平面向量经典例题讲解.doc

平面向量经典例题讲解

讲课时间:___________姓名：___________课时：___________讲课教师：___________

一、选择题（题型注释）
1． 空间四边形OABC中，,, ,点M在OA上，且，为的中点，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：因为为的中点，则，，选
考点：向量加法、减法、数乘的几何意义；
2．已知平面向量，满足，，且，则与的夹角是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】
试题分析：，，，设夹角为，则
考点：本题考查向量数量积的运算
点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到的值，求出角
3．若、、三个单位向量两两之间夹角为60°，则
A.3 B. C.6 D.
【答案】D
【解析】
试题分析：、、三个单位向量两两之间夹角为60°

考点:向量的数量积.
4．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点,若，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可知，与相似，且相似比为，所以,由向量加减法的平行四边形法则可知，，解得，，由向量加法的三角形法则可知，,故D正确。
考点：平面向量的加减法
5．在边长为的等边中，分别在边BC与AC上，且，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由已知分别在边BC与AC上，且， 则是的中轴点，为的三等分点，以为坐标原点，所在直线为轴，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
，，，设，由可得：，解得：，则，，
考点：平面向量的坐标运算
6．在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（ ）
A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）
【答案】C．
【解析】
试题分析：．
考点：平面向量的线性运算．
7．已知向量，，则可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：设，则，因，所以，，只有A满足
考点：向量共线的条件
8．已知向量，若与共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由已知得，

又因为与共线，
所以有，
故选D．
考点：1．向量的坐标运算；2．向量平行的坐标条件．
9．已知平面直角坐标系内的两个向量,,且平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）,则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）的充要条件是,不共线,即,故选D.
考点：平面向量的基底及向量共线
10．若向量,,,则下列说法中错误的是（ ）
A.
B. 向量与向量的夹角为
C. ∥
D.对同一平面内的任意向量,都存在一对实数,使得
【答案】D
【解析】
试题分析：，故A正确；，所以B正确；，故C正确；因为是共线的，不能作为基底，故D错
考点：向量的夹角
11．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为，所以，因为，所以，解得：，故选D．
考点：1、向量的数乘运算；2、向量的模．
12．若向量，，则以下向量中与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：∵向量，，∴，而，∴以下向量中与垂直的是.
考点：向量垂直的充要条件.
13．在边长为的正三角形中，设，，若，
则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得：

，所以.
考点：向量的应用.
14．已知向量， ，，若为实数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：,因为,所以,解得.故D正确.
考点：向量垂直;向量的数量积.
15．在△ABC中，已知，，则的值为（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】
试题分析：由题根据三角形面积公式不难得到角A的正弦值，然后得到其对应的余弦值，结合平面向量数量积运算求得结果.

，故选D
考点：平面向量的数量积

二、填空题（题型注释）
16．已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a|·|b|sin θ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，则|a×b|的值为________．
【答案】6
【解析】|a|＝＝5，|b|＝＝2，a·b＝－3×0＋4×2＝8，所以cos θ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝＝＝.故根据定义可知|a×b|＝|a|·|b|sin θ＝5×2×＝6.
17．△ABC中AB＝2，AC＝3，点D是△ABC的重心，则·＝________．
【答案】
【解析】设E为边BC的中点，因为点D是△ABC的重心，所以＝＝× (＋)＝(＋)，又＝－，所以·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝
18．已知=（2,0），，的夹角为60°，则 ．
【答案】
【解析】
试题分析：.
考点：向量的基本运算.
19．已知A、B、C是球O的球面上三点，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O的表面积为，则异面直线与所成角余弦值为 .
【答案】
【解析】
试题分析：过作的垂线，垂足为，以所在线为轴，以所在线为轴，以所在线为轴，建立直角坐标系，所以，，，，，，所以.
考点：1.空间向量法；2.夹角公式.
20．已知，，与的夹角为，，则与的夹角为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：要求与的夹角一般可先求两向量的数量积，而，因此，而根据已知，这是可求的，而且其结果是0，故，夹角为．
考点：向量的夹角．
21．已知，且与的夹角为，，则等于 .
【答案】
【解析】
试题分析：∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴
∴.
考点：1.向量的运算；2.两向量的夹角公式.
22．已知点为的重心，过点作直线与，两边分别交于两点，且 ，则 ．
【答案】
【解析】
试题分析：根据题意画出图像，因为为的重心,所以,因为:三点共线,所以,所以,所以答案为: ．
考点：1．向量的运算；2．三点共线的性质．
23．已知向量，若，则 ；
【答案】-6
【解析】
试题分析：由可知，，所以.
考点：空间向量共线定理.
24．设向量，若，则实数 .
【答案】
【解析】
试题分析：由已知得，；
由得
所以有
即，解得
故答案为：.
考点：向量的数量积的坐标运算.
25．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ．
【答案】且
【解析】
试题分析：， ，若与的夹角为钝角，则，即：，又不共线，则
,即：，则且
考点：1．向量的夹角；2．向量的数量积；3．共线向量；4．向量的坐标运算公式；
26．已知向量满足，且，则在上的投影为_______________．
【答案】
【解析】
试题分析：设与的夹角为θ，∵向量，满足，且，
∴，∴=1．∴cosθ==，再由θ的范围为[0，π]，
可得 θ=，则在上的投影为
考点：向量的数量积。
27．若向量与满足，，．则向量与的夹角等于 ； ．
【答案】，.
【解析】
试题分析：，，，，，
.
考点：平面向量数量积的运算和性质.
28．已知向量满足，且，则与的夹角为 .
【答案】
【解析】
试题分析：，，
所以，．
考点：向量的数量积与向量的夹角．

三、解答题（题型注释）
29．设为平面内的四点，且
（1）若求点的坐标；
（2）设向量若与平行，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）两向量相等即坐标相同，设出即可就得；（2）两向量平行，满足条件是.
试题解析：⑴设．
由，得，则， 3分
所以解得 5分
所以点的坐标为． 6分
⑵因为，, 8分
所以，． 10分
由与平行，得， 12分
所以． 14分
考点：1.向量相等；2.向量共线.
30．平行四边形OADB的对角线交点为C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、.

【答案】a－b
【解析】＝a－b，＝＝a－b，＝＋＝a＋b.＝a＋b，＝＋＝＋＝＝a＋b.＝－＝a－b
31．（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）
已知向量的夹角为.
（1）求 ；
（2）若，求的值.
【答案】（1）-12；（2）
【解析】
试题分析：（1）由题意得，
∴
（2）∵，∴，
∴，∴，
∴
考点：平面向量的数量积的定义的应用，平面向量数量积的运算法则，以及向量垂直的充要条件
点评：解决此题的关键是掌握平面向量数量积的运算法则，以及向量垂直的充要条件
32．（本小题满分14分）己知向量 ， ．
（1）若 ，求 的值：
（2）若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） ，（2）
【解析】
试题分析：（1）先由向量垂直得等量关系：，再利用两角和正弦展开得 ，因为，所以．（2）先由向量平行得等量关系：，再利用两角和正弦展开得，根据二倍角公式化简得，由配角公式整理得，结合，解出
试题解析：（1）因为，所以， 2分
所以，即． 4分
因为，所以． 6分
（2）由∥，得， 8分
即，即，
整理得， 11分
又，所以，
所以，即． 14分
考点：向量平行与垂直，两角和正弦及二倍角公式
33．（本题满分9分）已知向量，，。
（1）求的值；
（2）若且，求的值。
【答案】（1）；（2） ；
【解析】
试题分析：（1）由向量的坐标运算及模的计算公式得出等式，然后由恒等变形即可得解；（2）把角变形，然后用恒等变形公式即得解；
试题解析：解：（1）由已知，2－2·＋2＝ , 且2＝2＝1，所以·＝
即，所以
（2）由已知，，所以，
＝
考点：向量的坐标运算及三角恒等变换。
34．已知且.
（1）在中，若，求的大小；
（2）若，将图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到的图像，求的单调减区间.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
试题分析：（1）利用数量积公式以及二倍角公式得到关于的方程，解方程得到的值，结合角的范围，得到角；（2）求出，利用三角恒等变形化为的形式，再利用图像变换法则得到，然后利用整体思想求其单调区间.
试题解析：（1）由题意，
， 2分
, 4分
,. 6分
（2）， 7分
由题意， 8分
由，，
得， 11分
的单调减区间，. 12分
考点：1.平面向量的数量积；2.二倍角公式；3.三角恒等变换；4.三角函数的图像变换和性质.

第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页