北京中考数学复习专题讲座六：数学思想方法(含详细参考答案).doc

资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。

中考数学复习专题讲座六: 数学思想方法( 二)
一、 中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识, 是解决数学问题的根本
策略。数学思想方法揭示概念、 原理、 规律的本质, 是沟通基础知识与能力的桥梁, 是数学
知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括, 它蕴含于数学
知识的发生、 发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法, 善于迅速调用数学思想方法, 更是提高解题能力根本之所在．因
此, 在复习时要注意体会教材例题、 习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法, 培养用
数学思想方法解决问题的意识．
二、 解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓, 是读书由厚到薄的升华, 在复习中一定要注重培养在解题
中提炼数学思想的习惯, 中考常见到的数学思想方法有: 整体思想、 转化思想、 函数与方程
思想、 数形结合思想、 分类讨论思想等．在中考复习备考阶段, 教师应指导学生系统总结这
些数学思想与方法, 掌握了它的实质, 就能够把所学的知识融会贯通, 解题时能够举一反三。
三、 中考考点精讲
考点四: 方程思想
从分析问题的数量关系入手, 适当设定未知数, 把所研究的数学问题中已知量和未知
量之间的数量关系, 转化为方程或方程组的数学模型, 从而使问题得到解决的思维方法,
这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、 定理中的已知结论构造方程(组)。这种
思想在代数、 几何及生活实际中有着广泛的应用。
例 1
( •广东) 据媒体报道, 中国 公民出境旅游总人数约 5000万人次,
年公民出境旅游总人数约 7200万人次, 若 、 公民出境旅游总人数逐年递增,
请解答下列问题:
( 1) 求这两年中国公民出境旅游总人数的年平均增长率;
( 2) 如果 仍保持相同的年平均增长率, 请你预测 中国公民出境旅游总人数
约多少万人次?
考点: 一元二次方程的应用。810360
专题: 增长率问题。
分析: ( 1) 设年平均增长率为 x．根据题意 公民出境旅游总人数为 5000( 1+x)
万人次, 公民出境旅游总人数 5000( 1+x ) 万人次．根据题意得方程求解;
2
( 2) 中国公民出境旅游总人数约 7200( 1+x) 万人次．
解答: 解: ( 1) 设这两年中国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 x．根据题意得
5000( 1+x) =7200．
2
解得 x1 =0.2=20%, x2 =﹣2.2( 不合题意, 舍去) ．
答: 这两年中国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20%．
( 2) 如果 仍保持相同的年平均增长率,
则 中国公民出境旅游总人数为 7200( 1+x) =7200×120%=8640万人次．
答: 预测 中国公民出境旅游总人数约 8640万人次．
点评: 方程是解决应用题、 实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识, 应用范围非
常广泛。很多数学问题, 特别是有未知数的几何问题, 就需要用方程或方程组的知识来解决。

具有方程思想就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量, 这对解决和计算有关的数学问
题, 特别是综合题, 是非常需要的。
例 2( •桂林) 李明到离家 2.1千米的学校参加初三联欢会, 到学校时发现演出道具还
放在家中, 此时距联欢会开始还有 42分钟, 于是她立即匀速步行回家, 在家拿道具用了 1
分钟, 然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比她从学校步行到家用时
少 20分钟, 且骑自行车的速度是步行速度的 3倍．
( 1) 李明步行的速度( 单位: 米/分) 是多少?
( 2) 李明能否在联欢会开始前赶到学校?
考点: 分式方程的应用。810360
专题: 应用题。
分析: ( 1) 设步行速度为 x米/分, 则自行车的速度为 3x米/分, 根据等量关系: 骑自行
车到学校比她从学校步行到家用时少 20分钟可得出方程, 解出即可;
( 2) 计算出步行、 骑车及在家拿道具的时间和, 然后与 42比较即可作出判断．
解答: 解: ( 1) 设步行速度为 x米/分, 则自行车的速度为 3x米/分,
根据题意得:
,
解得: x=70,
经检验 x=70是原方程的解,
即李明步行的速度是 70米/分．
( 2) 根据题意得, 李明总共需要:
．
即李明能在联欢会开始前赶到．
答: 李明步行的速度为 70米/分, 能在联欢会开始前赶到学校．
点评: 此题考查了分式方程的应用, 设出步行的速度, 根据等量关系得出方程是解答本题
的关键, 注意分式方程一定要检验．
考点五: 函数思想
函数思想是用运动和变化的观点, 集合与对应的思想, 去分析和研究数学问题中的数
量关系, 建立函数关系或构造函数, 运用函数的图象和性质去分析问题、 转化问题, 从而
使问题获得解决。
所谓函数思想的运用, 就是对于一个实际问题或数学问题, 构建一个相应的函数, 从
而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现, 运用函数思想要善于抓住事物
在运动过程中那些保持不变的规律和性质。
例 4
( •十堰) 某工厂计划生产 A、 B两种产品共 50件, 需购买甲、 乙两种材料．生
产一件 A产品需甲种材料 30千克、 乙种材料 10千克; 生产一件 B产品需甲、 乙两种材料
各 20千克．经测算, 购买甲、 乙两种材料各 1千克共需资金 40元, 购买甲种材料 2千克和
乙种材料 3千克共需资金 105元．
( 1) 甲、 乙两种材料每千克分别是多少元?
( 2) 现工厂用于购买甲、 乙两种材料的资金不超过 38000元, 且生产 B产品不少于 28件,
问符合条件的生产方案有哪几种?
( 3) 在( 2) 的条件下, 若生产一件 A产品需加工费 200元, 生产一件 B产品需加工费 300
元, 应选择哪种生产方案, 使生产这 50件产品的成本最低? ( 成本=材料费+加工费)

考点: 一次函数的应用; 二元一次方程组的应用; 一元一次不等式组的应用。810360
专题: 应用题。
分析: ( 1) 设甲材料每千克 x元, 乙材料每千克 y元, 根据购买甲、 乙两种材料各 1千
克共需资金 40元, 购买甲种材料 2千克和乙种材料 3千克共需资金 105元, 可列出方程组
, 解方程组即可得到甲材料每千克 15元, 乙材料每千克 25元;
( 2) 设生产 A产品 m件, 生产 B产品( 50﹣m) 件, 先表示出生产这 50件产品的材料费
为 15×30m+25×10m+15×20( 50﹣m) +25×20( 50﹣m) =﹣100m+40000, 根据购买甲、 乙
两种材料的资金不超过 38000元得到﹣100m+40000≤38000, 根据生产 B产品不少于 28件
得到 50﹣m≥28, 然后解两个不等式求出其公共部分得到 20≤m≤22, 而 m为整数, 则 m的
值为 20, 21, 22, 易得符合条件的生产方案;
( 3) 设总生产成本为 W元, 加工费为: 200m+300( 50﹣m) , 根据成本=材料费+加工费得
到 W=﹣100m+40000+200m+300( 50﹣m) =﹣200m+55000, 根据一次函数的性质得到 W随
m的增大而减小, 然后把 m=22代入计算, 即可得到最低成本．
解答: 解: ( 1) 设甲材料每千克 x元, 乙材料每千克 y元, 则
, 解得
,
因此甲材料每千克 15元, 乙材料每千克 25元;
( 2) 设生产 A产品 m件, 生产 B产品( 50﹣m) 件, 则生产这 50件产品的材料费为
15×30m+25×10m+15×20( 50﹣m) +25×20( 50﹣m) =﹣100m+40000,
由题意: ﹣100m+40000≤38000, 解得 m≥20,
又∵50﹣m≥28, 解得 m≤22,
∴20≤m≤22,
∴m的值为 20, 21, 22,
共有三种方案, 如下表:
A( 件)
B( 件)
20
30
21
29
22
28
( 3) 设总生产成本为 W元, 加工费为: 200m+300( 50﹣m) ,
则 W=﹣100m+40000+200m+300( 50﹣m) =﹣200m+55000,
∵W随 m的增大而减小, 而 m=20, 21, 22,
∴当 m=22时, 总成本最低, 此时 W=﹣200×22+55000=50600元．
点评: 函数思想是函数概念、 性质等知识更高层次的提炼和概括, 是一种策略性的指导方
法。运用函数思想一般是这样进行的: 将问题转化为函数问题, 建立函数关系, 研究这个函
数, 得出相应的结论。
22．( •广元) 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心, 这样必须把 1200m的
3
生活垃圾运走．
( 1) 假如每天能运 xm
3
, 所需时间为 y天, 写出 y与 x之间的函数关系式;
, 则 5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完?
( 2) 若每辆拖拉机一天能运 12m
3
( 3) 在( 2) 的情况下, 运了 8天后, 剩下的任务要在不超过 6天的时间完成, 那么至少需
要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务?

考点: 反比例函数的应用。810360
分析: ( 1) 根据每天能运 xm, 所需时间为 y天的积就是 1200m, 即可写出函数关系式;
3
( 2) 把 x=12×5=60代入, 即可求得天数;
3
( 3) 首先算出 8天以后剩余的数量, 然后计算出 6天运完所需的拖拉机数, 即可求
解．
解答: 解: ( 1) y=
;
( 2) x=12×5=60, 代入函数解析式得; y=
=20( 天) ;
( 3) 运了 8天后剩余的垃圾是 1200﹣8×60=720m．
3
务要在不超过 6天的时间完成则每天至少运 720÷6=120m,
3
则需要的拖拉机数是: 120÷12=10( 辆) ,
则至少需要增加 10﹣5=5辆这样的拖拉机才能按时完成任务．
点评: 本题考查了反比例函数的应用, 现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量, 解答
该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系, 然后利用实际意义求解．
考点六: 数形结合思想
数形结合思想是指从几何直观的角度 ,利用几何图形的性质研究数量关系 ,寻求代数问
题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质 ,解决几何问题(以数助形)
的一种数学思想.数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来, 使问题得以解决。
例 5( •襄阳) 如图, 直线 y=k1x+b与双曲线 y=相交于 A( 1, 2) 、 B( m, ﹣1)
两点．
( 1) 求直线和双曲线的解析式;
( 2) 若 A1( x1, y1) , A2( x2, y2) , A3( x3, y3) 为双曲线上的三点, 且 x1＜x2＜0＜x3, 请
直接写出 y1, y2, y3的大小关系式;
( 3) 观察图象, 请直接写出不等式 k1x+b＞
的解集．
考点: 反比例函数与一次函数的交点问题。810360
专题: 计算题。

分析: ( 1) 将点 A( 1, 2) 代入双曲线 y=, 求出 k2的值, 将 B( m, ﹣1) 代入所得
解析式求出 m的值, 再用待定系数法求出 k1x和 b的值, 可得两函数解析式;
( 2) 根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究;
( 3) 求不等式 k1x+b＞的解集, 就是求 k1x+b＞时自变量的 x的范围, 从图象上看:
直线在双曲线上方, 这是”以形助数”．
根据 A、 B点的横坐标结合图象进行解答．
解答: 解: ( 1) ∵双曲线 y=经过点 A( 1, 2) ,
∴k2=2,
∴双曲线的解析式为: y=．
∵点 B( m, ﹣1) 在双曲线 y=上,
∴m=﹣2, 则 B
( ﹣2, ﹣1) ．
由点 A( 1, 2) , B( ﹣2, 1) 在直线 y=k1x+b上,
得
,
解得
,
∴直线的解析式为: y=x+1．
( 2) ∵在第三象限内 y随 x的增大而减小, 故 y2＜y1＜0,
又∵y3是正数, 故 y3＞0,
∴y2＜y1＜y3．
( 3) 由图可知, x＞1或﹣2＜x＜0．
点评: 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系, 既分析其代数意义, 又揭
示其几何直观, 使数量关系的精确刻划与几何图形的直观形象巧妙、 和谐地结合在一起, 充
分利用这种结合, 寻找解题思路, 使问题化难为易、 化繁为简, 从而得到解决。
例 7( •济南) 如图 1, 抛物线 y=ax +bx+3与 x轴相交于点 A( ﹣3, 0) , B( ﹣1, 0) ,
2
与 y轴相交于点 C, ⊙O1为△ABC的外接圆, 交抛物线于另一点 D．
( 1) 求抛物线的解析式;
( 2) 求 cos∠CAB的值和⊙O1的半径;
( 3) 如图 2, 抛物线的顶点为 P, 连接 BP, CP, BD, M为弦 BD中点, 若点 N在坐标平
面内, 满足△BMN∽△BPC, 请直接写出所有符合条件的点 N的坐标．

考点: 二次函数综合题。810360
分析: ( 1) 利用待定系数法求出抛物线的解析式;
( 2) 如答图 1所示, 由△AOC为等腰直角三角形, 确定∠CAB=45°, 从而求出其三角函数
值; 由圆周角定理, 确定△BO1C为等腰直角三角形, 从而求出半径的长度;
( 3) 如答图 2所示, 首先利用圆及抛物线的对称性求出点 D坐标, 进而求出点 M的坐标
和线段 BM的长度; 点 B、 P、 C的坐标已知, 求出线段 BP、 BC、 PC的长度; 然后利用
△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系, 求出线段 BN和 MN的长度; 最后利用两点间
的距离公式, 列出方程组, 求出点 N的坐标．
解答: 解: ( 1) ∵抛物线 y=ax +bx+3与 x轴相交于点 A( ﹣3, 0) , B( ﹣1, 0) ,
2
∴
,
解得 a=1, b=4,
∴抛物线的解析式为: y=x +4x+3．
2
( 2) 由( 1) 知, 抛物线解析式为: y=x +4x+3,
2
∵令 x=0, 得 y=3,
∴C( 0, 3) ,
∴OC=OA=3, 则△AOC为等腰直角三角形,
∴∠CAB=45°,
∴cos∠CAB=
．
在 Rt△BOC中, 由勾股定理得: BC=
=
．
如答图 1所示, 连接 O1B、 O1B,
由圆周角定理得: ∠BO1C=2∠BAC=90°,
∴△BO1C为等腰直角三角形,
∴⊙O1的半径 O1B=
BC=
．

( 3) 抛物线 y=x +4x+3=( x+2) ﹣1,
2 2
∴顶点 P坐标为( ﹣2, ﹣1) , 对称轴为 x=﹣2．
又∵A( ﹣3, 0) , B( ﹣1, 0) , 可知点 A、 B关于对称轴 x=2对称．
如答图 2所示, 由圆及抛物线的对称性可知: 点 D、 点 C( 0, 3) 关于对称轴对称,
∴D( ﹣4, 3) ．
又∵点 M为 BD中点, B( ﹣1, 0) ,
∴M(
∴BM=
, ) ,
=
;
在△BPC中, B( ﹣1, 0) , P( ﹣2, ﹣1) , C( 0, 3) ,
由两点间的距离公式得: BP= , BC=
∵△BMN∽△BPC,
, PC=
．
∴
, 即
,
解得: BN=
, MN=
．
设 N( x, y) , 由两点间的距离公式可得:
,
解之得,
,
,
∴点 N的坐标为( ,
) 或( ,
) ．

点评: 本题综合考查了二次函数的图象与性质、 待定系数法、 圆的性质、 相似三角形、 勾
股定理、 两点间的距离公式等重要知识点, 涉及的考点较多, 试题难度较大．难点在于第( 3)
问, 需要认真分析题意, 确定符合条件的点 N有两个, 并画出草图; 然后寻找线段之间的
数量关系, 最终正确求得点 N的坐标．
四、 中考真题训练
一、 选择题
1．( •贵港) 如图, 已知直线 y1=x+m与 y2=kx﹣1相交于点 P( ﹣1, 1) , 则关于 x的不
等式 x+m＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是(
)

A．
C．
B．
D．
考点: 一次函数与一元一次不等式; 在数轴上表示不等式的解集。810360
分析: 根据图象和交点坐标得出关于 x的不等式 x+m＞kx﹣1的解集是 x＞﹣1, 即可得
出答案．
解答: 解: ∵直线 y1=x+m与 y2=kx﹣1相交于点 P( ﹣1, 1) ,
∴根据图象可知: 关于 x的不等式 x+m＞kx﹣1的解集是 x＞﹣1,
在数轴上表示为:
,
故选 B．
点评: 本题考查了一次函数与一元一次不等式, 在数轴上表示不等式的解集, 主要培养学
生的观察图象的能力和理解能力．
5．( •柳州) 小兰画了一个函数 y=
的图象如图, 那么关于 x的分式方程
=2
的解是(
)
A．x=1
B．x=2
C．x=3
D．x=4
考点: 反比例函数的图象。810360

分析: 关于 x的分式方程
=2的解就是函数 y=
=2的解就是函数 y=
中, 纵坐标 y=2时的横坐标 x的
中, 纵坐标 y=2时的横坐标
值, 据此即可求解．
解答: 解: 关于 x的分式方程
x的值．根据图象能够得到: 当 y=2时, x=1．
故选 A．
点评: 本题考查了函数的图象, 正确理解: 关于 x的分式方程
=2的解, 就是函数
y=
中, 纵坐标 y=2时的横坐标 x的值是关键．
6．( •广州) 如图, 正比例函数 y1=k1x和反比例函数 y2=的图象交于 A( ﹣1, 2) 、 B
( 1, ﹣2) 两点, 若 y1＜y2, 则 x的取值范围是( )
A．x＜﹣1或 x＞1
B． x＜﹣1或 0＜x＜1
D．﹣1＜x＜0或 x＞1
C．﹣1＜x＜0或 0＜x＜1
考点: 反比例函数与一次函数的交点问题。810360
专题: 数形结合。
分析: 根据图象找出直线在双曲线下方的 x的取值范围即可．
解答: 解: 由图象可得, ﹣1＜x＜0或 x＞1时, y1＜y2．
故选 D．
点评: 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题, 数形结合是解题的关键．
7．( •南平) 如图, 正方形纸片 ABCD的边长为 3, 点 E、 F分别在边 BC、 CD上, 将
AB、 AD分别和 AE、 AF折叠, 点 B、 D恰好都将在点 G处, 已知 BE=1, 则 EF的长为(
)
A．
B．
C．
D．3

考点: 翻折变换( 折叠问题) 。810360
分析: 由正方形纸片 ABCD的边长为 3, 可得∠C=90°, BC=CD=3, 由根据折叠的性质得:
EG=BE=1, GF=DF, 然后设 DF=x, 在 Rt△EFC中, 由勾股定理 EF =EC +FC, 即可得方
2 2 2
程, 解方程即可求得答案．
解答: 解: ∵正方形纸片 ABCD的边长为 3,
∴∠C=90°, BC=CD=3,
根据折叠的性质得: EG=BE=1, GF=DF,
设 DF=x,
则 EF=EG+GF=1+x, FC=DC﹣DF=3﹣x, EC=BC﹣BE=3﹣1=2,
在 Rt△EFC中, EF =EC +FC,
2 2 2
即( x+1) +( 3﹣x)
2
=2
2
2
,
解得: x=,
∴DF=, EF=1+ =．
故选 B．
点评: 此题考查了折叠的性质、 正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中, 注意掌握数
形结合思想与方程思想的应用．
8．( •荆门) 如图, 已知正方形 ABCD的对角线长为 2 , 将正方形 ABCD沿直线 EF
折叠, 则图中阴影部分的周长为(
)
A．8
B．4
C．8
D．6
考点: 翻折变换( 折叠问题) 。810360
分析: 首先由正方形 ABCD的对角线长为 2 , 即可求得其边长为 2, 然后由折叠的性
质, 可得 A′M=AM, D′N=DN, A′D′=AD, 则可得图中阴影部分的周长为:
A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD, 继而求得答案．
解答: 解: ∵正方形 ABCD的对角线长为 2
即 BD=2 , ∠A=90°, AB=AD, ∠ABD=45°,
,
∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2
×
=2,
∴AB=BC=CD=AD=2,
由折叠的性质: A′M=AM, D′N=DN, A′D′=AD,
∴图中阴影部分的周长为:
A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8．
故选 C．

点评: 此题考查了折叠的性质与正方形的性质．此题难度适中, 注意数形结合思想与整体
思想的应用．
9．( •河北) 如图, 在平行四边形 ABCD中, ∠A=70°, 将平行四边形折叠, 使点 D、
C分别落在点 F、 E处( 点 F、 E都在 AB所在的直线上) , 折痕为 MN, 则∠AMF等于(
)
A．70°
B．40°
C．30°
D．20°
考点: 翻折变换( 折叠问题) 。810360
分析: 由平行四边形与折叠的性质, 易得 CD∥MN∥AB, 然后根据平行线的性质, 即可
求得∠DMN=∠FMN=∠A=70°, 又由平角的定义, 即可求得∠AMF的度数．
解答: 解: ∵四边形 ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
根据折叠的性质可得: MN∥AE, ∠FMN=∠DMN,
∴AB∥CD∥MN,
∵∠A=70°,
∴∠FMN=∠DMN=∠A=70°,
∴∠AMF=180°﹣∠DMN﹣∠FMN=180°﹣70°﹣70°=40°．
故选 B．
点评: 此题考查了平行四边形的性质、 平行线的性质与折叠的性质．此题难度不大, 注意
数形结合思想的应用, 注意折叠中的对应关系．
10．( •佛山) 如图, 把一个斜边长为 2且含有 30°角的直角三角板 ABC绕直角顶点 C
顺时针旋转 90°到△A1B1C, 则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是(
)
A．π
B．
C．
D．

考点: 旋转的性质; 扇形面积的计算。810360
分析: 根据直角三角形的性质求出 BC、 AC的长度, 设点 B扫过的路线与 AB的交点为
D, 连接 CD, 能够证明△BCD是等边三角形, 然后求出点 D是 AB的中点, 因此△ACD
的面积等于△ABC的面积的一半, 然后根据△ABC扫过的面积=S扇形 ACA1+S扇形 BCD+S△ACD,
然后根据扇形的面积公式与三角形的面积公式列式计算即可得解．
解答: 解: 在△ABC中, ∠ACB=90°, ∠BAC=30°, AB=2,
∴BC= AB=1, ∠B=90°﹣∠BAC=60°,
∴AC=
=
,
,
∴S△ABC= ×BC×AC=
设点 B扫过的路线与 AB的交点为 D, 连接 CD,
∵BC=DC,
∴△BCD是等边三角形,
∴BD=CD=1,
∴点 D是 AB的中点,
∴S△ACD= S△ABC= ×
∴△ABC扫过的面积=S扇形 ACA1+S扇形 BCD+S△ACD,
×π×(
=
,
=
)
2
+
×π×1
2
+
,
= π+ π+
,
=
π+
．
故选 D．
点评: 此题考查了旋转的性质、 直角三角形的性质以及等边三角形的性质, 注意掌握旋转
前后图形的对应关系, 利用数形结合思想把扫过的面积分成两个扇形的面积与一个三角形面
积是解题的关键, 也是本题的难点．
14．( •威海) 已知二次函数 y=ax +bx+c( a≠0) 的图象如图所示, 下列结论错误的是
2
(
)

A． abc＞0
B． 3a＞2b
C． m( am+b) ≤a﹣b( m为任意实数)
D． 4a﹣2b+c＜0
考点: 二次函数图象与系数的关系。810360
分析: 根据函数图象可得各系数的关系: a＜0, c＞0, 根据对称轴 x=﹣ =﹣1＜0, 则 b
＜0, 再利用图象与 x轴交点左侧小于 1, 则得出图象与坐标轴右侧交点一定小于﹣2, 可知,
4a﹣2b+c＞0, 再结合图象判断各选项．
解答: 解: A．由函数图象可得各系数的关系: a＜0, c＞0, 对称轴 x=﹣ =﹣1＜0, 则
b＜0,
故 abc＞0, 故此选项正确, 但不符合题意;
B．∵x=﹣ =﹣1,
∴b=2a,
∴2b=4a,
∵a＜0, b＜0,
∴3a＞2b, 故此选项正确, 但不符合题意;
C．∵b=2a, 代入 m( am+b) ﹣( a﹣b) 得:
∴m( am+2a) ﹣( a﹣2a) ,
=am +2am+a,
2
=a( m+1) ,
2
∵a＜0,
∴a( m+1) ≤0,
2
∴m( am+b) ﹣( a﹣b) ≤0,
即 m( am+b) ≤a﹣b, 故此选项正确, 但不符合题意;
D．当 x=﹣2代入 y=ax +bx+c, 得出 y=4a﹣2b+c,
2
利用图象与 x轴交点左侧小于 1, 则得出图象与坐标轴右侧交点一定小于﹣2,
故 y=4a﹣2b+c＞0, 故此选项错误, 符合题意;
故选: D．
点评: 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系, 同学们应注意, 二次函数 y=ax +bx+c
2
( a≠0) 的图象, 当 a＜0时, 抛物线向下开口, 当 a与 b同号时( 即 ab＞0) , 对称轴在 y
轴左; 当 a与 b异号时( 即 ab＜0) , 对称轴在 y轴右, 以及利用对称轴得出 a, b的关系
是解题关键．

16．( •衡阳) 如图为二次函数 y=ax +bx+c( a≠0) 的图象, 则下列说法:
2
①a＞0 ②2a+b=0③a+b+c＞0④当﹣1＜x＜3时, y＞0
其中正确的个数为(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
考点: 二次函数图象与系数的关系。810360
分析: 由抛物线的开口方向判断 a与 0的关系, 由 x=1时的函数值判断 a+b+c＞0, 然后
根据对称轴推出 2a+b与 0的关系, 根据图象判断﹣1＜x＜3时, y的符号．
解答: 解: ①图象开口向下, 能得到 a＜0;
②对称轴在 y轴右侧, x=
=1, 则有﹣ =1, 即 2a+b=0;
③当 x=1时, y＞0, 则 a+b+c＞0;
④由图可知, 当﹣1＜x＜3时, y＞0．
故选 C．
点评: 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系, 会利用对称轴的范围求 2a与 b的
关系, 以及二次函数与方程之间的转换, 根的判别式的熟练运用．
二、 填空题
19．( •南宁) 如图, 已知函数 y=x﹣2和 y=﹣2x+1的图象交于点 P, 根据图象可得方程
组
的解是
．

考点: 一次函数与二元一次方程( 组) 。810360
专题: 推理填空题。
分析: 先由图象得出两函数的交点坐标, 根据交点坐标即可得出方程组的解．
解答: 解: ∵由图象可知: 函数 y=x﹣2和 y=﹣2x+1的图象的交点 P的坐标是( 1, ﹣1) ,
又∵由 y=x﹣2, 移项后得出 x﹣y=2,
由 y=﹣2x+1, 移项后得出 2x+y=1,
∴方程组
的解是
．
,
故答案为:
点评: 本题考查了一次函数与二元一次方程组的应用, 主要考查学生的观察图形的能力和
理解能力, 题目具有一定的代表性, 是一道比较好但又比较容易出错的题目．
20．( •连云港) 如图, 直线 y=k1x+b与双曲线 y=交于 A、 B两点, 其横坐标分别为
1和 5, 则不等式 k1x＜ +b的解集是
．
考点: 反比例函数与一次函数的交点问题。810360
专题: 数形结合。
分析: 根据不等式与直线和双曲线解析式的关系, 相当于把直线向下平移 2b个单位, 然
后根据函数的对称性可得交点坐标与原直线的交点坐标关于原点对称, 再找出直线在双曲线
下方的自变量 x的取值范围即可．
解答: 解: 由 k1x＜ +b, 得, k1x﹣b＜
,
因此, 不等式的解集可由双曲线不动, 直线向下平移 2b个单位得到,
直线向下平移 2b个单位的图象如图所示, 交点 A′的横坐标为﹣1, 交点 B′的横坐标为﹣5,
当﹣5＜x＜﹣1或 x＞0时, 双曲线图象在直线图象上方,
所有, 不等式 k1x＜ +b的解集是﹣5＜x＜﹣1或 x＞0．
故答案为: ﹣5＜x＜﹣1或 x＞0．

点评: 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题, 根据不等式与函数解析式得出
不等式的解集与双曲线和向下平移 2b个单位的直线的交点有关是解题的关键．
22．( •淮安) 如图, 射线 OA、 BA分别表示甲、 乙两人骑自行车运动过程的一次函数
的图象, 图中 s、 t分别表示行驶距离和时间, 则这两人骑自行车的速度相差
km/h．
考点: 一次函数的应用。810360
分析: 根据图中信息找出甲, 乙两人行驶的路程和时间, 进而求出速度即可．
解答: 解: 根据图象可得:
∵甲行驶距离为 100千米时, 行驶时间为 5小时, 乙行驶距离为 80千米时, 行驶时间为 5
小时,
∴甲的速度是: 100÷5=20( 千米/时) ; 乙的速度是: 80÷5=16( 千米/时) ;
故这两人骑自行车的速度相差: 20﹣16=4( 千米/时) ;
故答案为: 4．
点评: 此题主要考查了一次函数的应用, 根据已知得出甲乙行驶的路程与时间是解题关
键．
27．( •朝阳) 如图所示中的折线 ABC为甲地向乙地打长途电话需付的电话费 y( 元)
与通话时间 t( 分钟) 之间的函数关系, 则通话 8分钟应付电话费
元．

考点: 一次函数的应用。810360
分析: 根据图形写出点 B、 C的坐标, 然后利用待定系数法求出射线 BC的解析式, 再把
t=8代入解析式进行计算即可得解．
解答: 解: 由图象可得, 点 B( 3, 2.4) , C( 5, 4.4) ,
设射线 BC的解析式为 y=kt+b( t≥3) ,
则
,
解得
,
因此, 射线 BC的解析式为 y=t﹣0.6( t≥3) ,
当 t=8时, y=8﹣0.6=7.4元．
故答案为: 7.4．
点评: 本题考查了一次函数的应用, 根据图象写出点 B、 C的坐标, 利用待定系数法求出
射线 BC的解析式是解题的关键．
28．( •北海) 如图, 点 A的坐标为( ﹣1, 0) , 点 B在直线 y=2x﹣4上运动, 当线段
AB最短时, 点 B的坐标是
．
考点: 一次函数的性质; 垂线段最短。810360
专题: 计算题。
分析: 作 AB′⊥BB′, B′即为当线段 AB最短时 B点坐标, 求出 AB′的解析式, 与 BB′组成
方程组, 求出其交点坐标即可．
解答: 解: 设 AB′解析式为 y=kx+b,

∵AB′⊥BB′, BB′解析式为 y=2x﹣4,
∴2k=﹣1,
k=﹣, 于是函数解析式为 y=﹣ x+b,
将 A( ﹣1, 0) 代入 y=﹣ x+b得, +b=0, b= ﹣,
则函数解析式为 y=﹣ x ﹣,
将两函数解析式组成方程组得,
,
解得
, 故 B点坐标为( , ﹣) ．
故答案为( , ﹣) ．
点评: 本题考查了一次函数的性质和垂线段最短, 找到 B′点是解题的关键, 同时要熟悉
待定系数法求函数解析式．
29．( •宜宾) 如图, 一次函数 y1=ax+b( a≠0) 与反比例函数
B( 4, 1) 两点, 若使 y1＞y2, 则 x的取值范围是
的图象交于 A( 1, 4) 、
．
考点: 反比例函数与一次函数的交点问题。810360

专题: 数形结合。
分析: 根据图形, 找出一次函数图象在反比例函数图象上方的 x的取值范围即可．
解答: 解: 根据图形, 当 x＜0或 1＜x＜4时, 一次函数图象在反比例函数图象上方, y1
＞y2．
故答案为: x＜0或 1＜x＜4．
点评: 本题考查了反比例函数一次函数的交点问题, 要注意 y轴左边的部分, 一次函数图
象在第二象限, 反比例函数图象在第三象限, 这也是本题容易忽视而导致出错的地方．
三、 解答题
30．( •南通) 甲．乙两地距离 300km, 一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．
如图, 线段 OA表示货车离甲地的距离 y( km) 与时间 x( h) 之间的函数关系, 折线 BCDE
表示轿车离甲地的