二元一次方程组知识点及典型例题(2).pdf

1 二元一次方程组小结与复习二元一次方程组小结与复习一、知识梳理一、知识梳理（一）二元一次方程组的有关概念（一）二元一次方程组的有关概念1二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫作二元一次方程。2二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。任何一个二元一次方程都有无数个解。3方程组和方程组的解（1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。（2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。4二元一次方程组和二元一次方程组的解（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。（二）二元一次方程组的解法：（二）二元一次方程组的解法：1代入消元法 2加减消元法 二、典例剖析二、典例剖析题型一题型一 1二元一次方程及方程组的概念。二元一次方程及方程组的概念。二元一次方程的一般形式：二元一次方程的一般形式：任何一个二元一次方程经过整理、化简后，都可以化成（a,b,c 为已知数，且 a0，b0）的形式，这种形式叫二元一次方程的一0cbyax般形式。练习 1、下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？12).().(711)(6526)(yxxyDyxCyxBxzxA练习 2、若方程的值。的二元一次方程，求、是关于）（nnmmyxyxm43195练习练习 3 3、（1）若方程(2m6)x|n|1+(n+2)y=1 是二元一次方程，82m则m=_，n=_专题二：二元一次方程组的解法：专题二：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。（一）（一）、代入消元法：、代入消元法：1 1、直接代入、直接代入 例例 1 1 解方程组yxxy.134,322跟踪训练：解方程组：跟踪训练：解方程组：（1）（2）73825xyyx 90152xyxy2 2、变形代入、变形代入 例例 2 2 解方程组yxyx.1043,95跟踪训练：跟踪训练：（1）（2）77322yxyx.2354,42yxyx(3)(4)5231284yxyx.123,205yxyx（二）（二）、加减消元法、加减消元法例题例题、解方程组（1）（2）（3）524yxyx322543yxyx.1034,1353yxyx 跟踪训练：跟踪训练：（1）（2）（3）1023724yxyx3 (4)(5)(6)9275320232yyxyx11,233210;xyxy（三）（三）、选择适当的方法解下列方程组、选择适当的方法解下列方程组 （1）（2）.5)3()1(2),1(32xyxy23)3(5)4(44)3()4(2yxyx（3）（4）3)43(4)1(3)2(311yxyxx2y+2=02y+22x536题型三：代数式的变形题型三：代数式的变形1、在方程5中，用含的代数式表示为：，当3时，。2、在二元一次方程 x+2y=11 中，用含 x 的式子表示 y 得_15251102yxyx4654432yxyx题型四：有关二元一次方程组的解：题型四：有关二元一次方程组的解：（1）二元一次方程 3a+b=9 在正整数范围内的解的个数是_.（2）已知(3x2y+1)2与|4x3y3|互为相反数，则x=_，y=_（3）若方程组的解互为相反数，求m的值。122323myxmyx（4）解关于x，y的方程组，并求当解满足方程 4x3y21 时的 k 值32165410 xykxyk（5 5）：）：的值。求有相同的解与方程组若方程组babyaxyxyxbyax,10224352123（6）：若方程组 的解是方程 ax-by=4 的解，你能求出 a、b 的值吗？题型五：墨渍题题型五：墨渍题练习 1、已知方程组，甲正确的解得，而乙粗心，把 c 看错了，解得153cyxbyax32yx5，求 a、b、c 的值。63yx练习 2、一个被滴上墨水的方程组如下：，小明回忆到：“这个方程组872yxyx的解为，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方2223yxyx，而我求出的解是程中 x 的系数所致”，请你根据小明的回忆，把原方程组还原出来。练习 3：小明和小华同时解方程组，小明看错了 m，解得，小华看错1325nyxymx227yx了 n，解得，则原方程组正确的解是多少？73yx题型六：方程组的解的情况题型六：方程组的解的情况例题例题已知关于 x，y 的方程组，分别求出21(1)22(1)3(2)axyaxay 当 a 为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解6变式：变式：（1）当为何值时，方程组有唯一的解 a2133axyxy分析：（2）2：6x+2y=6 (3)(3)-(1):(6-a)x=5当 a6 时，方程有唯一的解ax65（1）当为何值时，方程组有无穷多解？m2122xyxmy分析：（1）2：2x+4y=2 (3)(3)-(2):(4-m)y=0 4-m=0 即 m=4，有无穷多解题型七：应用题题型七：应用题（分配调运问题）（分配调运问题）某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽 9 人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽 5 人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的 2 倍，到两个工厂的人数各是多少？解：设到甲工厂的人数为 x 人，到乙工厂的人数为 y 人题中的两个相等关系：1、抽 9 人后到甲工厂的人数=到乙工厂的人数 可列方程为：x-9=2、抽 5 人后到甲工厂的人数=可列方程为：（行程问题）（行程问题）甲、乙二人相距 6km，二人同向而行，甲 3 小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。二人的平均速度各是多少？解：设甲每小时走 x 千米，乙每小时走 y 千米 题中的两个相等关系：1、同向而行：甲的路程=乙的路程+可列方程为：2、相向而行：甲的路程+=可列方程为：（百分数问题）（百分数问题）某市现有 42 万人口，计划一年后城镇人口增加 0.8，农村人口增加1.1,这样全市人口将增加 1，求这个市现在的城镇人口与农村人口？7 解：这个市现在的城镇人口有 x 万人，农村人口有 y 万人 题中的两个相等关系：1、现在城镇人口+=现在全市总人口 可列方程为：2、明年增加后的城镇人口+=明年全市总人口 可列方程为：（1+0.8）x+=（分配问题）（分配问题）某幼儿园分萍果，若每人 3 个，则剩 2 个，若每人 4 个，则有一个少 1 个，问幼儿园有几个小朋友？解：设幼儿园有 x 个小朋友，萍果有 y 个 题中的两个相等关系：1、萍果总数=每人分 3 个+可列方程为：2、萍果总数=可列方程为：（浓度分配问题）（浓度分配问题）要配浓度是 45%的盐水 12 千克，现有 10%的盐水与 85%的盐水，这两种盐水各需多少？解：设含盐 10%的盐水有 x 千克，含盐 85%的盐水有 y 千克。题中的两个相等关系：1、含盐 10%的盐水中盐的重量+含盐 85%的盐水中盐的重量=可列方程为：10%x+=2、含盐 10%的盐水重量+含盐 85%的盐水重量=可列方程为：x+y=（金融分配问题）（金融分配问题）需要用多少每千克售 4.2 元的糖果才能与每千克售 3.4 元的糖果混合成每千克售 3.6 元的杂拌糖 200 千克？解：设每千克售 4.2 元的糖果为 x 千克，每千克售3.4 元的糖果为 y 千克 题中的两个相等关系：1、每千克售 4.2 元的糖果销售总价+=可列方程为：2、每千克售 4.2 元的糖果重量+=可列方程为：（几何分配问题）（几何分配问题）如图：用 8 块相同的长方形拼成一个宽为 48 厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是 x 厘米，宽是 y 厘米 题中的两个相等关系：1、小长方形的长+=大长方形的宽 可列方程为：2、小长方形的长=可列方程为：（材料分配问题）（材料分配问题）一张桌子由桌面和四条脚组成，1 立方米的木材可制成桌面 50 张或制作桌脚 300 条，现有 5 立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌脚配套？解：设 题中的两个相等关系：1、制作桌面的木材+=可列方程为：2、所有桌面的总数：所有桌脚的总数=可列方程为：（数字问题）（数字问题）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9，求这个两位数？8解：设个位数字为 x，十位数字为 y。题中的两个相等关系：1、个位数字=-5，可列方程为：2、新两位数=可列方程为：（分配调运）（分配调运）一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种汽车运货的情况如左表所示，现租用该公司 5 辆甲种货车和 6 辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，问曱乙两种货车的载重量分别是多少吨？解：设 题中的两个相等关系：1、第一次：甲货车运的货物重量+=36 可列方程为：2、第二次：甲货车运的货物重量+=26 可列方程为：方案问题方案问题.北京和上海都有某种仪器可供外地使用，其中北京可提供 10 台，上海可提供 4 台。已知重庆需要 8 台，武汉需要 6 台，从北京上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示、有关部门计划用 8000 元运送这些仪器。请你设计一种方案，使武汉、重庆能够得到所需的仪器，而且运费正好够用。运费表：终点起点武汉（元/台）重庆（元/台）北京400800上海3005009 二元一次方程组二元一次方程组 课后练习（一）：课后练习（一）：一、填空题：一、填空题：1、用加减消元法解方程组，由2得 。2、在方程5中，用含的代数式表示为：，当3时，。3、在代数式中，当2，1时，它的值为1，则；当2，3时代数式的值是。4、已知方程组与有相同的解，则，。5、若，则，。6、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为，根据题意得方程组。7、如果3，2是方程的解，则。8、若是关于、的方程的一个解，且，则。9、已知，那么的值是。二、选择题：二、选择题：1010、在方程组、中，是二元一次方程组的有（）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个11、如果是同类项，则、的值是（）A、3，2 B、2，3 C、2，3 D、3，212、已知是方程组的解，则、间的关系是（）A、B、C、D、13、若二元一次方程，有公共解，则的取值为（）A、3 B、3 C、4 D、414、若二元一次方程有正整数解，则的取值应为（）A、正奇数 B、正偶数 C、正奇数或正偶数 D、015、若方程组的解满足0，则的取值范围是（）A、1 B、1 C、1 D、116、方程是二元一次方程，则的取值为（）A、0 B、1 C、1 D、217、解方程组时，一学生把看错而得，而正确的解是11那么、的值是（）A、不能确定 B、4，5，2C、不能确定，2 D、4，7，218、当时，代数式的值为6，那么当时这个式子的值为（）A、6 B、4 C、5 D、119、设 A、B 两镇相距千米，甲从 A 镇、乙从 B 镇同时出发，相向而行，甲、乙行驶的速度分别为千米小时、千米小时，出发后30分钟相遇；甲到 B 镇后立即返回，追上乙时又经过了30分钟；当甲追上乙时他俩离 A 镇还有4千米。求、。根据题意，由条件，有四位同学各得到第3个方程如下，其中错误的一个是（）A、B、C、D、三、解方程组：三、解方程组：20、21、四、列方程（组）解应用题：四、列方程（组）解应用题：22、王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元。其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元。问王大伯一共获纯利多少元？23、在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；12请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？五、综合题：五、综合题：24、已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。25、某同学在 A、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市 A 所有商品打八折销售，超市 B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？三、三、历年中考试题中二元一次方程组的整理历年中考试题中二元一次方程组的整理1.某校初三（2）班 40 名同学为“希望工程”捐款，共捐款 100 元.捐款情况如下表：捐款（元）1234人数67表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚.若设捐款 2 元的有名同学，捐款 3 元的有名同学，根据题意，可得方程组（）.xy（A）（B）（C）（D）272366xyxy2723100 xyxy273266xyxy2732100 xyxy2.已知二元一次方程组为，则_，_.2728xyxyxyxy3.若方程组的解与相等，则_.43113.xyaxay，（）xya 4.若是二元一次方程，则值等于_.359427342mnmnxymn135.有一个两位数，减去它各位数字之和的 3 倍，值为 23，除以它各位数字之和，商是 5，余数是 1，则这样的两位数（）A不存在B有惟一解 C有两个D有无数解6.4x+1=m(x2)+n(x5),则m、n的值是（）A.B.C.D.14nm14nm37nn37nm7.如果方程组无解，则a为（）1293yxyaxA.6 B.6 C.9 D.98.若方程组的解之和：x+y=5，求k的值，并解此方程组.345223kyxkyx9.以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置是（）21yxyx (,)x yA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限10.若关于xy，的方程组2xymxmyn的解是21xy，则|mn为（）A1B3C5D211.若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程 的解，kyxkyx95632 yx则k的值为（A）（B）（C）（D）4343343412.已知代数式与是同类项，那么的值分别是（）133mxy52nm nx ymn、ABCD21mn 21mn 21mn21mn 二、应用问题的整理13.为了防控甲型 H1N1 流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100 瓶，其中甲种 6 元/瓶，乙种 9 元/瓶（1）如果购买这两种消毒液共用 780 元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的 100 瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数14的 2 倍，且所需费用不多于 1200 元（不包括 780 元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？14.在直角坐标系中有两条直线：和，它们的交点为P，第一条直线3955yx362yx 与x轴交于点A，第二条直线与x轴交于点B（1）求A，B两点的坐标（2）求PAB的面积15.一群学生前往位于青田县境内的滩坑电站建设工地进行社会实践活动，男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽.休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象，每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，而每位女生看到白色的安全帽是红色的 2 倍.问题：根据这些信息，请你推测这群学生共有多少人？16.在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价 13%的财政补贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴 351 元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多 500 元.求：（1）A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？1517.某服装专卖店老板对第一季度男、女服装的销售收入进行统计，并绘制了扇形统计图（如图）由于三月份开展促销活动，男、女服装的销售收入分别比二月份增长了40%，64%，已知第一季度男女服装的销售总收入为 20 万元（1）一月份销售收入为 万元，二月份销售收入为 万元，三月份销售收入为 万元；（2）二月份男、女服装的销售收入分别是多少万元？18.如图，在 33 的方阵图中，填写了一些数和代数式(其中每个代数式都表示一个数)，使得每行的个数、每列的个数、斜对角的个数之和均相等(1)求x，y的值；(2)在备用图中完成此方阵图 19.某旅游商品经销店欲购进 A、B 两种纪念品，若用 380 元购进 A 种纪念品 7 件，B 种纪念品 8 件；也可以用 380 元购进 A 种纪念品 10 件，B 种纪念品 6 件。（1）求 A、B 两种纪念品的进价分别为多少？（2）若该商店每销售 1 件 A 种纪念品可获利 5 元，每销售 1 件 B 种纪念品可获利 7 元，该商店准备用不超过 900 元购进 A、B 两种纪念品 40 件，且这两种纪念品全部售出第 17 题图一月份25%二月份30%三月份45%234(备用图)2yx234xy(第 18 题)abc16候总获利不低于 216 元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？20.奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择如果买 4 个笔记本和 2支钢笔，则需 86 元；如果买 3 个笔记本和 1 支钢笔，则需 57 元（1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过 10 支，那么超出部分可以享受 8 折优惠，若买(0)x x 支钢笔需要花y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过 10 个，请帮小明判断买哪种奖品省钱 21.孔明同学在解方程组的过程中，错把看成了 6，他其余的解题过程没有出2ykxbyx b错，解得此方程组的解为，又已知直线过点（3，1），则的正确值应12 xyykxbb该是 22.2008 年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共 100 枚，金牌数位列世界第一 其中金牌比银牌与铜牌之和多 2 枚，银牌比铜牌少 7 枚问金、银、铜牌各多少枚？17