Fourier变换.pptx

1.2 Fourier变换变换1 Fourier变换的概念变换的概念2 单位脉冲函数及其单位脉冲函数及其Fourier变换变换3 非周期函数的频谱非周期函数的频谱 已知已知,若函数若函数 f(t)满足满足Fouriier积分定理的条件积分定理的条件,则在则在 f(t)的连续点处的连续点处,有有设设则则1 Fourier变换的概念变换的概念(1.9)式叫做式叫做 f(t)的的Fourier变换式变换式，(1.10)式为式为F(w w)的的Fourier逆变换式逆变换式，f(t)与与 F(w w)可相互转换可相互转换,可记为可记为和和 还可以将还可以将 f(t)放在左端放在左端,F(w w)放在右端放在右端,中间中间用双向箭头连接用双向箭头连接:(1.9)式右端的积分运算式右端的积分运算,叫做叫做 f(t)的的Fourier变换变换,同样同样,f(t)F(w w)(1.10)式右端的积分运算式右端的积分运算,叫做叫做 F(w)的的Fourier逆变换逆变换.F(w)称作称作 f(t)的的象函数象函数,f(t)称作称作 F(w)的的象原函数象原函数.可以说象函数可以说象函数F(w)和象原函数和象原函数 f(t)构成了一个构成了一个Fourier变换对，它们有相同的变换对，它们有相同的奇偶性奇偶性。当当 f(t)为奇函数时，由上式可得为奇函数时，由上式可得叫做叫做 f(t)的的Fourier正弦变换式正弦变换式(简称为简称为正弦变换正弦变换)，即，即叫做叫做 的的Fourier正弦逆变换式正弦逆变换式(简称为简称为正弦逆变正弦逆变换换)，即，即而而当当 f(t)为偶函数时，由上式同理可得为偶函数时，由上式同理可得叫做叫做 f(t)的的Fourier余弦变换式余弦变换式(简称为简称为余弦变换余弦变换)，即，即叫做叫做 的的Fourier余弦逆变换式余弦逆变换式(简称为简称为余弦逆变余弦逆变换换)，即，即而而tf(t)例例1 求函数求函数 的的Fourier变换及其积变换及其积分表达式，其中分表达式，其中 0。这个。这个f(t)叫指指数衰减函数，叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。是工程技术上常碰到的一个函数。例例1 求函数求函数 的的Fourier变换及其积变换及其积分表达式，其中分表达式，其中 0。这个。这个f(t)叫指指数衰减函数，叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。是工程技术上常碰到的一个函数。根据公式根据公式,有有解解：例例1 求函数求函数 的的Fourier变换及其积变换及其积分表达式，其中分表达式，其中 0。这个。这个f(t)叫指指数衰减函数，叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。是工程技术上常碰到的一个函数。解解：这就是指数衰减函数的这就是指数衰减函数的Fourier变换。下面来求指数变换。下面来求指数衰减函数的积分表达式。衰减函数的积分表达式。根据根据Fourier逆变换式和奇偶函数的积分性质逆变换式和奇偶函数的积分性质,有有例例1 求函数求函数 的的Fourier变换及其积变换及其积分表达式，其中分表达式，其中 0。这个。这个f(t)叫指指数衰减函数，叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。是工程技术上常碰到的一个函数。解解：例例1 求函数求函数 的的Fourier变换及其积变换及其积分表达式，其中分表达式，其中 0。这个。这个f(t)叫指指数衰减函数，叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。是工程技术上常碰到的一个函数。解解：因此因此例例1 求函数求函数 的的Fourier变换及其积变换及其积分表达式，其中分表达式，其中 0。这个。这个f(t)叫指指数衰减函数，叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。是工程技术上常碰到的一个函数。解解：因此可得到一个含参量广义积分的结果：因此可得到一个含参量广义积分的结果：例例 求函数求函数 的的Fourier变换并求：变换并求：解解：函数为一连续奇函数，则：函数为一连续奇函数，则例例 求函数求函数 的的Fourier变换并求：变换并求：解解：例例 求函数求函数 的的Fourier变换并求：变换并求：解解：例例 求函数求函数 的的Fourier变换并求：变换并求：解解：由由Fourier积分公式，有积分公式，有例例 求函数求函数 的的Fourier变换并求：变换并求：解解：所以有所以有例例2 求函数求函数 的的Fourier变换及其积分表达变换及其积分表达 式，其中式，其中A 0,0。这个函数叫做钟形脉冲。这个函数叫做钟形脉冲 函函 数，也是工程技术中常碰到的一个函数。数，也是工程技术中常碰到的一个函数。解解 根据根据Fourier变换式，有变换式，有如令如令 ，上式为一复变函数的积分，即，上式为一复变函数的积分，即积分路线如图所示积分路线如图所示:ABCD-RRO实轴实轴虚轴虚轴 由于由于 为复平面为复平面 s 上的解析函数，取图所示的上的解析函数，取图所示的闭曲线闭曲线 l：矩形：矩形 ABCDA，按，按 Cauchy 积分定理，有积分定理，有即即其中，当其中，当 时，有时，有令令同理，当同理，当 时，有时，有从而，当从而，当 时，有时，有由此可知由此可知即即因此，钟形脉冲函数的因此，钟形脉冲函数的Fourier变换为变换为 下面求钟形脉冲函数的积分表达式下面求钟形脉冲函数的积分表达式,根据根据Fourier积分变换式，并利用奇偶函数的积分性质，可得积分变换式，并利用奇偶函数的积分性质，可得由此还可得到一个含参量广义积分的结果由此还可得到一个含参量广义积分的结果：例例3 求函数求函数 的正弦变换和余弦变换的正弦变换和余弦变换.解解 根据正弦变换式，根据正弦变换式，f(t)的正弦变换为的正弦变换为根据余弦变换式，根据余弦变换式，f(t)的余弦变换为的余弦变换为可以发现，在半无限区间上的同一函数可以发现，在半无限区间上的同一函数 f(t)，其正，其正弦变换和余弦的结果是不同的。弦变换和余弦的结果是不同的。例例 求函数求函数 的正弦变换和余弦变换的正弦变换和余弦变换.解解 根据正弦变换式，根据正弦变换式，f(t)的正弦变换为的正弦变换为例例 求函数求函数 的正弦变换和余弦变换的正弦变换和余弦变换.解解 根据余弦变换式，根据余弦变换式，f(t)的余弦变换为的余弦变换为 在物理和工程技术中在物理和工程技术中,常常会碰到常常会碰到单位脉冲函数单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中如在电学中,要要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流电流;在力学中在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的研究此类问题就会产生我们要介绍的单单位脉冲函数位脉冲函数.在原来电流为零的电路中，某一瞬时在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为设为 t=0)进入一单位电量的脉冲，现在要确定电路上的电流进入一单位电量的脉冲，现在要确定电路上的电流i(t)。以。以 q(t)表示上述电路中到时刻表示上述电路中到时刻 t 为此通过导体为此通过导体截面的电荷函数截面的电荷函数(即累积电量即累积电量)，则，则2.单位脉冲函数及其单位脉冲函数及其Fourier变换变换 在原来电流为零的电路中在原来电流为零的电路中,某一瞬时某一瞬时(设为设为t=0)进进入一单位电量的脉冲入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流现在要确定电路上的电流i(t).以以 q(t)表示上述电路中的电荷函数表示上述电路中的电荷函数,则则由于电流强度是电荷函数对时间的变化率由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即即所以所以,当当t 0时时,i(t)=0,由于由于q(t)是不连续的是不连续的,从而在从而在普通导数意义下普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数如果我们形式地计算这个导数,则得则得 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强为了确定这样的电流强度度,引进一称为引进一称为Dirac函数函数,简单记成简单记成d d函数函数。有了这。有了这种函数种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点例如点电荷电荷,点热源点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样就能够象处理连续分布的量那样,以以统一的方式加以解决统一的方式加以解决.d d函数函数是一个广义函数，它没有普通意义下的是一个广义函数，它没有普通意义下的“函数值函数值”，所以，它不能用通常意义下，所以，它不能用通常意义下“值的对应值的对应关系关系”来定义。在来定义。在广义函数论广义函数论中，中，d d函数定义为某函数定义为某基本函数空间上的线性连续泛函，但要讲清楚这个定基本函数空间上的线性连续泛函，但要讲清楚这个定义，需要应用一些超出工科院校工程数学教学大纲范义，需要应用一些超出工科院校工程数学教学大纲范围的知识。为了方便起见，我们仅把围的知识。为了方便起见，我们仅把d d函数函数看作是看作是弱收敛函数序列的弱极限。弱收敛函数序列的弱极限。对于任何一个无穷次可微的函数对于任何一个无穷次可微的函数 f(t)，如果满足，如果满足则称则称d de e(t)的弱极限为的弱极限为d-d-函数函数,记为记为d d(t)，即，即d de e(t)1/e ee eO，或简记为，或简记为这就表明，这就表明，d-d-函数函数可以看成一个普通函数序列的弱可以看成一个普通函数序列的弱极限。极限。其中其中对任何对任何 0，显然有，显然有则由给出的则由给出的d-d-函数函数的定义，有的定义，有 工程上将工程上将d d-函数称为函数称为单位脉冲函数单位脉冲函数，可将，可将d d-函数函数用一个长度等于用一个长度等于1的有向线段表示，这个线段的长度的有向线段表示，这个线段的长度表示表示d d-函数的积分值函数的积分值，称为，称为d d-函数的强度函数的强度。又由又由d d-函数的定义，可以推出函数的定义，可以推出d d-函数的一个重要函数的一个重要结果，称为结果，称为d d-函数的筛选性质：函数的筛选性质：(f(t)是无穷次可微函数是无穷次可微函数)事实上，事实上，由于由于f(t)的无穷次可微函数，显然的无穷次可微函数，显然 f(t)是连续函数，是连续函数，按积分中值定理，有按积分中值定理，有所以，所以，由由d-d-函数函数的筛选性质可知，对于任何一个无穷次可的筛选性质可知，对于任何一个无穷次可微函数微函数 f(t)都对应着一个确定的数都对应着一个确定的数 f(0)或或 f(t0)这一性这一性质使得质使得d-d-函数函数在近代物理和工程技术中有着较广泛在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用。的应用。更进一步的还成立；更进一步的还成立；d d-函数有性质函数有性质d d-函数函数的的Fourier变换为变换为:tOd d(t)1w wOF(w w)1可见，单位脉冲函数可见，单位脉冲函数d d(t)与常数与常数1构成了一构成了一Fourier变变换对。同理，换对。同理，d d(t-t0)和和 亦构成了一个亦构成了一个Fourier变换对变换对.d d-函数除了重要的筛选性质外，还有一些性质：函数除了重要的筛选性质外，还有一些性质：1)d d-函数是偶函数，即函数是偶函数，即2)其中其中称为单位阶跃函数；称为单位阶跃函数；3)若若 f(t)为无穷次可微的函数，则有为无穷次可微的函数，则有一般地，有一般地，有 在物理学和工程技术中在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足有许多重要函数不满足Fourier积分定理中的绝对可积条件积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件即不满足条件例如常数例如常数,符号函数符号函数,单位阶跃函数以及正单位阶跃函数以及正,余弦函数余弦函数等等,然而它们的广义然而它们的广义Fourier变换也是存在的变换也是存在的,利用单利用单位脉冲函数及其位脉冲函数及其Fourier变换就可以求出它们的变换就可以求出它们的Fourier变换变换.所谓广义是相对于古典意义而言的所谓广义是相对于古典意义而言的,在在广义意义下广义意义下,同样可以说同样可以说,象函数象函数F(w w)和象原函数和象原函数 f(t)亦构成一个亦构成一个Fourier变换对。为了不涉及到变换对。为了不涉及到-函数的较函数的较深入的理论，我们可以通过深入的理论，我们可以通过 Fourier 逆变换来推证单逆变换来推证单位阶跃函数的位阶跃函数的 Fourier 变换。变换。p pw wO|F(w w)|Otu(t)例例4 证明单位阶跃函数证明单位阶跃函数 的的Fourier变换变换。为为证证 事实上，若事实上，若 ，则按，则按 Fourier 逆逆变换可得变换可得例例4 证明单位阶跃函数证明单位阶跃函数 的的Fourier变换变换。为为因为因为则则若若F(w w)=2pd pd(w w)时时,由由Fourier逆变换可得逆变换可得所以所以1和和2pdpd(w w)也构成也构成Fourier变换对变换对.也构成了一个也构成了一个Fourier变换对。变换对。同理同理,如如F(w w)=2pdpd(w-ww-w0)由上面两个函数的变换可得由上面两个函数的变换可得例例5 求正弦函数求正弦函数 f(t)=sinw w0 t 的的 Fourier 变换。变换。解解 根据根据 Fourier 变换公式，有变换公式，有如图所示如图所示:tsintp pp p-w w0w w0Ow w|F(w w)|例例 求正弦函数求正弦函数 f(t)=cosw w0 t 的的 Fourier 变换。变换。解解 根据根据 Fourier 变换公式，有变换公式，有例例 求函数求函数 f(t)=cosa a t cosb b t 的的 Fourier 变换。变换。解解 根据根据 Fourier 变换公式，有变换公式，有 在频谱分析中，在频谱分析中，Fourier变换变换F(w w)又称为又称为 f(t)的的频谱函数频谱函数,而它的模而它的模|F(w w)|称为称为f(t)的的振幅频谱振幅频谱(亦简称亦简称为为频谱频谱)。由于。由于w w是连续变化的，我们称之为是连续变化的，我们称之为连续频连续频谱，谱，对一个时间函数作对一个时间函数作Fourier变换，就是求这个时变换，就是求这个时间函数的频谱。间函数的频谱。3.非周期函数的频谱非周期函数的频谱再根据幅振谱再根据幅振谱 可作出频谱图，如图所示可作出频谱图，如图所示例例6 作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图f(t)解解：单个矩形脉冲的频谱函数为：单个矩形脉冲的频谱函数为:tE-t t/2t t/2w wEt t|F(w w)|)|O此外，振幅函数此外，振幅函数|F(w w)|是角频率是角频率 w w 的偶函数的偶函数,即即事实上，事实上，所以所以显然有显然有例例7 作指数衰减函数作指数衰减函数 的频谱图。的频谱图。解解 根据例根据例1的结果，可得的结果，可得所以所以解解 根据单位脉冲函数性质可得根据单位脉冲函数性质可得例例8 作单位脉冲函数作单位脉冲函数 的频谱图。的频谱图。它们的图形如下所示：它们的图形如下所示：11同样，当时同样，当时 ，。而。而 的振的振幅频谱为幅频谱为 当当 ，。11它们的图形分别如下：它们的图形分别如下：1例例 求函数求函数解解 函数为偶函数，则所求频谱函数函数为偶函数，则所求频谱函数的频谱函数。的频谱函数。