4-9-凑微分法.docx

4-9-凑微分法

模块基本信息
一级模块名称
积分学
二级模块名称
计算模块
三级模块名称
凑微分法
模块编号
4-9
先行知识
1、积分基本公式
模块编号
4-7
2、牛顿—莱布尼茨公式
模块编号
4-6
知识内容
教学要求
掌握程度
1.凑微分法求不定积分
1.会运用凑微分法求不定积分
熟练掌握
2.凑微分法求定积分
2.会运用凑微分法求定积分
能力目标
1.培养学生的知识迁移能力
2.培养学生的计算能力
时间分配
90分钟
编撰
尧克刚
校对
熊文婷
审核
危子青
修订人
张云霞
二审
危子青
一、正文编写思路及特点
思路：在熟练掌握积分基本公式的基础上，引入凑微分法，按照由易到难的顺序讲题例题、安排习题，使学生能够灵活运用凑微分积分法求函数的不定积分。在学习完不定积分的凑微分法后再来学习定积分的凑微分法。
特点：通过变换习题的手段，一方面进一步的巩固积分基本公式，另一方面锻炼学生的观察能力和知识的迁移能力。
二、 授课部分
（一） 新课讲授
利用基本积分公式与不定积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的.因此有必要进一步来研究不定积分的求法.由微分运算与积分运算的互逆关系，我们可以把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元法积分法，简称换元法。我们来讨论两类换元法-----第一类换元法和第二类换元法.本节课我们来学习第一换元法，也称为凑微分法.
1、不定积分的凑微分法（第一换元积分法）
（1）基本积分公式的推广
定理：若,则

例如：

（2）引例：求不定积分
分析：在基本积分公式中只有.比较与这两个积分，我们发现区别只是的幂次相差一个常数因子，但显然.如果将中的凑上一个常数因子2，使之成为下式

然后再令，那么上述积分就变为

这样就将原不定积分化为可用基本积分公式的问题了，而
,最后将代回，从而有

由于，所以计算结果正确.
（3） 不定积分的凑微分法（第一换元法）
将引例抽象化，对于具有形如的不定积分，可利用下面的积分方法：

定理1 设f(u)具有原函数, u=j(x)可导, 则有换元公式

其中，, 此称为积分形式的不变形，又称为第一换元积分法或凑微分法。
总结：凑微分法的关键是凑成微分的形式，即通过凑成某个函数的微分，进一步的凑成基本积分公式，然后利用基本公式积出来
（4）案例讲解
例1. 求下列函数的不定积分
(1) （一级） (2) （一级）
(3) （一级）
解: (1) (令)

注：此题利用凑微分公式，从而凑出了这个积分公式
(2) (令)

注：此题利用凑微分公式，从而凑出了
这个积分公式
(3) （）
（）
注：此题利用凑微分公式，从而凑出了
这个积分公式
在计算比较熟练以后，换元这一步可以省略，即按如下方法写出计算过程：

例2. 求下列函数的不定积分
(1) （二级） (2) （二级）
(3) （二级） (4) （二级）
(5) （二级） (6) （二级）
（7）（二级）
解: (1)

(2)

(3)
(4)
(5)
(6)
（7）

由以上题目可见，凑微分是通过凑出某个函数的微分进一步的凑成基本的积分公式，从而掌握一些常用的凑微分方法是必要的，下面是一些常用的凑微分方法：
（1）
（2）
（3）
（4）
特别地，
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
例3. 求下列函数的不定积分
(1) （二级） (2) （a>0）（二级）
(3) （二级）
解：(1)
.
即
(2)

.
即
(3)

.
即
这样，我们得到三个积分公式：

(选讲)例4 求下列函数的不定积分（提高部分，可选讲）
(1) （三级） (2）（三级）
解： （1）

（2）
=
2、定积分的凑微分法（第一换元积分法）
由牛顿—莱布尼茨公式可知，定积分的凑微分法与不定积分的凑微法类似，只是多了一步将上、下限代入的步骤.
类似于不定积分的思路，我们可以得到如下定理
定理2 设f(u)具有原函数可导F(u)则有换元公式

例5 求下列函数的定积分
（1） （一级） （2） （一级）
（3） （二级） （4） （二级）
（5） （二级）
（1） 解： =
（2）解：
= .
（3）解：
（4）解：

（5）解：

三、 能力反馈部分
1、用凑微分法求下列函数的不定积分
（1）　（一级）　 （2） （二级） 　
（3)　 （二级）　 （4） （二级）
（5） （二级） （6) （二级）
(7) （二级） （8） （二级）
(9) （三级） (10) （三级）
2、用凑微分法求下列函数的定积分
（二级） （一级）
（二级） （二级）