ch92一阶微分方程.pptx

例例2 2 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分降落伞离开的速度为零，求降落速度与时间的函数例例4.4.有高为有高为1 1米的半球形容器米的半球形容器,水从它的底部小孔水从它的底部小孔流出流出,小孔横截面积为小孔横截面积为1 1平方厘米平方厘米(如图如图).).开始时开始时容器内盛满了水容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里求水从小孔流出过程中容器里水面的高度水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时间随时间t的变化规律的变化规律.解解由力学知识得由力学知识得,水从孔口流水从孔口流出的流速为出的流速为流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,比较比较(1)和和(2)得得:由力学知识公式由力学知识公式即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量可分离变量所求规律为所求规律为解解例例5 5 某车间体积为某车间体积为1200012000立方米立方米,开始时空气中含有开始时空气中含有0.1%0.1%的的COCO2 2,为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中COCO2 2的含量的含量,用一台风用一台风量为每秒量为每秒20002000立方米的鼓风机通入含立方米的鼓风机通入含0.03%0.03%的的COCO2 2的新的新鲜空气鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动问鼓风机开动6 6分钟后分钟后,车间内车间内COCO2 2的百分比降低到多少的百分比降低到多少?设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为在在 内内,的通入量的通入量的排出量的排出量 的通入量的通入量的排出量的排出量的改变量的改变量6分钟后分钟后,车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到二二.一阶线性方程一阶线性方程+非齐次线性方程的特解=对应齐次线性方程的通解例例10.10.如图所示如图所示,平行与平行与y 轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线 y=f(x)与与 y=x3(x 0)截下的线段截下的线段PQPQ之之线段线段长长在在数值上等数值上等于阴影部分的面积于阴影部分的面积数值数值,求曲线求曲线f(x).两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程所求曲线为所求曲线为三三.齐次型微分方程齐次型微分方程如何化为变量可分离的微分方程如何化为变量可分离的微分方程作代换，化为变量可分离的方程作代换，化为变量可分离的方程?小结小结:可化为齐次的方程可化为齐次的方程:为齐次方程为齐次方程.（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方程.2.解法解法1.1.定义定义例例15.抛物线的光学性质证明抛物线的光学性质证明实例实例:车灯的反射镜面应该是车灯的反射镜面应该是-旋转抛物面旋转抛物面解解如图如图分析分析:只需证明曲线为抛物线只需证明曲线为抛物线得微分方程得微分方程由夹角正切公式得由夹角正切公式得:.tan(-)=tan()-tan()/1+tan()tan()分离变量分离变量积分得积分得平方化简得平方化简得抛物线抛物线下一章的解析几何得到:所求曲线为抛物线.四四.伯努利方程伯努利方程(Bernoulli)小结小结1.齐次方程齐次方程2.线性非齐次方程线性非齐次方程3.伯努利方程伯努利方程公式?变化?这两位兄弟来自历史上最伟大的数学家族瑞士巴塞尔的伯努利家族。伯努利家族在17、18世纪先后产生了十多位著名的数学家，雅各布和约翰是其中最有影响的两位。从17世纪末开始，摆的运动、弹性理论以及天体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程。如1690年由雅各布伯努利提出的悬链线问题：求一根柔软但不能伸长的绳子自由悬挂于两定点而形成的曲线。一年后，莱布尼茨、惠更斯和约翰伯努利分别发表了自己的解答。其中约翰伯努利通过建立悬链线方程dy/dx=s/c，解出了曲线y=ccoshcx.1696年给出Bernoulli方程.返回 从17世纪到18世纪，瑞士数学家雅各布伯努利（Jakob Bernoulli，16541705年）和约翰伯努利（Johann Bernoulli，16671748年）兄弟