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专题1-分数

专题一 分数及其应用
巩固练习
一、 分数的意义
1、 相关概念
（1）一个物体、一些物体都可以看做一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或者几分都可以用分数表示。(一盘水果、一盘面包)
（2）单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。
（3）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。
（4）分数与除法
关系：当整数除法得不到整数的商时，可以用分数表示除法的商。在用分数表示整数除法的商时，用除数作分母，被除数作分子，除号相当于分数中的分数线。
如果用字母a 、b 分别表示被除数和除数，则a÷b = (b≠0)
注：分数是一种数，除法是一种运算
例题：动物园里有大象9头，金丝猴4只。金丝猴的数量是大象的几分之几？
解析：求金丝猴是大象的几分之几，就是求4是9的几分之几，把9看做一个整体（单位1），平均分成9份，每份一个，4就是这个整体的九分之四（4÷9）。可见，这个问题我们既可以用分数也可以用除法来表示。
2、 练习
（1）5/6吨的分数单位是（ ），再添上（ ）个这样的分数单位就是1吨。
（2）一堆糖，平均分成2份，每份是这堆糖的（ ）。
（3）一个3平米的花坛，种4种花，每种花平均占地多少？
二、 真分数和假分数
1、 相关概念
（1） 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1
（2） 假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1
（3） 带分数：像 这样的分数叫带分数。
（4） 假分数化成整数或带分数：用分子除以分母，能整除的，所得商就是整数；不能整除的，商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子，分母不变。
2、 练习
（1） 判断：
（2） 化简：
三、 分数的基本性质
1、 相关概念
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
2、 练习
（1）把 和 化成分母是10而大小不变的分数
（2）教材P78第九题。
四、 约分和通分
1、 相关概念
（1） 公因数：给定整数12和16，他们共同的因数（1,,2,4）叫做他们的公因数。最大公因数：其中4是12和16的最大公因数，叫做他们的最大公因数。
（2） 互质数：公因数只有1的两个数，叫互质数，如5和9。（质数、合数概念）
（3） 最简分数：一个分数分子和分母只有公因数1，该分数是最简分数。
（4） 约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数叫约分。（如何约分？分子和分母同除以二者的公因数）
（5） 公倍数：给定整数2和3，他们共同的倍数（6,12,18……）叫他们的公倍数。其中，6是最小的公倍数，叫做最小公倍数。
注：如何求两个整数的最大公因数和最小公倍数呢？（28和42）

（6）通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分（如何通分？找出异分母的最小公倍数作为分母）
2、 练习
（1）16和48的最大公因数是 最小公倍数是
（2） 互质的两个数都是质数。（ ）
（3） 某班男生48，女生36人。男女生排队，要使每排人数相同，每排最多有多少人？男女各多少排？
（4） 比较 和 的大小
（5） 化简一个分数，用2约了两次，用3约了一次，得3/8，求原来分数。
（6） 1路公车每隔6分钟发车一次，2路公车每隔8分钟发车一次，两路车同时发车以后，至少多少分钟两车才能第二次同时发车。
五、 分数与小数的互化
（1） 小数化分数：小数表示十分之几、百分之几、千分之几……，直接把小数写成10、100、1000……的分数，再化简。
（2） 分数化小数：分母是10，100……的直接化成小数；分母不是10,100……的，要么用分子除以分母，得出结果（除不尽，通常四舍五入），要么把分母化成10,100……的分数，再化成小数。
（3） 将 互化。
六、 分数的加减法
1、 相关概念
（1）同分母分数加减法：分母不变，分子相加减。
（2）异分母分数加减法：通分
（3）分数加减混合运算：
2、 练习
小红用一根1米的铁丝围了一个三角形，一边是1/4米，一边是3/5米，求另一边长多少米？
七、 分数的乘法
（一） 分数乘整数：分母不变，分子与整数相乘的积作分子。（求一个分数的几倍或求相同分数的和是多少，就是用该分数乘以几。）
例1：小明骑自行车每分钟行1/6千米，今天从家到学校用了40分钟，小明家距学校多少千米？

例2：小明第一天山谷吃了一包瓜子的1/6，下午吃的是上午的3倍，这一天他吃了这包瓜子的几分之几？吃完整包瓜子了吗？

注：分数乘整数，只能是整数和分母约分，整数和分子不能约分。
练习：
1. 小明家种了200棵苹果，每棵树上有220个苹果，如果每个苹果重1/6千克，小明家共收获多少苹果？

2. 小明所在食堂五月份平均每天吃2/15吨大米，六月份平均每天吃的是五月份的3倍，求五、六月份共吃了多少吨大米？

（二） 分数乘分数：分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（若分数能约分，则先约分再相乘）（若是小数乘以分数，先把小数化成分数）
例1：

例2：

注：（公式）
练习：一辆车每分钟行驶6/7千米，1/3小时行驶多少千米？

一段钢管锯成2段需要2/5分钟，若锯成5段需要多久？

（三） 分数乘法混合运算和简便运算
1、回顾整数乘法的交换律、结合律和分配律
a×b=b×a,(a×b)×c=a×(b×c),(a+b)×c=a×c+b×c
有括号的先算括号，没括号的先算乘法，再算加减法
例1：甲乙两人同时从同一地点向相反的方向出发，甲骑摩托每小时行58千米，乙开车每小时行90千米，9/2小时候，二人相距多少千米？

例2：

（注：在分数乘法中，不但可以交换两个分数的位置，还可以交换他们分子（或分母）的位置。）
练习：
一支运输队，第一天运货64吨，第二天是第一天的9/8倍，求两天共运货？

计算：
2、 解决问题
（1） 求“一个数的几分之几是多少”的问题。
例：2003年世界人均耕地面积是2500平方米，我国人均耕地面积仅占世界人均耕地面积的2/5，求我国人均耕地面积？（线段图）

注：单位1的量×比较量占单位1的几分之几=比较量
（2） 已知总量和一个部分量占总量的几分之几，求另一各部分量。
例：已知汽车噪音80分贝，建立绿化带后噪音降低了1/8,求人现在能听到的声音是多少？（线段图）

注：单位1的量—单位1的量×一个量占单位1的几分之几=另一个量
（3） 一个量比已知量多或少几分之几，求这个量的问题。
例：人心脏跳动的次数随年龄变化。青少年每分钟75次，婴儿每分钟比青少年多4/5,求婴儿每分钟跳多少次？（线段图）

注：单位1的量+单位1的量×另一个数量比单位1的量多的几分之几=这个量
练习：
1、 水果店苹果750g,梨比苹果少1/5,橘子比梨多1/3,求橘子？

2、 一堆货物640吨，第一天运走1/4，第二天比第一天多运1/5，求第二天运走多少？

（四） 倒数
求解方法：若是分数，将分子分母交换位置；若是整数，把整数看成分母为1的分数，再交换位置；1的倒数为1；0没有倒数
八、 分数除法
（一） 概述
分数除以整数，等于分数乘以这个整数的倒数；用分子和整数相除的商做商的分子，分母不变，但是分子除以整数得不到整数时不能用这种方法。
（二） 分数除法的混合运算
1、 不含括号的分数混合运算：先乘除，后加减；若只有乘除，则从左到右
例：小明用8米彩带做小花，每朵花用2/3米彩带。他把4朵送给同学，还剩几朵？

2、 含括号的分数混合运算：先算小括号，后算中括号，后算括号外。

（三） 分数除法的应用
1、 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
例：儿童体内水分占体重的4/5,小明的体内水分是28千克，求体重？（设X）

2、 已知一个数比另一个数多几分之几，求另一个数是多少。
例：参加美术小组的有25人，参加美术小组的比参加航模小组的多1/4，求航模小组人数？（设X）

3、 体育组有足球2个，篮球的个数是排球的2/5,足球的个数是篮球的1/4,求排球个数？

注：单位1未知，用除法；单位1已知，用乘法。
（四） 比
1、 比的意义
2、 比值：比的前项除以比的后项。
3、 比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
4、 比的化简：
分数比：前后项同乘以分母的最小公倍数，化成整数比，然后前后项同除以它们的最大公因数（1/4:3/4:1/6）
小数比：前后项的小数点右移相同位数，化成整数比，然后前后项同除以它们的最大公因数。(0.8:0.5:0.1)
5、 比的应用
例1：按比例分配问题的一般解答方法。
幼儿园圣诞节分苹果，按3:4:5的比分给小班、中班、大班，中班分了60个，求一共分了多少个苹果？

例2：按比例分配问题解决的综合解答方法
一批货物分给甲乙丙三人运送，甲分的42吨，占这批货物的2/5,乙丙分的的质量比是4:3，求乙丙分的多少吨？
例3：按比例分配解决复杂问题的方法
老师和小明的体重比是3:1，老师比小明重50千克，求老师和小明共多少千克？

本专题重难点检测：
1、 把3米长的绳子平均分成5份，每份是 米，每份占全长的 。
2、 一本书84页，第一天看了1/6,第二天从 开始看。
3、 一根绳子用去它的3/4后剩下12米，如果用去它的3/8,还剩 米
4、 3:11前项加6，后项应乘 ，比值不变
5、 一个文具盒10元钱，先提价1/10，再降价1/10，现价是
6、 2g盐加入20g水中，盐占盐水的
7、 一批水果60吨，其中梨占总数的2/5,且梨占苹果的4/5,求苹果？
8、 光明小学有学生120人，比燕山小学多1/5,燕山小学有多少人？
9、 两队合作修水渠，甲修了150米，乙比甲多修了1/6，这时两队正好修了全长的5/8,求水渠的长度。