列一元二次方程：（45﹣m）[（600+）×（1﹣）]＝19800﹣25×（600+）（1﹣）
整理得：16m2﹣120m＝0
m（16m﹣120）＝0
解得m1＝0（舍去） m2＝7.5
答：（1）2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格分别为25元和45元；（2）1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了7.5元．
24．（1）证明：连接OC． （1分）
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°． （2分）
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