高三数学一轮复习--数列学案.doc

第1课时数列的概念与简单表示法考纲点击（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。知识导引:1、数列的定义:按照_一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_。2、数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类按项与项间的大小关系分类其中按其他标准分类有界数列摆动数列3、数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是_、_和_。注：数列可以看作一个函数，其定义域是正整数集（或它的有限子集1，2，3，）,可表示为。4、数列的通项公式如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式_来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。5.数列的前项和数列的前项之和叫做数列的前项和,常用_表示. _.6.在数列中,前项和与通项的关系为. 典例分析：一.由数列前几项求通项公式例1. 根据下面各数列的前项的值,写出数列的一个通项公式.（1）3,5,7,9,; （2）,;（3）-1,-,-,;（4）,-1,-,-,;（5）3,33,333,3 333,.变式训练1.某数列的前四项为0,0,则以下各式. 其中可作为的通项公式的是A.B. C.D.二.利用与的关系求通项公式例2. 已知数列的前项和,求通项 变式训练2.已知数列的前项的和满足关系式,则数列的通项公式为 .三.根据递推公式求通项公式递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公 式就叫做这个数列的递推公式例3. 根据下面数列的首项和递推关系,探求其通项公式.(1)变式训练3.已知数列中,求该数列的通项公式.四.数列与函数例4. 已知函数,数列满足,求数列通项公式.$巩固练习$一、选择题1.设数列，2，则2是这个数列的()A第六项B第七项 C第八项 D第九项2.数列中,对于所有的,都有,则等于A.B.C. D.3.数列-1,-,的一个通项公式是A. B. C. D. 4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第个图案中需用黑色瓷砖块数为（用含的代数式表示）A. B. C. D. 5.已知数列的前项和,第项满足,则等于A.9B.8 C.7 D.66. 设数列的前项和,则的值为A.15 B. 16 C. 49 D.647.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,的第100项是A.14B.12C.13 D.158.设函数满足，且，则 ()A95 B97 C105 D192二、填空题9.数列满足,则数列的第2 010项为 .10.已知数列中, ,则数列的一个通项公式 .11. 已知数列满足则的最小值为_.12. 已知数列满足：则_;=_.13已知数列，则_，_.14已知数列的前项和满足 (1)1，求的通项公式15如果数列的前项和为3，求这个数列的通项公式16设数列中，首项1，点(，)(1,2,3，)均在直线上(1)求，值；(2)求数列的通项公式第2课时 等差数列$基础知识$1.等差数列的定义;如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的_都等于_,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的_,通常用_表示,其符号语言为：_.2.等差数列的通项公式;(1)若等差数列的首项为,公差是,则其通项公式为(2)等差数列的第项为,公差为,则其第项可以表示为：.3.等差中项;如果三个数成等差数列,则叫做和的等差中项,且有_.4.等差数列的前n项和公式;5. 等差数列的判定(1) 定义法:(常数) (2) 等差中项法:即.(3) 通项法：若数列的通项公式为的一次函数,即,则是等差数列;(4) 前项和法：数列的前项和是的形式(,是常数),则是等差数列.6.等差数列的性质：(1)当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;前和是关于的二次函数且常数项为0.(2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列.(3)当时,则有_,特别地,当时,则有_.(4) 若.是等差数列,则. (.是非零常数). ,也成等差数列,而成等比数列;若是等比数列,且,则是等差数列. (5)在等差数列中,当项数为偶数时,;项数为奇数时,(这里即);.(6)若等差数列.的前和分别为.,且,则. (7)“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和.法一：由不等式组确定出前多少项为非负(或非正);法二：因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性. (8)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究.$典型例题$一. 等差数列的判定例1. 已知数列的前n项和为,且满足(1)求证：是等差数列; (2)求的表达式.练习1已知数列满足,令 求证：数列是等差数列 求数列的通项公式二.等差数列的基本运算例2. 在等差数列中,(1)已知,求;(2)已知,求;(3)已知,求和练习2.在等差数列中,则 三.等差数列的性质例3. 已知为等差数列,为数列的前项和,已知,为数列前项和.求练习3.(1)在等差数列中,22,则_;(2)项数为奇数的等差数列中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数.(3)等差数列中,则_ ;(4)等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为 .(5)设与是两个等差数列,它们的前项和分别为和,若,那么_.四.等差数列的应用例4.某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000元;二是每半年结束时加300元问： 从第几年开始,第二种方案比第一种方案总共加的工资多？ 如果在该公司干10年,问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少元？ 如果第二种方案中每半年加300元改为每半年加元问取何值时,总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？练习4.假设某市2009年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?$巩固练习$1.如果等差数列中,那么A.14 B.21 C.28 D.352.在等差数列中,则的值为A.5 B.6 C.8 D.103.已知为等差数列, ,则等于A. -1 B. 1 C. 3 D.74.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5.设是等差数列的前项和,已知,则等于A13 B35 C49 D 63 6.等差数列的前项和为,且 =6,=4, 则公差d等于A1 B C.- 2 D 37.已知为等差数列,且21, 0,则公差dA.2 B. C. D.28.等差数列的前项和为,已知,则A.38 B.20 C.10 D.9 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9.已知为等差数列,+=105,=99,以表示的前项和,则使得达到最大值的是 A.21 B.20 C.19 D. 18 10.设等差数列的前项和为,若,则= .11.在等差数列中,则.12.设等差数列的前项和为,若则 . 14.设为等差数列的前项和,若,则 .15.等差数列前项和为.已知+-=0,=38,则=_16.设等差数列的前项和为,若,则 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17.已知等差数列中,求前项和. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 18.已知数列的首项=3,通项,且,成等差数列.求：(1)的值; (2)数列的前项和的公式.19.设, 为实数,首项为,公差为的等差数列的前项和为,满足+15=0.()若=5,求及; ()求的取值范围.20.在等差数列中,其前n项和为.(1)求的最小值,并求出取最小值时n的值;(2)求.归纳小结1欲证an为等差数列，最常见的做法是证明：an1and(d是一个与n无关的常数)2a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁3对等差数列an的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为d的等差数列进行求和4遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题第3课时 等比数列$基础知识$1.等比数列的定义;如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的_都等于_,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的_,通常用_表示,其符号语言为：_.2.等比数列的通项公式;(1)若等比数列的首项为,公差是,则其通项公式为(2)等比数列的第项为,公差为,则其第项可以表示为：.3.等比中项;如果三个数成等比数列,则叫做和的等比中项,且有_.4.等比数列的前n项和公式;5. 等比数列的判定(1)定义法：若_或_,则是等比数列;(2)中项公式法：若数列中,若_,则数列是等比数列;(3)通项公式法：若数列通项公式可写成均为非零常数,则数列是等比数列;(4)前n项和公式法：若数列的前n项和为非零常数,则数列是等比数列.注：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择.填空中的判定;(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可.6.等比数列的性质：(1)当时,则有_,特别地,当时,则有_. (2) 若是等比数列,则.成_数列;若成等比数列,则.成_数列; 若是等比数列,且公比,则数列 ,是_数列.(3)若,则为递增数列;若, 则为递减数列;若 ,则为递减数列;若, 则为递增数列;若,则为摆动数列;若,则为常数列.(4) 当时,这里,但,这是等比数列前项和公式的一个特征,据此很容易根据,判断数列是否为等比数列. (5) . (6) 在等比数列中,当项数为偶数时,;项数为奇数时,.(7)如果数列既成等差数列又成等比数列,那么数列是非零常数数列,故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的_条件.$典型例题$一.等比数列的判定例1已知数列的前项和为,.(1)求 (2)求证：数列是等比数列练习1：已知数列满足求证：数列是等比数列;求的表达式二.等比数列中基本量的运算：例2为等比数列,求下列各式的值：已知,求以及;已知,求公比已知,求练习2.(1)设是有正数组成的等比数列,为其前项和.已知, ,则A. B. C. D. (2)在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 .三.等比数列的性质例3.(1)在等比数列中,公比q是整数,则=_;(2)已知且,设数列满足,且,则.;(3)若是等比数列,且,则 练习3.(1)各项均为正数的等比数列中,若,则 ;(2)在等比数列中,为其前n项和,若,则的值为_ _;(3)设等比数列的公比为,前项和为,若成等差数列,则的值为_ ;(4)设数列的前项和为(), 关于数列有下列三个命题：若,则既是等差数列又是等比数列;若,则是等差数列;若,则是等比数列.这些命题中,真命题的序号是 .四.等差、等比数列的混合应用题例4. (2010重庆文数)已知是首项为19,公差为-2的等差数列,为的前项和.()求通项及;()设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的通项公式及其前项和.练习4. (1)(2010湖北文数)已知等比数列中,各项都是正数,且,成等差数列,则A.B. C. D(2)(2009宁夏海南卷理)等比数列的前项和为,且4,2,成等差数列.若=1,则A.7 B.8 C.15 D.16五.综合运用例5.数列的首项,以为系数的二次方程且)都有根,且满足求证：是等比数列;求的通项公式。$巩固练习$1.(2010浙江理数)设为等比数列的前项和,则A.11 B.5 C. D.2.(2010辽宁文数)设为等比数列的前项和,已知,则公比A.3 B.4 C.5 D.63.(2010江西理数)等比数列中,=4,函数,则A. B. C. D. 3.(2010浙江文数)设为等比数列的前项和,则A.-11 B.-8 C.5 D.114.(2010重庆理数)在等比数列中, ,则公比的值为A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 5.(2010北京理数)在等比数列中,公比.若,则A.9 B.10 C.11 D.126.(2010天津)已知是首项为1的等比数列,是的前n项和,且,则数列的前5项和为A.或5 B.或5 C. D.7.(2010广东)已知为等比数列,Sn是它的前n项和.若, 且与2的等差中项为,则=A.35 B.33 C.31 D.298.(2010全国卷1理数)已知各项均为正数的等比数列中,=5,=10,则= A. B. 7 C. 6 D. 9.(2010安徽理数)设是任意等比数列,它的前项和,前项和与前项和分别为,则下列等式中恒成立的是A. B. C. D. 10.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数,且=2,=1,则= A. B. C. D.2 10.(2009广东卷理)已知等比数列满足,且,则当时, A. B. C. D. 11.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12.(2009辽宁卷理)设等比数列 的前 项和为 ,若 =3 ,则 = A. 2 B. C. D.313.(2009四川)等差数列的公差不为零,首项1,是和的等比中项,则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 1901.(2009湖北卷文)设记不超过的最大整数为,令=-,则,A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列15.(2009湖北卷文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 他们研究过图1中的1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378二.填空题16.(2009北京文)若数列满足：,则 ;前8项的和 .(用数字作答)17.(2009全国卷文)设等比数列的前n项和为.若,则= 18.(2009宁夏海南卷文)等比数列的公比, 已知=1,则的前4项和= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19.(2010天津文数)设是等比数列,公比,Sn为an的前n项和.记设为数列的最大项,则= .20.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.21.已知函数,数列是公差为的等差数列,数列是公比为的等比数列(),若,(1) 求数列,的通项公式;(2) 设数列对任意的自然数均有：,求数列前项和1在等比数列的求和公式中，当公比q1时，适用公式Sn，且要注意n表示项数；当q1时，适用公式Snna1；若q的范围未确定时，应对q1和q1讨论求和2在等比数列中，若公比q 0且q1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项3若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为xd，x，xd，再依题意列出方程求x、d即可4a1与q是等比数列an中最活跃的两个基本量第4课时 等差数列和等比数列的综合应用基础过关1等差数列的常用性质： m，n，p，rN*，若mnpr，则有 an是等差数列， 则akn (kN*，k为常数)是 数列 Sn，S2nSn，S3nS2n构成 数列2在等差数列中，求Sn的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值 a1 0，d 0时，解不等式组 可解得Sn达到最 值时n的值 a10时，解不等式组 可解得Sn达到最小值时n的值3等比数列的常用性质： m，n，p，rN*，若mnpr，则有 an是等比数列，则a、是 数列 若Sn0，则Sn，S2nSn，S3nS2n构成 数列典型例题例1. 是否存在互不相等的三个实数a、b、c，使它们同时满足以下三个条件： abc6 a、b、c成等差数列 将a、b、c适当排列后成等比数列解：设存在这样的三位数a，b，c由abc6，2bac 得：b2，ac4 若b为等比中项，则ac4， ac2与题设ac相矛盾 若a为等比中项，则a22c，则ac2(舍去)或a4，c8 若c为等比中项，则c22a，解得ca2(舍去)或c4，a8存在着满足条件的三个数：4，2，8或8，2，4变式训练1.若a、b、c成等差数列，b、c、d成等比数列，成等差数列，则a、c、e成（ ）A等差数列 B等比数列 C既成等差数列又成等比数列 D以上答案都不是答案：B。解析：由，由，由，即成等比数列。例2. 已知公差大于0的等差数列满足a2a4a4a6a6a21，a2，a4，a8依次成等比数列，求数列an的通项公式an解：设的公差为d(d0)，由a2，a4，a8成等比数列可知，也成等比数列，()2(3d)2(d)(7d)化简得d2，d又a2a4a4a6a6a21化简为33，即(d)(5d)32d6d3 d，(n1)dan变式训练2.已知成等差数列，求证：也成等差数列。解析：由成等差数列，则即成等差数列。例3. 已知ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列求证：ABC是等边三角形解：由2BAC，且ABC180，B60，由a、b、c成等比数列，有b2accosB得(ac)20， ac ABC为等边三角形变式训练3.若互不相等的实数、成等差数列，、成等比数列，且，则= （ ） A.4 B.2 C.-2 D.-4答案： D.解析：依题意有例4. 数列an的前n项和Sn，且a11，an1Sn，n1，2，3求： a2、a3、a4的值及an的通项公式； a2a4a6a2n的值.解析：(1)由a11，an1Sn，n1，2，3，得a2S1a1，a3S2(a1a2)，a4S3(a1a2a3)由an1an(SnSn1)an(n2)，得an1an(n2)，又a2，an()n2(n2) an通项公式为an(2) 由(1)可知a2、a4、a2n是首项为，公比为()2，项数为n的等比数列. a2a4a6a2n()2n1变式训练4.设数列的前项的和， 求首项与通项。解析：（I），解得：所以数列是公比为4的等比数列所以：得： （其中n为正整数）归纳小结归纳小结1在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m、n、p、rN*，若mnpr，则amanapar（或amanapar）进行解答2若a、b、c成等差（或等比）数列，则有2bac（或b2ac）3遇到与三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和等于180这一性质4在涉及an与Sn相关式子中用Sn1和Sn的关系表示an时应该注意“n2”这个特点第4课时 数列求和$基础知识$一.公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1.差数列求和公式： 2.等比数列求和公式： 3. 4. 5. 二.错位相减法可以求形如 的数列的和，其中 为等差数列， 为等比数列.三.裂项相消法（1） （2）（3）若 为等差数列则 （4）（5）(6) (7) (8) (9) (10) 四.分组转化法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差.等比或常见的数列，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和.五.倒序相加法如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和， 可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.$典型例题$一.分组转化法例1. 已知数列：，求它的前项的和练习1:数列前项的和为 （ ）A. B. C. D. 二.裂项相消法例2. 求.练习2:(1)数列的通项公式是，若前项之和为10，则项数为 A.11 B.99 C.120 D.121(2) 求.(3) 已知数列的通项公式，求它的前n项和.(4) 已知数列的通项公式求它的前n项和.三.错位相减法例3. 设等差数列的前项和为，且，求数列的前项和.练习3:设数列的前项和为，为等比数列，且, 求数列和通项公式. 设，求数列前项和.四.倒序相加法例4. 求和练习4:(1) 求和(2)求证： $巩固练习$1.求和： 2.求的值3. 求数列的前项和：，4. 求数列的前项和5. 求数列的前项和6. 在数列中，又，求数列的前项的和.7. 求证：8.已知是各项均为正数的等比数列，且，（）求的通项公式； （）设，求数列的前项和。9.已知等差数列满足：，.的前项和为.（）求 及；（）令（）,求数列的前n项和.10.已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和数列章节测试题一、选择题：1数列则是该数列的（ ）A第6项 B第7项 C第10项 D第11项2方程的两根的等比中项是（ ）A B C D3已知等差数列满足，则它的前10项的和（ ）A138B135C95D234、已知等比数列的前三项依次为，则A B C D5一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（ ）A12 B C16 D186、若等差数列的前5项和，且，则（）（A）12 （B）13 （C）14 （D）157、在数列中， ，则 （）A B C D8两等差数列an、bn的前n项和的比，则的值是（ ）A B C D9an是等差数列，则使的最小的n值是（ ）A5 B C7 D810、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案第1个第2个第3个则第个图案中有白色地面砖的块数是（）A. B.C.D. 11.若数列前100项之和为0，则的值为（ ） A. B. C. D.以上的答案均不对12.设2a=3,2b=6,2c=12,则数列a,b,c成 A.等差 B.等比 C.非等差也非等比 D.既等差也等比二、填空题13、设Sn是等差数列an的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .14、由正数构成的等比数列an，若，则 15已知数列的前项和为某三角形三边之比为，则该三角形最大角为 16、给定（nN*），定义乘积为整数的k（kN*）叫做“理想数”，则区间1，2008内的所有理想数的和为 三、解答题17、已知函数是一次函数，且成等比数列，设，()（1）求；（2）设，求数列的前n项和。18、数列an的前n项和记为Sn，（1）求an的通项公式;（2）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且，又成等比数列，求Tn19、假设某市2004年新建住房400万，其中有250万是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万。那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于？20、已知数列中，其前项和满足（，）（1）求数列的通项公式；（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立21、已知直线与圆交于不同点An、Bn,其中数列满足：.（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前n项和.22、已知是公差为的等差数列，它的前项和为,（1）求公差的值；（2）若，求数列中的最大项和最小项的值；（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围数列章节测试题参考答案一、选择题12345674、小苏打和白醋混合后，产生了一种新物质二氧化碳气体，这种气体能使燃着的火焰熄灭，这样的变化属于化学变化。897、对于生活中的一些废弃物，我们可以从垃圾中回收它们并重新加工利用。这样做不但能够减少垃圾的数量，而且能够节省大量的自然资源。104、科学家研究表明昆虫头上的触角就是它们的“鼻子”，能分辨出各种气味，比人的鼻子灵敏得多。1112BB3、你知道哪些化学变化的事例呢？举出几个例子。CCBBA6、你还知道哪些环境问题？它们都对地球造成了哪些影响？DB第三单元 宇 宙DCA4、科学家研究表明昆虫头上的触角就是它们的“鼻子”，能分辨出各种气味，比人的鼻子灵敏得多。二、填空题第三单元 宇 宙13、-7214、715、16、20261、说说你身边物质变化的例子。解：换底公式：为整数，mN*k分别可取，最大值2008，m最大可取10，故和为22+23+210-18=2026三、解答题8、我们把