h常用概率分布.pptx

二项分布二项分布二项分布的概念与特征二项分布的概念与特征二项分布的概念与特征二项分布的概念与特征 一个袋子里有一个袋子里有一个袋子里有一个袋子里有5 5个乒乓球，其中个乒乓球，其中个乒乓球，其中个乒乓球，其中2 2个黄球，个黄球，个黄球，个黄球，3 3个白球，我们进行摸球游戏，个白球，我们进行摸球游戏，个白球，我们进行摸球游戏，个白球，我们进行摸球游戏，每一次摸到黄球每一次摸到黄球的概率是的概率是0.40.4，摸到白球的概率是，摸到白球的概率是0.60.6，这个实验，这个实验有三个特点：一是各次摸球是彼此独立的；二是有三个特点：一是各次摸球是彼此独立的；二是每次摸球只有二种可能的结果，或黄球或白球；每次摸球只有二种可能的结果，或黄球或白球；三是每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定三是每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定的。具备这三点，的。具备这三点，n n次中有次中有X X次摸到黄球（或白球次摸到黄球（或白球）的概率分布就是二项分布。）的概率分布就是二项分布。二项分布二项分布 例4-1 用针灸治疗头痛，假定结果不是有效就是无效，每一例有效的概率为，。某医生用此方法治疗头痛患者5例，3例有效的概率是多少？因为每例有效的概率相同，且各例的治疗结果彼此独立，5例患者中可以是其中的任意3例有效 二项分布二项分布 医学研究中很多现象观察结果是以两分类变量来表示的，如阳性与阴性、治愈与未愈、生存与死亡等等。如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为，阴性结果的发生概率均为（1）；而且各个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察n个人，发生阳性结果的次人数X的概率分布为二项分布，记作B（X；n，）。二项分布二项分布n n二项分布的概率函数P(X)可用公式（4-1）来计算。二项分布二项分布例4-2 临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为60%，现以该法治疗3例，其中两例有效的概率是多大？二项分布二项分布表4-1 治疗3例可能的有效例数及其概率 有效人数有效人数(x)(x)x x(1(1)n-xn-x出现该结果概率出现该结果概率P P(x x)0 01 10.60.60 0=1=10.40.4 0.40.4 0.40.40.0640.0641 13 30.60.60.40.4 0.40.40.2880.2882 23 30.60.6 0.60.60.40.40.4320.4323 31 10.60.6 0.60.6 0.0.6 60.40.40 00.2160.216二项分布二项分布由表4-1可知,各种可能结果出现的概率合计为1，即P(X)=1（X=0,1,n）。因此,如果欲求1例以上有效的概率可以是P(x1)=P(1)+P(2)+P(3)=0.288+0.432+0.216=1P（0）=10.064=0.936也可以是P(x1)=1P(0)=10.064=0.936二项分布二项分布二项分布的特征二项分布的特征二项分布的图形特征二项分布的图形特征 接近0.5时，图形是对称的；图4-1 离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增大，分布趋于对称。图4-2 当n时，只要不太靠近0或1，当nP和n(1P)都大于5时，二项分布近似于正态分布。二项分布图形取决于与n，高峰=n处二项分布二项分布图4-1=0.5时,不同n值对应的二项分布 二项分布二项分布图图4-2 =0.34-2 =0.3时时,不同不同n n值对应的二项分布值对应的二项分布 二项分布二项分布n n二项分布的均数和标准差 总体均数：方差：标准差：二项分布二项分布n n如果将出现阳性结果的频率记为n n总体均数：n n标准差：二项分布二项分布n n例4-4 研究者随机抽查某地150人，其中有10人感染了钩虫，钩虫感染率为6.7%，求此率的抽样误差。二项分布二项分布二项分布的应用二项分布的应用（一）概率估计 例4-5 如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大？从n=150，=0.13的二项分布，由公式（4-1）和（4-2）二项分布二项分布n n可以得出150人中有10人感染钩虫的概率为二项分布二项分布n n单侧累积概率计算二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为出现阳性的次数至少为k次的概率为二项分布二项分布n n例4-6 例4-5中某地钩虫感染率为13%，随机抽查当地150人，其中至多有2名感染钩虫的概率有多大？至少有2名感染钩虫的概率有多大？至少有20名感染钩虫的概率有多大？二项分布二项分布n n根据公式（4-10）至多有2名感染钩虫的概率为n n至少有2名感染钩虫的概率为 二项分布二项分布n n至少有20名感染钩虫的概率为 Poisson分布分布Poisson分布的概念分布的概念 Poisson分布也是一种离散型分布，用以描分布也是一种离散型分布，用以描述罕见事件发生次数的概率分布。医学上述罕见事件发生次数的概率分布。医学上人群中出生缺陷、多胞胎、染色体异常等人群中出生缺陷、多胞胎、染色体异常等事件等都是罕见的，可能发生这些事件的事件等都是罕见的，可能发生这些事件的观察例数观察例数n常常很大常常很大，但实际上发生类似，但实际上发生类似事件的数目却很小很小。事件的数目却很小很小。Poisson分布分布n nPoisson分布可以看作是发生的概率（或未发生的概率1）很小，而观察例数n很大时的二项分布。除二项分布的三个基本条以外，Poisson分布还要求或（1）接近于0或1（例如0.999）。Poisson分布分布n nPoisson分布的特征分布的特征Poisson分布的概率函数为 式中，为Poisson分布的总体均数，X为观察单位内某稀有事件的发生次数；e为自然对数的底，为常数，约等于2.71828。Poisson分布分布由图4-3可以看到Poisson分布当总体均数值小于5时为偏峰，愈小分布愈偏，随着增大，分布趋向对称。n nPoisson分布有以下特性：（1）Poisson分布的总体均数与总体方差相等,均为（2）Poisson分布的观察结果有可加性 Poisson分布分布图4-3 取不同值时的Poisson分布图 Poisson分布分布Poisson分布的应用分布的应用（一）概率估计n n例4-7 如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为8，那么该地120名新生儿中有4人患先天性心脏病的概率有多大？=n=1200.008=0.96 Poisson分布分布单侧累计概率计算如果稀有事件发生次数的总体均数为，那么该稀有事件发生次数至多为k次的概率 发生次数至少为k次的概率 Poisson分布分布n n例例4-8 4-8 例例4-74-7中，至多有中，至多有4 4人患先天性心脏病的人患先天性心脏病的概率有多大？至少有人患先天性心脏病的概率概率有多大？至少有人患先天性心脏病的概率有多大？有多大？至多有至多有4 4人患先天性心脏病的概率人患先天性心脏病的概率至少有人患先天性心脏病的概率为至少有人患先天性心脏病的概率为 Poisson分布分布n n例4-9 实验显示某100cm2的培养皿平均菌落数为6个，试估计该培养皿菌落数小于3个的概率，大于1个的概率。该培养皿菌落数小于3个的概率菌落数大于1个的概率为 正态分布正态分布正态分布的概念正态分布的概念正态曲线正态曲线(normal curve)是一条高峰位于是一条高峰位于中央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线中央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟型曲线该曲两端永远不与横轴相交的钟型曲线该曲线表现为中间高，两边低，左右对称，线表现为中间高，两边低，左右对称，略显钟形，类似于数学上的正态分布曲略显钟形，类似于数学上的正态分布曲线。因为频率的总和等于线。因为频率的总和等于1，故横轴上曲，故横轴上曲线下的面积等于线下的面积等于1。正态分布正态分布图图4-4 4-4 体模体模“骨密度骨密度”测量值的分布接近正态分布示意图测量值的分布接近正态分布示意图（频率密度（频率密度=频率频率/组距）组距）正态分布正态分布n n正态概率密度曲线的位置与形状具有如下特点正态概率密度曲线的位置与形状具有如下特点 n n（1 1）关于）关于x=x=对称。对称。n n（2 2）在在x=x=处处取取得得该该概概率率密密度度函函数数的的最最大大值值，在在 处有拐点，表现为钟形曲线。处有拐点，表现为钟形曲线。（3 3）曲线下面积为）曲线下面积为1 1。（4 4）决决定定曲曲线线在在横横轴轴上上的的位位置置，增增大大，曲曲线线沿沿横轴向右移；反之横轴向右移；反之,减小，曲线沿横轴向左移。减小，曲线沿横轴向左移。（5 5）决决定定曲曲线线的的形形状状，当当 恒恒定定时时，越越大大，数数据据越越分分散散，曲曲线线越越“矮矮胖胖；越越小小,数数据据越越集集中中，曲线越曲线越 瘦高瘦高。见图。见图4-54-5。正态分布正态分布 u1 u2 u3不同均数正态分布正态分布不同标准差正态分布正态分布n n对任意一个服从正态分布 的随机变量，可作如下的标准化变换，也称Z变换,n nZ服从总体均数为0、总体标准差为1的正态分布。我们称此正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)，用N(0.1)表示。正态分布正态分布n n统计学家编制了标准正态分布曲线下面积分布表（附表1），因为正态分布两边对称，所以只给出Z取负值的情况。表内所列数据表示Z取不同值时标准正态分布的分布函数值，此值大小相当于Z值左侧标准正态曲线下面积，记作 。正态分布正态分布例4-9 已知X服从均数为、标准差为的正态分布，试估计：X取值在区间 上的概率：X取值在区间 上的概率。正态分布正态分布n n查附表1，。因为曲线下两侧面积对称，区间（1.96，）相应面积也是0.025，故Z取值于（1.96，1.96）的概率为1-20.025=0.95，即取值在区间上的概率为0.95。n n同理,我们可以求出X取值在 区间上的概率为0.99。正态分布正态分布n n正态曲线下面积的分布规律正态曲线下面积的分布规律-3 -2 -2 -368.27%95.44%99.74%正态分布正态分布z(z)正态分布正态分布1.961.960.0250.025正态分布正态分布1.46-1.460.070.07图4-9 例4-10示意图正态分布正态分布n n例4-11 某地1986年120名8岁男孩身高均数为 =123.02cm，标准差为S=4.79cm，试估计(1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比(2)身高在120cm128cm者占该地8岁男孩总数的百分比;(3)该地80%的男孩身高集中在哪个范围？正态分布正态分布n n求Z值:n n查表:n n理论上该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的7.21%。正态分布正态分布n n先计算120 和128所对应的Z值:n n正态曲线下区间（0.63，1.04）上的面积等于 正态分布正态分布n n查附表1，标准正态分布曲线下左侧面积为0.10所对应的Z值为1.28，n n80%的8岁男孩身高集中在 区间内，即116.9cm与129.2cm之间。正态分布正态分布正态分布的应用正态分布的应用（一）确定医学参考值范围医学参考值范围(reference ranges):是指特定的“正常”人群数据中大多数个体的取值所在的范围。人们习惯用该人群95%的个体某项医学指标的取值范围作为该指标的医学参考值范围。正态分布正态分布确定医学参考值范围的方法有两种：（1）百分位数法:适用于任何分布型的资料。双侧95%参考值范围:(P2.5,P97.5)单侧范围:P95以下，（如血铅、发汞），或P5以上（如肺活量）。（2）正态分布法 正态分布正态分布n n例4-11 调查某地120名健康女性血红蛋白，直方图显示，其分布近似于正态分布，（g/L），（g/L），试估计该地健康女性血红蛋白的95%参考值范围。因血红蛋白过高、过低均为异常，所以按双侧估计95%医学参考值范围