历年全国初中数学竞赛试卷及答案解析(巨无霸版).doc

历年全国初中数学竞赛试卷及答案解析

历年全国初中数学
竞赛试卷及答案解析

目录
1998年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 3
1999年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 9
2000年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 16
2001年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 22
2002年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 28
2003年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 35
2004年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 44
2005年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 51
2006年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 58
2007年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 65
2008年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 77
2009年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 84
2010年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 92
2011年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 100
2012年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 108
2013年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 121
2014年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案 129

1998年全国初中数学竞赛试卷及答案解析
一、 选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分).
1、 已知都是实数，并且，那么下列式子中正确的是(B).
A.
B.
C.
D.
【解析】 B.
根据不等式的基本性质.
2、 如果方程的两根之差是1，那么p的值为(D).
A. 2；
B. 4；
C.
D.
【解析】 D.

3、 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且，那么△ABC的面积等于(C).
A. 12；
B. 14；
C. 16；
D. 18.
【解析】 C.

4、 已知，并且，那么直线一定通过第()象限.(B)
A. 一、二；
B. 二、三；
C. 三、四；
D. 一、四.
【解析】 B.

5、 如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对(a、b)共有(C).
A. 17个；
B. 64个；
C. 72个；
D. 81个.
【解析】 C.

二、 填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分).
6、 在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=_____.
【解析】

7、 已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于_____.
【解析】 6.

8、 已知圆环内直径为，外直径为，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为_____cm.
【解析】 49a+b.

9、 已知方程，至少有一个整数根，那么a=_____.
【解析】 1，3或5.

10、 B船在A船的西偏北处，两船相距，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是_____km.
【解析】 .

三、 解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).
11、 如图，在等腰中，，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积.

【解】 解法一：

解法二：

12、 设抛物线的图象与x轴只有一个交点.
(1)求a的值；
(2)求的值.
【解】

13、 A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台.已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元.
(1)设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W(元)关于x(台)的函数关系式，并求W的最大值和最小值.
(2)设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W(元)，并求W的最大值和最小值.
【解】

1999年全国初中数学竞赛试卷及答案解析
一、 选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).
1、 一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是(C).
A. 11；
B. 12；
C. 13；
D. 14.
【解析】 C.
.
2、 某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费(B).
A. 60元；
B. 66元；
C. 75元；
D. 78元.
【解析】 B.
设4月份用户使用煤气x(x>60)立方米.则
60×0.8+1.2×(x-60)=0.88x.解得x=75.
故4月份该用户应交煤气费0.88×75=66元.
3、 已知，那么代数式的值为(D).
A.
B.
C.
D.
【解析】 D.

4、 在中，D是边BC上的一点，已知，那么的面积是(B).
A. 30；
B. 36；
C. 72；
D. 125.
【解析】 B.

5、 如果抛物线与x轴的交点为A，B，顶点为C，那么△ABC的面积的最小值是(A).
A. 1；
B. 2；
C. 3；
D. 4.
【解析】 A.

6、 在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为(D).
A. 2；
B. 3；
C. 4；
D. 5.
【解析】 D.

二、 填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).
7、 已知，那么的值为_____.
【解析】 10.

8、 如图，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP与AB的交点为F.设DP=xcm，△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是_____(0＜x＜10).

【解析】 y=5x+50.

9、 已知，那么的值为_____.
【解析】 .

10、 如图，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A、B两点在第Ⅰ象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是_____.

【解析】 .

11、 设有一个边长为1的正三角形，记作A1(如图3)，将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2(如图4)；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3(如图5)；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长_____.

【解析】 .

12、 江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等.如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机_____台.
【解析】 6.

三、 解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).
13、 设实数分别满足，并且，求的值.
【解】

14、 如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长.

【解】 如图所示，连接BO并延长交AD于H，连接OD.则

15、 有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3.例如，30可以这样得到：
.
(1)证明：可以得到22；
(2)证明：可以得到.
【解析】 (1)倒过来考虑：
①22假设是通过乘法得到，则必是×2；
A，11假设是通过+2得到；
9必是×3得到.
3必是+2得到.(*)
B，11假设是通过+3得到.
8必是×2得到.
(A)4是+2得到；
2必是×2得到.(*)
(B)4是+3得到.(*)
②22假设是通过加法得到.
A，假设是+2得到；
20必是×2得到.
(A)10假设是+2得到；
8必是×2得到.
a，4是+2得到；
2必是×2得到.(*)
b，4是+3得到.(*)
(B)10假设是+3得到.
7不能通过乘法得到，不满足.
B，假设是+3得到.
19不能通过乘法得到，不满足.
故所有方法有

(2)倒过来考虑：

【解】 证明：(1).
或

证明：(2)

2000年全国初中数学竞赛试卷及答案解析
一、 选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).
1、 设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若，则M与P的大小关系是(B).
A.
B.
C.
D. 不确定.
【解析】 B.

2、 某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米(b﹤a)，再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是(C).

【解析】 C.
图(A)中没有反映休息所消耗的时间；图(B)虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图(D)中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图(C)正确地表述了题意.
3、 甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么(A).
A. 甲比乙大5岁；
B. 甲比乙大10岁；
C. 乙比甲大10岁；
D. 乙比甲大5岁.
【解析】 A.
设甲、乙的年龄差是x岁.则
乙现在(10+x)岁，甲现在(25-x)岁，年龄差为[(25-x)-(10+x)]=15-2x岁.
故15-2x=x，即x=5.
4、 一个一次函数图象与直线平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点(－1，－25)，则在线段AB上(包括端点A、B)，横、纵坐标都是整数的点有(B).
A. 4个；
B. 5个；
C. 6个；
D. 7个.
【解析】 B.

5、 设a，b，c分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是(B).
A. ∠B＞2∠A；
B. ∠B=2∠A；
C. ∠B＜2∠A；
D. 不确定.
【解析】 B.

6、 已知的三边长分别为，面积为S，的三边长分别为，面积为S1，且，则S与S1的大小关系一定是(D).
A.
B.
C.
D. 不确定.
【解析】 D.

二、 填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).
7、 已知：，那么_____.
【解析】 1.

8、 在梯形ABCD中，，则梯形ABCD的面积等于_____.
【解析】 .

9、 已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有_____个.
【解析】 5.

10、 如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆.那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为_____米.

【解析】 2.4.

11、 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(15，6)，直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b=_____.

【解析】 0.5.

12、 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是_____.
【解析】 17%.

三、 解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).
13、 设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根.
(1)若，求m的值；
(2)求的最大值.
【解】

14、 如图，已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，，求四边形ABCD的面积.

【解】 由题设，得

15、 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次.对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意.现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)
【解】 易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人.
先证明：要使不满意的总分达到最小，则对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数.
证明：设乘电梯上、下楼和直接走楼梯上楼的2个人分别住第s和第t层.
并设电梯停在第x层.
①当x≤s时，这两者不满意总分为3(s-x)+3(t-1)=3s+3t-3x-3.与t，s的大小关系无关；
②当x>s时，这两者不满意总分为(x-s)+3(t-1)=3t+x-s-3，要使总分最小，则t<s.
故s<t，即乘电梯上、下楼的人，他所住的层数大于直接走楼梯上楼的人所住的层数.
今设电梯停在第x层，并设住在第2层到第a(a<x)层的人直接走楼梯上楼.
那么不满意总分为：

所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分.

2001年全国初中数学竞赛试卷及答案解析
一、 选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).
1、 化简，得(C).
A.
B.
C.
D.
【解析】 C.
.
2、 如果是三个任意整数，那么(C).
A. 都不是整数；
B. 至少有两个整数；
C. 至少有一个整数；
D. 都是整数.
【解析】 C.
①若a，b，c中有0个奇数，则3个数都是整数；
②若a，b，c中有1个奇数，则只有1个数是整数；
③若a，b，c中有2个奇数，则只有1个数是整数；
④若a，b，c中有3个奇数，则3个数都是整数.
3、 如果是质数，且，那么的值为(B).
A.
B.
C.
D.
【解析】 B.
①当a=b时，；
②当a≠b时，
a，b是一元二次方程x2-13x+m=0的两实根.故a+b=13.
又a，b是质数，故a=2，b=11或a=11，b=2.
故.
4、 如图，若将正方形分成个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则的值为(B).

A. 6；
B. 8；
C. 10；
D. 12.
【解析】 B.
设正方形的边长为a，则分成的矩形的长为a/2.宽为(a-a/2)/2=a/4，故中间竖排有4个.所以，正方形分成8个全等的矩形.
5、 如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB=4，PD=3，则AD·DC等于(B).

A. 6；
B. 7；
C. 12；
D. 16.
【解析】 B.
如图所示，以P为圆心，以PA=PB为半径作圆，延长BD交圆于M.

则由∠APB=2∠ACB，知点C必在⊙P上.
故根据相交弦定理，有AD•DC=BD•DM=(PB-PD)(PM+PD）=(4-3)×(4+3）=7.
6、 若是正数，且满足，则之间的大小关系是(A).
A.
B.
C.
D. 不能确定.
【解析】 A.
由12345=(111+a)(111-b)，得111(a-b)-ab=24>0，故a>b.
二、 填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).
7、 已知：.那么_____.
【解析】 970.
.
8、 若，则的值为_____.
【解析】 6或-7.
两式相加，得(x+y)2+(x+y)-42=0，即[(x+y)-6][(x+y)+7]=0，故x+y=6或-7.
9、 用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于_____.
【解析】 .
①若1，4为底.
如图所示，延长DA，CB相交于G，并设AG=x，BG=y，则

.
在△GAB中，GA2+AB2=GB2，故△GAB是直角三角形，即∠D=∠GAB=90o.
于是，S=(AB+DC)·AD/2=(1+4)·4/2=10.
②若1，5为底.
如图所示，作AE、BF垂直DC于E、F.则

DE=CF=(5-1)/2=2，.
于是，.
③若4，4为底.应为平行四边形，但不满足.
④若4，5为底.则1，4为腰，由于1+4=5，故不满足.
10、 销售某种商品，如果单价上涨，则售出的数量就将减少.为了使该商品的销售总金额最大，那么的值应该确定为_____.
【解析】 25.
设这种商品的原单价为A，原销售量为B，销售总额为W，则

当时，W取得最大值.
11、 在直角坐标系中，轴上的动点到定点的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标_____.
【解析】 .
如图所示，作P关于x轴的对称点P’.则

MP+MQ=MP’+MQ，故当Q、M、P’三点共线时，MP+MQ最小.
过P’，Q分别作x轴的垂线，垂足分别为I，H.
于是.
12、 已知实数满足，那么t的取值范围是_____.
【解析】 .
.
三、 解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).
13、 某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次.在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环.他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数.如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环.那么他在第10次射击中至少要得多少环？(每次射击所得环数都精确到0.1环)
【解】 设前5次射击的平均环数为x，则前9次射击的平均环数为
.
由题设知，，即.
故前9次的总环数至多为8.7×9-0.1=78.2.
所以，第10次射击至少得8.8×10+0.1-78.2=9.9（环）.
14、 如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A，B两点，并交ST于点C.求证：.

【解】 如图所示，作OE⊥AB于E，连接OP交ST于F，连接OT.

15、 已知：关于x的方程有实根.
(1)求取值范围；
(2)若原方程的两个实数根为，且，求的值.
【解】 (1)令，得.
原方程转化为关于t的方程有不为1的实数根.
①当a2-1=0时，符合题意；
②当a2-1≠0时，
.
若t=1，则.
故a的取值范围是.
(2)
.
所以，a的值为10.

2002年全国初中数学竞赛试卷及答案解析
一、 选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).
1、 设，则的值为(A).
A.
B.
C. 2；
D. 3.
【解析】 A.

2、 已知，则多项式的值为(D).
A. 0；
B. 1；
C. 2；
D. 3.
【解析】 D.

3、 如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于(D).

A.
B.
C.
D.
【解析】 D.

4、 设为实数，，则中至少有一个值(A).
A. 大于0；
B. 等于0；
C. 不大于0；
D. 小于0.
【解析】 A.

5、 设关于x的方程有两个不等的实数根，那么a的取值范围是(D).
A.
B.
C.
D.
【解析】 D.

6、 是一个正九边形，，则等于(D).
A.
B.
C.
D.
【解析】 D.

二、 填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).
7、 设是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最大值为_____.
【解析】 .

8、 已知为抛物线与x轴交点的横坐标，，则的值为_____.
【解析】 b-a.

9、 如图，在△ABC中，∠ABC=60o，点P是△ABC内的一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则PB=_____.

【解析】 .

10、 如图，大圆O的直径，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为_____cm2.

【解析】 .

11、 满足的整数n有_____个.
【解析】 4.

12、 某商品的标价比成本高，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣(即降价的百分数)不得超过，则d可以用p表示为_____.
【解析】 .

三、 解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).
13、 某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元.现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？
【解】 设单独完成，甲、乙、丙各需a、b、c天.则

又设每天付给甲、乙、丙的费用分别为x、y、z(元)，则

所以，甲4天完成的总费用为182000元，乙6天完成的总费用为177000元，故由乙承包.
14、 如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P.
(1)求证：；
(2)求证：.

【解】

15、 如果对一切x的整数值，x的二次三项式的值都是平方数(即整数的平方).
证明：(1)2a、2b、c都是整数；
(2)a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果(2)成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式的值都是平方数？
【解】 (1)由题设知，可分别令x=0、1、-1，得

则有均为整数.
(2)由(1)知，c=m2，是整数，且是平方数.
假设2b为奇数，则4b为偶数.
取x=4得，16a+4b+m2=h2(h为整数)，即16a+4b=(h+m)(h-m)，为偶数.
①若h、m的奇偶性不同，则16a+4b=(h+m)(h-m)为奇数，这与16a+4b为偶数矛盾.
②若h、m的奇偶性相同，则16a+4b=(h+m)(h-m)能被4整除.从而，2b为偶数，这与假设矛盾.
故假设不成立，即2b应为偶数，从而b为整数.
于是，a=k2+b-c为整数.
所以，a、b、c都是整数，并且c是平方数.
反之，若a、b、c都是整数，且c是平方数，则对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值不一定是平方数.例如:取a=b=x=c=1，则ax2+bx+c=3，不是平方数.

2003年全国初中数学竞赛试卷及答案解析
一、 选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分).
1、 若，则的值等于(D).
A.
B.
C.
D.
【解析】 D.
.
2、 在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元(信的质量在100g以内).如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费(D).
A. 2.4元；
B. 2.8元；
C. 3元；
D. 3.2元.
【解析】 D.
因为20×3<72.5<20×4.所以，根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2(元).
3、 如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=(C).

A. 360°；
B. 450°；
C. 540°；
D. 720°.
【解析】 C.
如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°.
而∠BMN+∠FNM=(∠D+∠MND)+(∠D+∠NMD)=∠D+(∠MND+∠D+∠NMD)=∠D＋180°.
所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

4、 四条线段的长分别为9，5，x，1(其中x为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段(如图)，则x可取值的个数为(D).

A. 2个；
B. 3个；
C. 4个；
D. 6个.
【解析】 D.
显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x.

故x可取值的个数为6个.
5、 某校初三两个毕业班的学生和教师共100人，一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有(B).
A. 1种；
B. 2种；
C. 4种；
D. 0种.
【解析】 B.
设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为，由题意可知，.
因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+(n-1)，且n与2k+(n-1)的奇偶性不同.
将200分解质因数200=23×52=8×25=5×40.
当n=5时，k=18；当n=8时，k=9.共有两种不同方案.
二、 填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分).
6、 已知，那么_____.
【解析】 .
.
7、 若实数x，y，z满足：，则xyz的值为_____.
【解析】 1.
.
8、 观察下列图形：

根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为_____.
【解析】 161.
【解析】 根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为.
9、 如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45º，，则电线杆AB的长为_____m.

【解析】 .
如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F.

10、 已知二次函数的图象经过点，并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为_____.
【解析】 -4.
由于二次函数的图象过点A(-1，4)，点B(2，1).故.
因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故.
.
由于a是正整数，故a>1.于是，b+c=-3a+2≤-4.
所以，当a=2，b=-3，c=-1时，b+c的最大值为-4.
三、 解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分).
11、 如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P.问EP与PD是否相等？证明你的结论.

【解】 EP=PD.
证明如下：
∵AB是⊙O的直径，BC是切线.
∴AB⊥BC.
由Rt△AEP∽Rt△ABC，得
①
又AD∥OC.
∴∠DAE=∠COB.
∴Rt△AED∽Rt△OBC.
故②
由①②得ED=2EP.
∴DP=PE.
12、 某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位：小时)如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A城出发到B城的最短路线(要有推理过程)，并求出所需费用最少为多少元？

【解】 从A城出发到达B城的路线分成如下两类：
(1)从A城出发到达B城，经过O城.因为从A城到O城所需最短时间为26小时，从O城到B城所需最短时间为22小时.所以，此类路线所需最短时间为26+22=48(小时).
(2)从A城出发到达B城，不经过O城.这时从A城到达B城，必定经过C，D，E城或F，G，H城，所需时间至少为49小时.
综上，从A城到达B城所需的最短时间为48小时，所走的路线为：A→F→O→E→B.
所需的费用最少为：80×48×1.2=4608(元)
13、 13B.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
(1)当点D在斜边AB内部时，求证：.
(2)当点D与点A重合时，第(1)小题中的等式是否存在？请说明理由.
(3)当点D在BA的延长线上时，第(1)小题中的等式是否存在？请说明理由.

【解】 (1)如图所示，作DE⊥BC，垂足为E，则.

(2)当点D与点A重合时，第(1)小题中的等式仍然成立.
证明如下：
此时有，AD=0，CD=AC，BD=AB.
故.
从而，第(1)小题中的等式成立.
(3)当点D在BA的延长线上时，第(1)小题中的等式不成立.
证明如下：
作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则

从而，第(1)小题中的等式不成立.
14、 14B.已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.
(1)求a，b，c中的最大者的最小值；
(2)求的最小值.
【解】 (1)不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c.由题设，知

又当a=4，b=c=-1时，满足题意.
故a，b，c中最大者的最小值为4.
(2)因为abc>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负.
①若a，b，c均大于0，则
由(1)知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾.
②若a，b，c为或一正二负，不妨设a>0，b<0，c<0，则
|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-(2-a)=2a-2.
由(1)知a≥4，故2a-2≥6.
当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立.
故|a|+|b|+|c|的最小值为6.
15、 13A.如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程的最大整数根.P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求的值.

【解】 设方程的两个根为.
由根与系数的关系得

如图所示，过A作直径AD，连结AB，AC，BD.则

∠PAB=∠ADB=∠PCA
∴PAB∽△PCA

(1)当BC=1时，由③得，，于是，矛盾；
(2)当BC=2时，由③得，，于是，矛盾；
(3)当BC=3时，由③得，，于是.
由于PB不是合数，结合.
故只可能
解得，此时.
(4)当BC=4，由③得，，于是，矛盾.
综上所述，.
16、 14A.沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.
(1)若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有？请说明理由.
(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有？请说明理由.
【解】 (1)答案是肯定的.具体操作如下：

(2)答案是肯定的.
考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P.
开始时，P0=1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1.
经过k(k≥0)次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk.
此时，若圆周上依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(a-d)(b-c)>0，即ab+cd>ac+bd，交换b，c的位置后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk+1，有.
所以，Pk+1-Pk≤-1，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a，b，c，d，一定有(a-d)(b-c)≤0.
注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题.13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页13A和14A两题可留作考试后的研究题.

2004年全国初中数学竞赛试卷及答案解析
一、 选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分).
1、 已知实数，且满足.则的值为(B).
A. 23；
B. -23；
C. -2；
D. -13.
【解析】 B.

2、 若直角三角形的两条直角边长为，斜边长为，斜边上的高为，则有(C).
A.
B.
C. ；
D.
【解析】 C.

3、 一条抛物线的顶点为，且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的(A).
A. 只有；
B. 只有；
C. 只有；
D. 只有.
【解析】 A.

4、 如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1:2.若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于(B).

A. 6；
B. 8；
C. 10；
D. 12.
【解析】 B.
由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG.
如图所示，作CO⊥AB，分别交DE、FG、AB于Q、P、O.
设CQ=x，QP=y，则PO=2y.

5、 如果x和y是非零实数，使得，那么x+y等于(D).
A. 3；
B.
C.
D.
【解析】 D.

二、 填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
6、 如图所示，在△ABC中，，则_____.

【解析】 30°.

7、 据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n(单位：万人)以及两城市间的距离d(单位：km)有的关系(k为常数).现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为_____次(用t表示).

【解析】 .

8、 已知实数_____.
【解析】 -5.

9、 如图所示，在梯形ABCD中，，若AE=10，则CE的长为_____.

【解析】 4或6.
如图所示，延长DA至M，使BM⊥BE.过B作BG⊥AM，G为垂足.
易知四边形BCDG为正方形，故BC=BG.

10、 实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是_____.
【解析】 .

三、 解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分).
11、 通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示(y越大表示学生注意力越集中).当时，图象是抛物线的一部分，当和，图象是线段.
(1)当时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
(2)一道数学竞赛题需要讲解24分钟.问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.

【解】 (1)当0≤x≤10时，设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c.
由于它的图象经过点(0，20)，(5，39)，(10，48).
因此，.解得，
所以，.
(2)当20≤x≤40时，.
①当0≤x≤10时，
令y=36，得，解得，x=4，x=20(舍去)；
②当20≤x≤40时，
令y=36，得，解得.
∵.
∴老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题.
12、 已知a，b是实数，关于x，y的方程组有整数解，求a，b满足的关系式.
【解】 将y=ax+b代入y=x3-ax2-bx，消去a、b，得
y=x3-xy，即(x+1)y=x3.
若x+1=0，即x=-1，则上式左边为0，右边为-1.故x+1≠0.
于是.
∵x、y都是整数.
∴x+1=±1，即x=-2或x=0，进而y=8或y=0.
故x=-2，y=8或x=0，y=0.
当x