matlab四自由度汽车悬架仿真系统.doc

线性系统理论大作业

1/2汽车模型悬架系统建模与分析

学 院： 自动化学院
姓名 学号：陈晨（2014201416）
周铉（2014261584）
联系方式： 15991799538
15991740440
时 间： 2015年6月

目 录
一、研究内容 1
1、问题描述 2
2、系统建模 3
二、系统分析 6
1、状态空间方程 6
2、系统稳定性判断 6
3、使用不同的采样周期将系统离散化求得其零极点分布图 7
4、系统一、二正弦响应曲线 8
5. 系统一、二的阶跃响应 9
三、系统能控能观性判别 10
1、根据能控性秩判据 10
四、极点配置 11
五、 状态观测器设计 14
1、全维状态观测器设计 14
2、降维状态观测器 21

一、研究内容
本文对题目给定的1/2汽车四自由度模型，建立状态空间模型进行系统分析，并通过MATLAB仿真对系统进行稳定性、可控可观测性分析，对得的结果进行分析，得出系统的综合性能。在此基础上，设计全维和降维状态观测器以及状态反馈控制律和对性能的优化设计。
1、问题描述
由于题目涉及的1/2汽车四自由度系统结构参数已知，故采用分析途径建立其状态空间描述。其图形如下：

其中：m1、m2：分别是前、后车轮的簧下质量(kg)；m为1/2汽车车身质量，也即汽车的簧上质量(kg)；Iy为簧上质量绕其质心的转动惯量(kg．m2)；Kt1，kt2分别是前、后轮胎的垂直刚度(N/m)；k1，k2：分别是前、后悬架的刚度(N/m)；C1C2：分别是汽车前、后悬架减震器的平均阻尼系数(N·s/m)；qz1，qz2露分别是路面对前、后轮在垂直方向上的位移激励(m)，qz1也比qz2滞后时间τ；z1z2：为前、后轮在垂直方向上的位移（m)；z为车身质量(也即簧载质量)在垂直方向上的位移（m)；θ为车身(即簧载质量)的俯仰角位移(rad)；a为质心到前轴中心的距离(m)；b为质心到后轴中心的距离(m)；L为轴距。以汽车垂直方向的位移和车身俯仰角为变量，依据牛顿法建立悬架系统的运动微分方程，其运动方程写成矩阵形式为

式中：M一质量参数矩阵：C阻尼参数矩阵；K一刚度参数矩阵。
取状态 ；；系统计算相关的数据如下表1

M=[m 0 0 0;0 Iy 0 0;0 0 m1 0;0 0 0 m2];
K=[k1+k2 b*k2-a*k1 -k1 -k2;b*k2-a*k1 k1*a^2+k2*b^2 a*k1 -b*k2;-k1 a*k1 k1+k2 0;-k2 -b*k2 0 k2+kt2];
C=[c1+c2 b*c2-a*c1 -c1 -c2;b*c2-a*c1 c1*a^2+c2*b^2 a*c1 -b*c2;-c1 a*c1 c1 0;-c2 -b*c2 0 c2];
f=[0 0;0 0;kt1 0;0 kt2]*[qz1(t);qz2(t-)]
其中：r=L/u，u—车速。
2、系统建模
得到状态空间方程如下

其中：X= ;U=[qz1(t);qz2(t)]利用matlab 代入数据得到
Ass=-inv([C M;M zeros(4,4)])*[K zeros(4,4); zeros(4,4) -M];
Ass =

0 0 0 0 1.0000 0 0 0
0 0 0 0 0 1.0000 0 0
0 0 0 0 0 0 1.0000 0
0 0 0 0 0 0 0 1.0000
-0.0565 -0.0173 0.0246 0.0319 -0.0043 -0.0006 0.0022 0.0022
-0.0098 -0.0628 -0.0174 0.0272 -0.0003 -0.0047 -0.0015 0.0019
0.4198 -0.5247 -0.9630 0 0.0370 -0.0463 -0.0370 0
0.4846 0.7317 0 -4.7137 0.0330 0.0499 0 -0.0330
Bss=inv([C M;M zeros(4)])*[E;zeros(4,2)];
Bss =
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
4.7407 0
0 4.2291
E=[0 0;0 0;kt1 0;0 kt2];
E =
0 0
0 0
192 0
0 192
当Y= 即为车身垂直加速度，车身角速度，
Css为Ass中的第5、6行所组成的子矩阵，Dss为Bss中的第5、6行所组成的子矩阵。
Css=Ass(5:6,:);
Css =

-0.0565 -0.0173 0.0246 0.0319 -0.0043 -0.0006 0.0022 0.0022
-0.0098 -0.0628 -0.0174 0.0272 -0.0003 -0.0047 -0.0015 0.0019
Dss=[Bss(5,:);Bss(6,:)];
Dss =
0 0
0 0
当Y=即z-a-z1为前悬动挠度；z-bθ-z2：为后悬动挠度；kt1[z1-qz1(t) ]/G1半为前轮相对动载荷；kt1[z1-qz1(t) ]/G2半为后轮相对动载荷。
Css1=[1 -a -1 0 0 0 0 0;1 b 0 -1 0 0 0 0;0 0 kt1/G1 0 0 0 0 0;0 0 0 kt2/G2 0 0 0 0];

Dss1=[zeros(2,2);-kt1/G1 0;0 -kt2/G2];
Dss1 =
0 0
0 0
-0.0469 0
0 -0.0547
其中，在求相对动载荷时，设G1、G2分别为静平衡位置时路面对前后轮的法向反作用力，
二、系统分析
1、状态空间方程
通过sys=ss(Ass,Bss,Css,Dss);sys1=ss(Ass,Bss,Css1,Dss1);分别求得两系统的状态空间方程。并通过G10=tf(sys);G20=tf(sys1);分别求得两系统的传递函数。
2、系统稳定性判断
系统是渐进稳定的充要条件是，矩阵Ass的特征值均具有负实部。
通过b=eig(Ass)算出矩阵Ass的特征值分别为
λ1= -0.0170 + 2.1727i
λ2= -0.0170 - 2.1727i
λ3= -0.0200 + 0.9916i
λ4= -0.0200 - 0.9916i
λ5= -0.0020 + 0.2557i
λ6= -0.0020 - 0.2557i
λ7= -0.0006 + 0.1599i
λ8= -0.0006 - 0.1599
分别求得两系统的极点分布，见下图2

图2
综上可知，系统一是临界稳定的，系统二是稳定。
3、使用不同的采样周期将系统离散化求得其零极点分布图，
见图3

图3
由图3分析可知，同一系统离散化之后其稳定性不变。
4、 系统一、二正弦响应曲线
输入为u1=u2=sint,用lsimplot（）函数得到系统的正弦响应曲线，如下图4、图5：

图4

图5
由图4、5可知，系统一临界稳定、系统是二稳定的。
5、 系统一、二的阶跃响应

（a）

(b)
图 6
由上可知系统一、系统二的阶跃响应是收敛的
三、系统能控能观性判别
1、根据能控性秩判据
Qc=
利用Matlab函数ctrb(),求得Qc，经过计算可以得到rank(Qc)=8，故系统完全可控。
根据能观性秩判据
Qk=
利用Matlab函数obsv(),求得Qk1，经过计算可以得到系统一的rank(Qk1)=8，故系统一是可观测的，系统二的rank(Qk2)=8所以也是可观测的。
基于以上讨论，由于系统是可控可观的，则存在适当的状态反馈控制律可以将系统的极点配置到任意位置，从而使系统达到稳定并且提高系统性能。由于系统1和系统2是可控的，则存在适当的状态反馈控制律可以将系统的极点配置到任意位置，从而使系统达到稳定并且提高系统性能。由于系统一、二是完全可观的，正如前面所讨论的，必然可以通过系统的输出和输入重构系统的状态，即可以搭建相应的状态观测器为状态反馈控制律提供状态量。
四、极点配置
1、系统在引入状态反馈后，

图7 加入状态反馈后的结构图

其状态空间方程发生变为：
X=(Ass-BssK)x+Bss*v,y=Css*x
稳定判据中的秩判据可知当系统的Ass矩阵的特征值全部具有负实部时系统稳定，因此引入状态反馈后解决系统的镇定问题就是寻找反馈矩阵K，使得(Ass-BssK)矩阵的实部全部小于零。由于系统是完全能控的，所以两个系统都是可以通过状态反馈任意配置极点实现系统的稳定。
在实际应用中，多数控制系统都采用基于反馈控制的闭环系统，反馈系统的特点是对内部参数变动和环境影响具有良好的抑制作用。反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈，其中前者是系统结构信息的完全反馈，对应地，输出反馈则是系统结构信息的不完全反馈，前者在功能上要远远优于后者。本节1/2汽车四自由度系统的状态反馈控制，即寻找适当的反馈控制律K，使闭环系统的极点到达满足稳定性和性能要求的位置。
从控制理论角度讲，以期望闭环极点组为性能指标，可以严格和简洁地建立相应综合理论和算法，于是在用极点配置方法改善系统性能之前，首先需要在直观性能指标和期望闭环极点组之间建立起对应的联系。闭环极点常用的确定方法为把所有的闭环极点区分为2个主导极点和n-2个非主导极点，因为二阶系统各项性能指标与极点有简单的对应关系，如果系统非主导极点足够远离主导极点对，那么整个系统的性能就可以用这两个主导极点来表征。在二阶系统中，系统极点，实部，虚部，其中为系统的阻尼比，为系统的固有频率，极点实部越大，系统调节时间越短，系统反应越快速；极点虚部越大系统响应的震荡越剧烈。惯常做法是将取0.707，此时各项性能指标综合最优，并通过不断试验确定适当的.确定主导极点对后，剩余n-2个极点可在左半s平面远离主导极点对区域内任取，区域右端离虚轴距离至少等于主导极点对离虚轴距离的4至6倍。
直接使用Matlab的place（）命令求解K。期望极点 -2， -3 ，-10 ，-12 ，-20 ，-15 ，-18 ，-19则
K =

1.0e+04 *

Columns 1 through 5

3.9215 -2.5595 0.0087 0.0010 2.1821
4.8295 4.4730 0.0007 0.0126 2.1831

Columns 6 through 8

-1.8444 0.0010 0.0001
2.1105 0.0001 0.0012
系统框图如下：

图8 系统一的状态反馈
系统一仿真时，输入，为了更直观地观察到系统一状态在闭环控制下随时间衰减，初始状态取[1 1 1 1 1 1 1 1]〗^T
期望极点-2， -3 ，-10 ，-12 ，-20 ，-15 ，-18 ，-19，通过观察系统一的阶跃响应图得到设计完状态反馈控制器后，阶跃响应下系统是收敛的，这就完成了系统一的镇定问题，系统一达到了渐进稳定状态。

（a）

（b）
图9 系统一期望极点处的响应曲线
2、极点配置后的正弦响应

图 10
五、 状态观测器设计
1、全维状态观测器设计

前面为了解决系统的镇定问题，引入了状态反馈对系统进行极点配置，从而使其达到稳定。但引入状态反馈的前提条件是所有状态都是可以得到的。因此，需要对系统的状态进行重构，并用这个重构的状态代替系统的真实状态，来实现所要求的状态反馈。
状态重构的实质，就是重新构造一个系统，利用原系统中可直接测量的变量，如输出变量和输入变量作为它的输入信号并使其输出信号在一定条件下等价与原系统的状态x。通常称这个用于实现状态重构的系统为状态观测器。
如果状态观测器能够观测所有的状态量，而不管其是否能够直接测量，这种观测器称为全维状态观测器。
由于全维状态观测器要求系统能观，现在选择系统变量如下：

称此系统为系统，通过验证，系统能控能观，可进行全维观测器的设计。全维状态观测器的结构框图如下图11：

图11 全维状态观测器结构框图

全维状态观测器仿真框图如下图12

图 12 全维状态观测器仿真框图
由上图可以推导出它的全维状态观测器动态方程如下：，化简为：。
全维状态观测器是以系统的输入u和输出y为输入，以估计状态为输出的系统，为全维状态观测器所估计出的系统状态。状态观测器的估计误差为：。
观察上图，发现被观测系统的前馈矩阵Dss并没有出现。原因很简单，在系统运行过程中，前馈矩阵仅仅影响到系统的输出，而对系统的状态变化没有影响，系统的状态主要由输入，矩阵Bss和Ass确定。所以在搭建全维状态观测器时引入的被观测系统的输出并不是完整的系统输出，而是不包含前馈的部分输出。所以简明起见，图12中略去了前馈矩阵Dss，这并不影响系统运行，也不影响重构状态生成。
由上式可知，误差动态特性由矩阵的特征值决定。因此只要该矩阵特征值位于负半平面，则对于任意的初始状态误差e(0)，系统的状态误差e(t)就能够趋近于零。对于可观测系统，矩阵的特征值可以通过观测器增益矩阵实现任意配置。则系统全维状态观测器的设计问题就转化为确定观测器增益矩阵L，使系统的特征值位于期望位置，以实现误差动态方程以足够快的速度渐进稳定，这其实也是一个极点配置的问题。
全维观测器在构造思路上由“复制”和“反馈”合成，复制就是，基于被观测系统的的系数矩阵Ass、Bss、Css，按照相同结构建立一个复制系统。反馈指取被观测系统输出和复制系统的输出的差作为修正变量，经过增益矩阵L反馈到复制系统的输入端构成闭环系统。之所以引入矩阵L，是因为可以用矩阵L来调节重构系统收敛于实际状态的速度，除此之外矩阵L还可以在观测器初始状态与实际系统初始状态不重合时迫使重构状态在一定时间内收敛于实际状态。
下面就要对状态观测器进行极点配置使其很好的跟随原系统的状态，理论上只要{Ass-L*Css}矩阵的特征值（也是状态观测器的极点）的负实部全部都比原系统的特征值的负实部小，就可以使得重构状态很好的跟随原系统的状态x。对于本次的设计的系统来说，原系统的特征值分别为
λ1= -0.0170 + 2.1727i
λ2= -0.0170 - 2.1727i
λ3= -0.0200 + 0.9916i
λ4= -0.0200 - 0.9916i
λ5= -0.0020 + 0.2557i
λ6= -0.0020 - 0.2557i
λ7= -0.0006 + 0.1599i
λ8= -0.0006 - 0.1599
设计观测器的目的是对系统的状态进行重构,使得其很好的跟随原状态，用这些重构的状态进行状态反馈，设置状态反馈器。

图13系统一重构状态反馈控制

图 14 系统二重构状态反馈控制
在仿真时，期望系统极点为p=[2， -3 ，-10 ，-12 ，-20 ，-15 ，-18 ，-19]观测器极点为pb=[-4 -6 -20 -24 -40 -30 -36 -50];
系统输入为常量[1 1]T，系统初始状态为[1 1 1 1 1 1 1 1]T，全维状态观测器初始状态为[0 0 0 0 0 0 0 0]T.

图15系统一使用重构状态进行反馈控制时系统实际状态
图16 系统一使用重构状态进行反馈控制时观测器重构的状态

图17系统二使用重构状态进行反馈控制时系统实际状态

图18 系统二使用重构状态进行反馈控制时观测器重构的状态
由图得出采用重构状态进行反馈控制依然能够使系统镇定，显然也可以改善系统的性能。状态观测器在与实际系统构成闭环时依然能够在一定时间内实现重构状态对实际状态的跟踪，采用重构状态进行反馈控制与采用实际状态进行反馈控制只在仿真初期存在较小差异，随着时间推移，差异最终收敛于0，这说明，只要使用足够快速的状态观测器，使用重构状态进行反馈控制完全可以完成对系统性能的改善。
2、降维状态观测器
考虑到系统的输出已经包含了系统状态的部分信息，因此直接利用这部分信息可以构造出维数低于被估计系统的状态观测器，即降维状态观测器，降维观测器需要较少的积分器就可以构成，简化了观测器的结构，因此在工程应用中更具有意义。类似于全维状态观测器的讨论，本节研究观测器与被估计系统构成闭环时的状态。
降维状态观测器的求解过程如下。
Ass =
0 0 0 0 1.0000 0 0 0
0 0 0 0 0 1.0000 0 0
0 0 0 0 0 0 1.0000 0
0 0 0 0 0 0 0 1.0000
-0.0565 -0.0173 0.0246 0.0319 -0.0043 -0.0006 0.0022 0.0022
-0.0098 -0.0628 -0.0174 0.0272 -0.0003 -0.0047 -0.0015 0.0019
0.4198 -0.5247 -0.9630 0 0.0370 -0.0463 -0.0370 0
0.4846 0.7317 0 -4.7137 0.0330 0.0499 0 -0.0330
Bss =
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
4.7407 0
0 4.2291
Css =
-0.0565 -0.0173 0.0246 0.0319 -0.0043 -0.0006 0.0022 0.0022
-0.0098 -0.0628 -0.0174 0.0272 -0.0003 -0.0047 -0.0015 0.0019

Css1 =
1.0000 -1.2500 -1.0000 0 0 0 0 0
1.0000 1.5100 0 -1.0000 0 0 0 0
0 0 0.0469 0 0 0 0 0
0 0 0 0.0547 0 0 0 0
Dss =
0 0
0 0
Dss1 =
0 0
0 0
-0.0469 0
0 -0.0547
1) 选取6*8阶常数矩阵
R= 使得矩阵
满足
2) 计算

其中
3) 计算

其中

4) 选取使得矩阵具有期望特征值，经过计算可以得到观测器增益矩阵

5) 根据以下公式搭建降维状态观测器

为搭建仿真框图方便起见，取以下代换

图19 降维状态观测器框图
若不特殊说明，系统输入为常值[1 1]T，系统初始状态为[1 1 1 1 1 1 1 1]T，降维状态观测器的初始状态为[1 1 1 1 1 1]T。

图20 降维状态观测器反馈框图
仿真得到降维状态观测器重构状态如下图21：

图21 降维状态观测器实际状态

图22 降维状态观测器重构状态

当把重构状态应用于状态反馈控制时，期望极点为，系统能够被镇定，当然系统的性能也可以通过配置极点得到改善。还可以观察到，在一定时间内，降维观测器重构的状态收敛于实际状态，如果降维观测器响应速度足够迅速，则完全可以用重构状态来控制系统。
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