数学中考总复习-专项突破汇编--(4)圆的综合型问题.docx

备战2019中考初中数学六大题型专项突破专题四:圆的综合型问题【方法指导】圆的综合型问题往往离不开圆的切线、直径、圆周角，易产生直角三角形、等腰三角形或者等边三角形、形成全等三角形和相似三角形，从而产生综合型较强的问题。主要理解策略有：理解圆的切线的性质，圆周角定理、垂径定理，会根据这些定理作出辅助线，构造直角三角形，再直角三角形中利用勾股定理、锐角三角形函数解决问题。【典例解析】类型一：与切线相关的综合题【例1】（2018东营）（8.00分）如图，CD是O的切线，点C在直径AB的延长线上（1）求证：CAD=BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长【分析】（1）连接OD，由OB=OD可得出OBD=ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180，利用等角的余角相等，即可证出CAD=BDC；（2）由C=C、CAD=CDB可得出CDBCAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长【解答】（1）证明：连接OD，如图所示OB=OD，OBD=ODBCD是O的切线，OD是O的半径，ODB+BDC=90AB是O的直径，ADB=90，OBD+CAD=90，CAD=BDC（2）解：C=C，CAD=CDB，CDBCAD，=BD=AD，=，=，又AC=3，CD=2【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等证出CAD=BDC；（2）利用相似三角形的性质找出类型二：与三角函数相关的综合题【例2】（2018广西贵港）（8.00分）如图，已知O是ABC的外接圆，且AB=BC=CD，ABCD，连接BD（1）求证：BD是O的切线；（2）若AB=10，cosBAC=，求BD的长及O的半径【分析】（1）如图1，作直径BE，半径OC，证明四边形ABDC是平行四边形，得A=D，由等腰三角形的性质得：CBD=D=A=OCE，可得EBD=90，所以BD是O的切线；（2）如图2，根据三角函数设EC=3x，EB=5x，则BC=4x根据AB=BC=10=4x，得x的值，求得O的半径为，作高线CG，根据等腰三角形三线合一得BG=DG，根据三角函数可得结论【解答】（1）证明：如图1，作直径BE，交O于E，连接EC、OC，则BCE=90，OCE+OCB=90，ABCD，AB=CD，四边形ABDC是平行四边形，A=D，OE=OC，E=OCE，BC=CD，CBD=D，A=E，CBD=D=A=OCE，OB=OC，OBC=OCB，OBC+CBD=90，即EBD=90，BD是O的切线；（2）如图2，cosBAC=cosE=，设EC=3x，EB=5x，则BC=4x，AB=BC=10=4x，x=，EB=5x=，O的半径为，过C作CGBD于G，BC=CD=10，BG=DG，RtCGD中，cosD=cosBAC=，DG=6，BD=12 类型三：与相似三角形相关的综合题【例3】（2018山东淄博）（8分）如图，以AB为直径的O外接于ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AEBD）的长是一元二次方程x25x+6=0的两个实数根（1）求证：PABD=PBAE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由【考点】MR：圆的综合题【分析】（1）易证APE=BPD，EAP=B，从而可知PAEPBD，利用相似三角形的性质即可求出答案（2）过点D作DFPB于点F，作DGAC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知cosBDF=cosBAC=cosAPC=，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积【解答】解：（1）DP平分APB，APE=BPD，AP与O相切，BAP=BAC+EAP=90，AB是O的直径，ACB=BAC+B=90，EAP=B，PAEPBD，PABD=PBAE；（2）过点D作DFPB于点F，作DGAC于点G，DP平分APB，ADAP，DFPB，AD=DF，EAP=B，APC=BAC，易证：DFAC，BDF=BAC，由于AE，BD（AEBD）的长是x25x+6=0，解得：AE=2，BD=3，由（1）可知：，cosAPC=，cosBDF=cosAPC=，DF=2，DF=AE，四边形ADFE是平行四边形，AD=AE，四边形ADFE是菱形，此时点F即为M点，cosBAC=cosAPC=，sinBAC=，DG=，在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形其面积为：DGAE=2=【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力【真题热身】1. （2018贵阳）（10.00分）如图，AB为O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OCAB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PEOC于点E，设OPE的内心为M，连接OM、PM（1）求OMP的度数；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长2. （2018山东枣庄）（8分）如图，在RtACB中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作O交AB于点D（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与O相切？请说明理由3. （2018哈尔滨）（10.00分）已知：O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分EDF（1）如图1，求证：CBE=DHG；（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HKBN交DE于点K，过点E作EPBN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交O于点R，连接BR，若BER的面积与DHK的面积的差为，求线段BR的长4. （2018浙江衢州）（10分）如图，已知AB为O直径，AC是O的切线，连接BC交O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EHAB于H（1）求证：HBEABC；（2）若CF=4，BF=5，求AC和EH的长5. （2018广西南宁）（10.00分）如图，ABC内接于O，CBG=A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EFBC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD（1）求证：PG与O相切；（2）若=，求的值；（3）在（2）的条件下，若O的半径为8，PD=OD，求OE的长【参考答案】1. （2018贵阳）（10.00分）如图，AB为O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OCAB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PEOC于点E，设OPE的内心为M，连接OM、PM（1）求OMP的度数；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长【分析】（1）先判断出MOP=MOC，MPO=MPE，再用三角形的内角和定理即可得出结论；（2）分两种情况，当点M在扇形BOC和扇形AOC内，先求出CMO=135，进而判断出点M的轨迹，再求出OOC=90，最后用弧长公式即可得出结论【解答】解：（1）OPE的内心为M，MOP=MOC，MPO=MPE，PMO=180MPOMOP=180（EOP+OPE），PEOC，即PEO=90，PMO=180（EOP+OPE）=180（18090）=135，（2）如图，OP=OC，OM=OM，而MOP=MOC，OPMOCM，CMO=PMO=135，所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135的两段劣弧上（和）；点M在扇形BOC内时，过C、M、O三点作O，连OC，OO，在优弧CO取点D，连DA，DO，CMO=135，CDO=180135=45，COO=90，而OA=4cm，OO=OC=4=2，弧OMC的长=（cm），同理：点M在扇形AOC内时，同的方法得，弧ONC的长为cm，所以内心M所经过的路径长为2=2cm【点评】本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点I的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题2. （2018山东枣庄）（8分）如图，在RtACB中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作O交AB于点D（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与O相切？请说明理由【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CDAB，易知ACDABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长（2）当ED与O相切时，由切线长定理知EC=ED，则ECD=EDC，那么A和DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点在证明时，可连接OD，证ODDE即可【解答】解：（1）在RtACB中，AC=3cm，BC=4cm，ACB=90，AB=5cm；连接CD，BC为直径，ADC=BDC=90；A=A，ADC=ACB，RtADCRtACB；，；（2）当点E是AC的中点时，ED与O相切；证明：连接OD，DE是RtADC的中线；ED=EC，EDC=ECD；OC=OD，ODC=OCD；EDO=EDC+ODC=ECD+OCD=ACB=90；EDOD，ED与O相切【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识3. （2018哈尔滨）（10.00分）已知：O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分EDF（1）如图1，求证：CBE=DHG；（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HKBN交DE于点K，过点E作EPBN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交O于点R，连接BR，若BER的面积与DHK的面积的差为，求线段BR的长【分析】（1）由正方形的四个角都为直角，得到两个角为直角，再利用同弧所对的圆周角相等及角平分线定义，等量代换即可得证；（2）如图2，过H作HMKD，垂足为点M，根据题意确定出BEPHKM，利用全等三角形对应边相等即可得证；（3）根据3HF=2DF，设出HF=2a，DF=3a，由角平分线定义得到一对角相等，进而得到正切值相等，表示出DM=3a，利用正方形的性质得到BEDDFB，得到BE=DF=3a，过H作HSBD，垂足为S，根据BER的面积与DHK的面积的差为，求出a的值，即可确定出BR的长【解答】（1）证明：如图1，四边形ABCD是正方形，A=ABC=90，F=A=90，F=ABC，DA平分EDF，ADE=ADF，ABE=ADE，ABE=ADF，CBE=ABC+ABE，DHG=F+ADF，CBE=DHG；（2）如图2，过H作HMKD，垂足为点M，F=90，HFFD，DA平分EDF，HM=FH，FH=BP，HN=BP，KHBN，DKH=DLN，ELP=DLN，DKH=ELP，BED=A=90，BEP+LEP=90，EPBN，BPE=EPL=90，LEP+ELP=90，BEP=ELP=DKH，HMKD，KMH=BPE=90，BEPHKM，BE=HK；（3）解：如图3，连接BD，3HF=2DF，BP=FH，设HF=2a，DF=3a，BP=FH=2a，由（2）得：HM=BP，HMD=90，F=A=90，tanHDM=tanFDH，=，DM=3a，四边形ABCD为正方形，AB=AD，ABD=ADB=45，ABF=ADF=ADE，DBF=45ABF，BDE=45ADE，DBF=BDE，BED=F，BD=BD，BEDDFB，BE=FD=3a，过H作HSBD，垂足为S，tanABH=tanADE=，设AB=3m，AH=2m，BD=AB=6m，DH=ADAH=m，sinADB=，HS=m，DS=m，BS=BDDS=5m，tanBDE=tanDBF=，BDE=BRE，tanBRE=，BP=FH=2a，RP=10a，在ER上截取ET=DK，连接BT，由（2）得：BEP=HKD，BETHKD，BTE=KDH，tanBTE=tanKDH，=，即PT=3a，TR=RPPT=7a，SBERSDHK=，BPERHMDK=，BP（ERDK）=BP（ERET）=，2a7a=，解得：a=（负值舍去），BP=1，PR=5，则BR=【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：正方形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键4. （2018浙江衢州）（10分）如图，已知AB为O直径，AC是O的切线，连接BC交O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EHAB于H（1）求证：HBEABC；（2）若CF=4，BF=5，求AC和EH的长【分析】（1）根据切线的性质即可证明：CAB=EHB，由此即可解决问题；（2）连接AF由CAFCBA，推出CA2=CFCB=36，推出CA=6，AB=3，AF=2，由RtAEFRtAEH，推出AF=AH=2，设EF=EH=x在RtEHB中，可得（5x）2=x2+（）2，解方程即可解决问题；【解答】解：（1）AC是O的切线，CAABEHAB，EHB=CABEBH=CBA，HBEABC（2）连接AFAB是直径，AFB=90C=C，CAB=AFC，CAFCBA，CA2=CFCB=36，CA=6，AB=3，AF=2=，EAF=EAHEFAF，EHAB，EF=EHAE=AE，RtAEFRtAEH，AF=AH=2，设EF=EH=x在RtEHB中，（5x）2=x2+（）2，x=2，EH=2【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题5. （2018广西南宁）（10.00分）如图，ABC内接于O，CBG=A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EFBC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD（1）求证：PG与O相切；（2）若=，求的值；（3）在（2）的条件下，若O的半径为8，PD=OD，求OE的长【分析】（1）要证PG与O相切只需证明OBG=90，由A与BDC是同弧所对圆周角且BDC=DBO可得CBG=DBO，结合DBO+OBC=90即可得证；（2）求需将BE与OC或OC相等线段放入两三角形中，通过相似求解可得，作OMAC、连接OA，证BEFOAM得=，由AM=AC、OA=OC知=，结合=即可得；（3）RtDBC中求得BC=8、DCB=30，在RtEFC中设EF=x，知EC=2x、FC=x、BF=8x，继而在RtBEF中利用勾股定理求出x的，从而得出答案【解答】解：（1）如图，连接OB，则OB=OD，BDC=DBO，BAC=BDC、BDC=GBC，GBC=BDC，CD是O的切线，DBO+OBC=90，GBC+OBC=90，GBO=90，PG与O相切；（2）过点O作OMAC于点M，连接OA，则AOM=COM=AOC，=，ABC=AOC，又EFB=OGA=90，BEFOAM，=，AM=AC，OA=OC，=，又=，=2=2=；（3）PD=OD，PBO=90，BD=OD=8，在RtDBC中，BC=8，又OD=OB，DOB是等边三角形，DOB=60，DOB=OBC+OCB，OB=OC，OCB=30，=，=，可设EF=x，则EC=2x、FC=x，BF=8x，在RtBEF中，BE2=EF2+BF2，100=x2+（8x）2，解得：x=6，6+8，舍去，x=6，EC=122，OE=8（122）=24【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点