中考数学复习基本图形第课圆的基本性质.pptx

第第26课圆的基本性质课圆的基本性质 基础知识基础知识 自主学习自主学习1主要概念：主要概念：(1)圆：平面上到圆：平面上到 的距离等于的距离等于 的所有点组成的图形叫的所有点组成的图形叫做圆做圆 叫圆心，叫圆心，叫半径，以叫半径，以O为圆心的圆记作为圆心的圆记作 O.(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫弧和弦：圆上任意两点间的部分叫 ，连结圆上任意两点，连结圆上任意两点的线段叫的线段叫 ，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的 (3)圆心角：顶点在圆心角：顶点在 ，角的两边与圆相交的角叫圆心角，角的两边与圆相交的角叫圆心角(4)圆周角：顶点在圆周角：顶点在 ，角的两边与圆相交的角叫圆周角，角的两边与圆相交的角叫圆周角(5)等弧：在等弧：在 中，能够完全中，能够完全 的弧的弧要点梳理要点梳理定点定点定长定长定点定点定长定长弧弧弦弦弦弦圆心圆心圆上圆上同圆或等圆同圆或等圆重合重合2圆的有关性质：圆的有关性质：(1)圆的对称性：圆的对称性：圆是圆是 图形，其对称轴是图形，其对称轴是 圆是圆是 图形，对称中心是图形，对称中心是 旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合与原来的图形重合轴对称轴对称过圆心的任意一条直线过圆心的任意一条直线中心对称中心对称圆心圆心(2)垂径定理及推论：垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且，并且 垂径定理的推论：垂径定理的推论：平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径的直径 ，并且，并且 ；弦的垂直平分线弦的垂直平分线 ，并且平分弦所对的两条弧；，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦 所对的另一条弧所对的另一条弧平分弦平分弦平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧垂直于弦垂直于弦平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧经过圆心经过圆心(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：弦、弧、圆心角的关系定理及推论：弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧角所对的弧 ，所对的弦，所对的弦 推论：在同圆或等圆中，如果两个推论：在同圆或等圆中，如果两个 ，、中有一组量相等，那么它们所对应的中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等其余各组量都分别相等相等相等相等相等圆心角圆心角两条弧两条弧两条弦两条弦两条弦心距两条弦心距(4)(4)圆周角定理及推论：圆周角定理及推论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 圆周角定理的推论：圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧周角所对的弧 半圆半圆(或直径或直径)所对的圆周角是所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的圆周角所对的弦是的弦是 一半一半相等相等直角直角直径直径(5)点和圆的位置关系点和圆的位置关系(设设d为点为点P到圆心的距离，到圆心的距离，r为圆的半径为圆的半径)：点点P在圆上在圆上 ；点点P在圆内在圆内 ；点点P在圆外在圆外 .drdr(6)过三点的圆：过三点的圆：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆 三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边三边 的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形形中垂线中垂线 难点正本疑点清源难点正本疑点清源 1 1确定一个圆的基本条件，把握圆的定义确定一个圆的基本条件，把握圆的定义 所谓所谓“确定确定”包含两层意思：一是说明存在，二是说明唯一，确定一包含两层意思：一是说明存在，二是说明唯一，确定一个圆的基本条件有两个：一个是圆心个圆的基本条件有两个：一个是圆心(定点定点)，一个是半径，一个是半径(定长定长)，圆心，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，二者缺一不可决定圆的位置，半径决定圆的大小，二者缺一不可 圆的定义有以下两种说法：圆的定义有以下两种说法：一种说法：线段绕它的一个端点在平面上旋转时，另一个端点画出一种说法：线段绕它的一个端点在平面上旋转时，另一个端点画出的封闭曲线叫做圆的封闭曲线叫做圆 另一种说法：平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆另一种说法：平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 前者从圆的产生刻画圆，称圆的产生定义；后者从圆的本质属性上前者从圆的产生刻画圆，称圆的产生定义；后者从圆的本质属性上刻画它，称圆的内涵定义集合，是指一切这样的点，因而可以利用它刻画它，称圆的内涵定义集合，是指一切这样的点，因而可以利用它判定一个点是否在已知圆上，从而建立了圆的内部、外部的概念判定一个点是否在已知圆上，从而建立了圆的内部、外部的概念 由于球面上任意封闭曲线、球面上的点都满足到定点由于球面上任意封闭曲线、球面上的点都满足到定点(球心球心)的距离的距离等于定长的要求，所以，圆的定义中，等于定长的要求，所以，圆的定义中，“平面上平面上”这个要求是不可缺少的这个要求是不可缺少的 同时，两种形式的定义都表明，同时，两种形式的定义都表明，“圆圆”指的是指的是“圆周圆周”，不包括被它，不包括被它围起围起来的平面来的平面 2 2应用圆的基本性质应用圆的基本性质 垂径定理反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等以垂径定理反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据，事实上，垂径定理及其推论也可以理解及垂直关系的重要依据，事实上，垂径定理及其推论也可以理解为，对于一个圆和一条直线，给出下列五个条件：为，对于一个圆和一条直线，给出下列五个条件：直线垂直于直线垂直于弦；弦；直线过圆心；直线过圆心；直线平分弦直线平分弦(不是直径不是直径)；直线平分弦所直线平分弦所对的优弧；对的优弧；直线平分弦所对的劣弧如果具备其中两个，就能直线平分弦所对的劣弧如果具备其中两个，就能推出其他三个推出其他三个 运用圆心角、弦、弧与弦心距之间的关系定理，可以证明同运用圆心角、弦、弧与弦心距之间的关系定理，可以证明同圆或等圆中弧相等、角相等及线段相等，这个定理也可以理解为：圆或等圆中弧相等、角相等及线段相等，这个定理也可以理解为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦所在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦所对的弦心距中，有一组量相等，那么所对应的其余各组量也分别对的弦心距中，有一组量相等，那么所对应的其余各组量也分别相等由该定理又可得到：圆心角的度数与它所对的弧的度数相相等由该定理又可得到：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等等基础自测基础自测1(2011绍兴绍兴)如图，如图，AB为为 O的直径，点的直径，点C在在 O上，若上，若C16，则，则BOC的度数是的度数是()A74 B48 C32 D16 答案答案C 解析解析OAOC，AC16，BOCAC32.答案答案A3(2011德州德州)一个平面封闭图形内一个平面封闭图形内(含边界含边界)任意两点距离的最大任意两点距离的最大值称为该图形的值称为该图形的“直径直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图，封闭图形的周长与直径之比称为图形的形的“周率周率”，下面四个平面图形，下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、依次为正三角形、正方形、正六边形、圆正六边形、圆)的周率从左到右依次记为的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下，则下列关系中正确的是列关系中正确的是()Aa4a2a1 Ba4a3a2 Ca1a2a3 Da2a3a4答案答案B4(2011南充南充)在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽面宽AB为为6分米，如果再注入一些油后，油面分米，如果再注入一些油后，油面AB上升上升1分分米，油面宽变为米，油面宽变为8分米，则圆柱形油槽直径分米，则圆柱形油槽直径MN为为()A6分米分米 B8分米分米 C10分米分米 D12分米分米 答案答案C答案答案B题型分类题型分类 深度剖析深度剖析【例例 1】(2011衡阳衡阳)如图，如图，O的直径的直径CD过弦过弦EF的中点的中点G，EOD40，则，则FCD的度数为的度数为_题型一圆心角与圆周角的关系题型一圆心角与圆周角的关系答案答案20 探究提高探究提高当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对 的圆周角或圆心角，的圆周角或圆心角，“一条弧所对的圆周角等于该弧所一条弧所对的圆周角等于该弧所 对的圆心角的一半对的圆心角的一半”，通过求等的弧把角联系起来，通过求等的弧把角联系起来知能迁移知能迁移1(1)(2011重庆重庆)如图，已知如图，已知AB为为 O的直径，的直径，CAB30，则，则D_.答案答案60 解析解析AB是是 O的直径，的直径，ACB90.CAB30，B60.DB60.(2)(2011乐山乐山)如图，如图，CD是是 O的弦，直径的弦，直径ABCD，若，若BOC40，则，则ABD()A40 B60 C70 D80 答案答案C题型二圆内接四边形题型二圆内接四边形【例例 2】一条弦的长度等于它所在的圆的半径，那么这条一条弦的长度等于它所在的圆的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是弦所对的圆周角的度数是_ 答案答案30或或150探究提高探究提高在很多没有给定图形的问题中，常常不能根据题在很多没有给定图形的问题中，常常不能根据题目的条件把图形确下来，因此会导致解的不唯一性，这种目的条件把图形确下来，因此会导致解的不唯一性，这种题一题多解，必须分类讨论本题中，弦所对的圆周角不题一题多解，必须分类讨论本题中，弦所对的圆周角不是唯一的，圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，是唯一的，圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，依据依据“圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补”，这两个角互补，这两个角互补知能迁移知能迁移2(2012威海威海)如图，如图，AB为为 O的直径，点的直径，点C、D在在 O上，若上，若AOD30，则，则BCD的度数是的度数是_ 答案答案105题型三圆的轴对称性题型三圆的轴对称性探究提高探究提高连接连接OM、ON，则，则OMAB，ONCD，OM、ON分别是弦分别是弦AB、CD的弦心距，的弦心距，“有弦常作弦心距有弦常作弦心距”，这，这是一个常用的方法是一个常用的方法知能迁移知能迁移3(1)(2011上海上海)如图，如图，AB、AC都是圆都是圆O的弦，的弦，OMAB，ONAC，垂足分别为，垂足分别为M、N，如果，如果MN3，那么那么BC_.答案答案6题型四建模思想，解决管道水位问题题型四建模思想，解决管道水位问题【例例 4】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图所示员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面若这个输水管是水平放置的破裂管道有水部分的截面若这个输水管道有水部分的水面宽道有水部分的水面宽AB16 cm，水面最深地方的高度，水面最深地方的高度为为4 cm，求这个圆形截面的半径，求这个圆形截面的半径解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！探究提高探究提高这是一道实际问题，关键是将其转化为数学问题这是一道实际问题，关键是将其转化为数学问题由于管道是圆形的，因此可以把水面宽度看作弦长，从由于管道是圆形的，因此可以把水面宽度看作弦长，从而利用垂径定理构造直角三角形，再利用勾股定理、方程而利用垂径定理构造直角三角形，再利用勾股定理、方程思想来求解思想来求解知能迁移知能迁移4在直径为在直径为400 mm的圆柱形油槽内，装入一部分的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽油，油面宽320 mm，求油的深度，求油的深度 解如图解如图，在，在RtAOC中，中，AO200，AC160，OC120，CDODOC20012080.如图如图，在，在RtAOC中，中，AO200，AC160，OC120，CDODOC200120320.答：油的深度为答：油的深度为80 mm或或320 mm.图 图 易错警示易错警示1717忽忘外心在形外忽忘外心在形外剖析剖析上述解法看上去好像思考周全，考虑了两种情况，其实又上述解法看上去好像思考周全，考虑了两种情况，其实又错了，因为错了，因为BCABAC，BC是不等边是不等边ABC的最大边，所以的最大边，所以A60不正确，产生错误的根源是图画得不准确，忽视了圆不正确，产生错误的根源是图画得不准确，忽视了圆心的位置，实际上本题的圆心应在心的位置，实际上本题的圆心应在ABC的外部的外部批阅笔记批阅笔记提起三角形的外心，同学们容易画出图形，其提起三角形的外心，同学们容易画出图形，其中中O是是ABC的外心的外心(即即O是是ABC外接圆的圆心外接圆的圆心)其其实，有些问题中三角形的外心并不在三角形的内部，而实，有些问题中三角形的外心并不在三角形的内部，而在外部因此，解答圆内接三角形问题时，要注意对圆在外部因此，解答圆内接三角形问题时，要注意对圆心进行探讨，特别是未明确圆心位置时，不要随意解答心进行探讨，特别是未明确圆心位置时，不要随意解答思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法技巧方法技巧 1.1.注意在同圆或等圆中，弦与弧等量关系的互相转注意在同圆或等圆中，弦与弧等量关系的互相转化化 2.2.补全圆面的关键在于确定圆心确定圆心时，主补全圆面的关键在于确定圆心确定圆心时，主要根据圆的定义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平要根据圆的定义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心分线，交点即为圆心失误与防范失误与防范 1 1在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性对于这种多解题，把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性对于这种多解题，我们必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏，圆周我们必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏，圆周角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的注意角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的注意“同同弧所对的圆周角相等弧所对的圆周角相等”说法是正确的，换成说法是正确的，换成“同弦所对的圆周角同弦所对的圆周角相相等等”，说法就不正确了，说法就不正确了 2 2对垂径定理的理解，同学们在学习时，往往把定理所需要对垂径定理的理解，同学们在学习时，往往把定理所需要的条件遗漏，如易漏掉垂直于弦的直径，或者垂直，而这两个条的条件遗漏，如易漏掉垂直于弦的直径，或者垂直，而这两个条件必须同时具备件必须同时具备完成考点跟踪训练完成考点跟踪训练26 26