二项式展开式的性质.pptx

1 10.4.210.4.2二项式展开式的性质二项式展开式的性质 2 (a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b1+6a2b2+4a1b3+b4 (a+b)5=a5+5a4b1+10a3b2+10a2b3+5a1b4+b5 (a+b)6=a6+6a5b1+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6a1b5+b6 (a+b)7=a7+7a6b1+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7a1b6+b7 根据二项式定理写出下列二项式的展开式根据二项式定理写出下列二项式的展开式:3展开式中的二项式系数，如下表所示：1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 将上述的将上述的7个展开式中的二项式系数列成下表个展开式中的二项式系数列成下表41.每行两端都是每行两端都是1；2.除除1以外的每个数都等于它肩上两个数的和；以外的每个数都等于它肩上两个数的和；3.与首末两端等距的两项的二项式系数相等；与首末两端等距的两项的二项式系数相等；4.幂指数为偶数时中间的二项式系数最大，幂指数为偶数时中间的二项式系数最大，幂指数为奇数时中间两项的二项式系数相等且最大；幂指数为奇数时中间两项的二项式系数相等且最大；5.从中间到首末两端二项式系数逐渐减小；从中间到首末两端二项式系数逐渐减小；得出规律得出规律5杨辉三角杨辉三角 (a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 (a+b)7 1 7 21 35 35 21 7 16 可以得到二项式展开式性质可以得到二项式展开式性质 将杨辉三角的每个数换成二项将杨辉三角的每个数换成二项 式的系数（组合符号）的形式式的系数（组合符号）的形式7二项式系数的性质二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是：从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：当 时，其图象是右图中的7个孤立点8二项式系数的性质二项式系数的性质2二项式系数的性质二项式系数的性质（1）对称性）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式 得到图象的对称轴：9二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值）增减性与最大值 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。可知，当 时，10二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值）增减性与最大值 因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。11（3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 二项式系数的性质二项式系数的性质在二项式定理中，令 ，则：这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于 ，上式还可以写成：这是组合总数公式 12 证明在证明在 的展开式中，奇数项的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和系数的和13(1)求 的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.(2)求 的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.14（1）对称性）对称性:与首末两端“等距离”的两个 二项式系数相等 （2）增减性与最大值）增减性与最大值 当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。15（3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 16作业:P 114 8.9.10优化设计 第三课时17 CENTERS FOR DISEASE CONTROLAND PREVENTION