高等数学第六版下册复习参考.pptx

一一、空间解析几何、空间解析几何内容小结内容小结 空间平面空间平面一般式点法式截距式三点式1.1.空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 为直线的方向向量.空间直线空间直线一般式对称式参数式为直线上一点;机动 目录 上页 下页 返回 结束 面与面的关系面与面的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2.线面之间的相互关系线面之间的相互关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 直线线与线的关系线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面:垂直：平行：夹角公式：面与线间的关系面与线间的关系直线:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1.求直线与平面的交点.提示提示:化直线方程为参数方程代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、多元函数微分学多元函数微分学连续性 偏导数存在 方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续、偏导数、全微分2.几个基本概念的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、多元函数微分法、多元函数微分法显示结构隐式结构(1)分析复合结构(画变量关系图)(2)正确使用求导法则，如“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号(3)一阶微分形式不变性机动 目录 上页 下页 返回 结束(4)隐函数求导法（一个方程情形；两个方程情形）例例2.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设F(x,y)具有连续偏导数,解解 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故3、多元函数微分法的应用、多元函数微分法的应用1 1.在几何中的在几何中的应用应用求曲线的切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)2.极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法,拉格朗日乘数法)求解最值问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 求函数的方向导数和梯度例例4 求 grad 解解 这里 f(x，y)因为，所以 grad 例例5 设 f(x，y，z)x3xy2z，求grad f(1,1,0)解解 grad f(fx，fy，fz)(3x2y2,2xy,1)，于是 grad f(1，1，0)(2,2,1)函数在此点沿方向(2,-2,-1)增加率最大,其值为3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数在此点沿方向(-2,2,1)减少率最大,其值为-3.例例6.求椭球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解解:所以椭球面在点(1,2,3)处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束 三三.二重积分二重积分1.二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为则 若积分区域为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则2.极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 则例例7.计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:先对 x 积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 对y 积分是常量四四.三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1.“先一后二先一后二”(投影法投影法)方法方法2.“先二后一先二后一”(截面法截面法)方法方法3.“三次积分三次积分”机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.直角坐标情形直角坐标情形:2.不同坐标系的三重积分不同坐标系的三重积分积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成;机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中其中3.重积分的应用重积分的应用1.几何方面面积(平面图形面积或曲面面积),体积,形心等质量,转动惯量,质心,引力 2.物理方面机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中曲面:z=f(x,y),(x,y)D 的面积公式为形心坐标：其中为由例例8.计算三重积分所围解解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.计算双曲抛物面被柱面所截解解:曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A.机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、曲线积分五、曲线积分1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.格林公式格林公式 3.平面上曲线积分与路径无关的等价条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理.设D 是单连通域,在D 内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)(4)在 D 内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理证明采用例例11.计算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解解:线机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解:令设 L 所围区域为D,由格林公式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 在D 内作圆周取逆时针方向,对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证证:设则由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使。机动 目录 上页 下页 返回 结束 六、数项级数的审敛法六、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法判别法:若且则交错级数收敛,概念概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.求幂级数的收敛半径和收敛域七、幂级数求和与函数展开成幂级数七、幂级数求和与函数展开成幂级数 求和3.映射变换法 逐项求导或求积分对和式积分或求导难2.初等变换法:求部分和极限,分解,套用公式等方法;（在收敛区间内）机动 目录 上页 下页 返回 结束 直接展开法 间接展开法 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式4.函数的幂级数展开法例例14.求幂级数的和函数解解:易求出幂级数的收敛半径为 1,及收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此由和函数的连续性得:而及机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式中令x=1,即得例例15.将函数展开成 x 的幂级数.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束