高等流体力学第二章流体力学的基本方程.pdf

20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组1 1第二章第二章第二章第二章 流体力学的基本方程流体力学的基本方程流体力学的基本方程流体力学的基本方程2.1 连续方程连续方程2.1 2.1 连续方程连续方程连续方程连续方程2.2 动量方程动量方程2.2 2.2 动量方程动量方程动量方程动量方程2.3 能量方程能量方程2.3 2.3 能量方程能量方程能量方程能量方程2.4 牛顿流体的基本方程组牛顿流体的基本方程组2.4 2.4 牛顿流体的基本方程组牛顿流体的基本方程组牛顿流体的基本方程组牛顿流体的基本方程组2.5 边界条件边界条件2.5 2.5 边界条件边界条件边界条件边界条件20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组2 22.1 2.1 连续方程连续方程连续方程连续方程质量守恒质量守恒质量守恒质量守恒质量守恒质量守恒系统质量在运动过程中不变系统质量在运动过程中不变系统质量在运动过程中不变系统质量在运动过程中不变 0t dDtDDtDm应用雷诺输运定理应用雷诺输运定理应用雷诺输运定理应用雷诺输运定理0SdSnudt 积分形式连续方程积分形式连续方程积分形式连续方程积分形式连续方程0dutduDtDdDtD由由由由初始时刻系统初始时刻系统初始时刻系统初始时刻系统与控制体重合与控制体重合与控制体重合与控制体重合20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组3 3连续方程连续方程连续方程连续方程2 2假定被积函数连续，且体积是任取的，当积分恒等于零假定被积函数连续，且体积是任取的，当积分恒等于零假定被积函数连续，且体积是任取的，当积分恒等于零假定被积函数连续，且体积是任取的，当积分恒等于零时可知被积函数必须恒等于零时可知被积函数必须恒等于零时可知被积函数必须恒等于零时可知被积函数必须恒等于零0 kkxuDtD 0 ut 微分形式连续方程微分形式连续方程微分形式连续方程微分形式连续方程0uDtD 0 kkxut 相对密度变化相对密度变化相对密度变化相对密度变化率等于负的相率等于负的相率等于负的相率等于负的相对体积变化率对体积变化率对体积变化率对体积变化率单位控制体内流体质量的单位控制体内流体质量的单位控制体内流体质量的单位控制体内流体质量的变化率与净流出控制体的变化率与净流出控制体的变化率与净流出控制体的变化率与净流出控制体的流体质量流量之和为零流体质量流量之和为零流体质量流量之和为零流体质量流量之和为零20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组4 4连续方程连续方程连续方程连续方程3 3xzyu x z y x x 方向净流出控制方向净流出控制方向净流出控制方向净流出控制体的质量流量体的质量流量体的质量流量体的质量流量 zyxxu 对微元控制体应用质量守恒定律对微元控制体应用质量守恒定律对微元控制体应用质量守恒定律对微元控制体应用质量守恒定律 2xxuu 2xxuu 通过单位面积的通过单位面积的通过单位面积的通过单位面积的质量流量质量流量质量流量质量流量20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组5 5连续方程连续方程连续方程连续方程4 4y y、z z 方向净流出控制体的质量流量方向净流出控制体的质量流量方向净流出控制体的质量流量方向净流出控制体的质量流量 zyxyv zyxzw 控制体内流体质量随时间的变化率控制体内流体质量随时间的变化率控制体内流体质量随时间的变化率控制体内流体质量随时间的变化率zyxt 微分形式连续方程微分形式连续方程微分形式连续方程微分形式连续方程微分形式连续方程微分形式连续方程 0 zwyvxut 0 ut 20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组6 6连续方程连续方程连续方程连续方程5 5 0 u 定常流动定常流动定常流动定常流动0 t 0 kkxu 定常流动净流出单位控制体的质量流量为零定常流动净流出单位控制体的质量流量为零0 u不可压缩流动不可压缩流动不可压缩流动不可压缩流动0 DtD 0 kkxu不可压缩流动净流出单位控制体的体积流量为零不可压缩流动净流出单位控制体的体积流量为零不可压缩流动连续方程导不可压缩流动连续方程导不可压缩流动连续方程导不可压缩流动连续方程导出无需定常假设出无需定常假设出无需定常假设出无需定常假设Ma 0.3Ma 0.3可视为不可压缩流动可视为不可压缩流动可视为不可压缩流动可视为不可压缩流动20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组7 7连续方程连续方程连续方程连续方程6 6 A2 A1 22,u11,u流管内的流动和一维流动流管内的流动和一维流动流管内的流动和一维流动流管内的流动和一维流动引入平均速度和密度，则定常流动引入平均速度和密度，则定常流动引入平均速度和密度，则定常流动引入平均速度和密度，则定常流动222111AuAu const uA 定常流动时，通过流管任意过流断定常流动时，通过流管任意过流断定常流动时，通过流管任意过流断定常流动时，通过流管任意过流断面的质量流量保持不变面的质量流量保持不变面的质量流量保持不变面的质量流量保持不变不可压缩流动不可压缩流动不可压缩流动不可压缩流动2211AuAu const uA 不可压缩流动，通过流管任意过流不可压缩流动，通过流管任意过流不可压缩流动，通过流管任意过流不可压缩流动，通过流管任意过流断面的体积流量保持不变断面的体积流量保持不变断面的体积流量保持不变断面的体积流量保持不变20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组8 8连续方程连续方程连续方程连续方程7 7=1 =2 0 DtD 流体质点运动过程中密度不变，但密度场不均匀流体质点运动过程中密度不变，但密度场不均匀流体质点运动过程中密度不变，但密度场不均匀流体质点运动过程中密度不变，但密度场不均匀0,0 yx 由空气温度变化引起大气由空气温度变化引起大气由空气温度变化引起大气由空气温度变化引起大气中的分层流动中的分层流动中的分层流动中的分层流动由于水的含盐量变化引起海洋中的分层流动由于水的含盐量变化引起海洋中的分层流动由于水的含盐量变化引起海洋中的分层流动由于水的含盐量变化引起海洋中的分层流动流体质点沿流体质点沿流体质点沿流体质点沿 =1 1或或或或 =2 2线线线线运动时，密度保持为常数运动时，密度保持为常数运动时，密度保持为常数运动时，密度保持为常数 1 1和和和和 2 2但但但但密度的分层流动密度的分层流动密度的分层流动密度的分层流动20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组9 9连续方程连续方程连续方程连续方程8 8不可压缩均质流动不可压缩均质流动不可压缩均质流动设流体不可压缩且均质不可压缩均质流动设流体不可压缩且均质设流体不可压缩且均质设流体不可压缩且均质0 DtD 0 由物质导数定义由物质导数定义由物质导数定义由物质导数定义 utDtD0 t const 绝大多数情况下，单质流体可以看作不可压缩的，绝大多数情况下，单质流体可以看作不可压缩的，绝大多数情况下，单质流体可以看作不可压缩的，绝大多数情况下，单质流体可以看作不可压缩的，流体密度就等于常数流体密度就等于常数流体密度就等于常数流体密度就等于常数20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组1010连续方程例题连续方程例题连续方程例题连续方程例题1 1例：试对柱坐标形式的微元六面体推导连续方程例：试对柱坐标形式的微元六面体推导连续方程例：例：例：例：试对柱坐标形式的微元六面体推导连续方程试对柱坐标形式的微元六面体推导连续方程试对柱坐标形式的微元六面体推导连续方程试对柱坐标形式的微元六面体推导连续方程 xz z RR质量守恒：质量守恒：质量守恒：质量守恒：控制体内质量的增加率控制体内质量的增加率控制体内质量的增加率控制体内质量的增加率+净流出控制体的质量流率净流出控制体的质量流率净流出控制体的质量流率净流出控制体的质量流率=0=0 t t 时间内控制体质量的变化时间内控制体质量的变化时间内控制体质量的变化时间内控制体质量的变化 ttzRRzRR ttzRRzRR 控制体内质量的变化率控制体内质量的变化率控制体内质量的变化率控制体内质量的变化率zRRt 20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组1111连续方程例题连续方程例题连续方程例题连续方程例题2 2 t t 时间沿时间沿时间沿时间沿 R R 方向净流出控制体的质量方向净流出控制体的质量方向净流出控制体的质量方向净流出控制体的质量 x z z RRtzRRRuRuRR2 tzRRRuRuRR2tzRRRuR 沿沿沿沿 R R 方向净流出控制体的质量流率方向净流出控制体的质量流率方向净流出控制体的质量流率方向净流出控制体的质量流率zRRRuR 20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组1212连续方程例题连续方程例题连续方程例题连续方程例题3 3 t t 时间沿时间沿时间沿时间沿 方向净流出控制体的质量方向净流出控制体的质量方向净流出控制体的质量方向净流出控制体的质量 x z z RRtzRuu2 tzRuu2tzRu 沿沿沿沿 方向净流出控制体的质量流率方向净流出控制体的质量流率方向净流出控制体的质量流率方向净流出控制体的质量流率zRu 20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组1313连续方程例题连续方程例题连续方程例题连续方程例题4 4 t t 时间沿时间沿时间沿时间沿 z z 方向净流出控制体的质量方向净流出控制体的质量方向净流出控制体的质量方向净流出控制体的质量 x z z RRtRRzzuuzz2 tRRzzuuzz2tzRRzuz 沿沿沿沿 z z 方向净流出控制体的质量流率方向净流出控制体的质量流率方向净流出控制体的质量流率方向净流出控制体的质量流率zRRzuz 20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组1414连续方程例题连续方程例题连续方程例题连续方程例题5 5 0 zRRzuzRuzRRRuzRRtzR 连续方程：连续方程：连续方程：连续方程：控制体内质量的变化率控制体内质量的变化率控制体内质量的变化率控制体内质量的变化率+净流出控制体的质量流量净流出控制体的质量流量净流出控制体的质量流量净流出控制体的质量流量=0=0 011 zuuRRRuRtzR 20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组15152.2 2.2 动量方程动量方程动量方程动量方程SndspdfduDtD初始时刻系统与控制体重合初始时刻系统与控制体重合初始时刻系统与控制体重合初始时刻系统与控制体重合 SSndSnuudutdspdf系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和质量力质量力质量力质量力表面力表面力表面力表面力系统动量变化率系统动量变化率系统动量变化率系统动量变化率动量定理动量定理动量定理动量定理动量定理动量定理积分形式动量方程积分形式动量方程积分形式动量方程积分形式动量方程20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组1616动量方程动量方程动量方程动量方程2 2 dut SdSnuu 控制体中流体的动量对时间控制体中流体的动量对时间控制体中流体的动量对时间控制体中流体的动量对时间的变化率，定常该项为零的变化率，定常该项为零的变化率，定常该项为零的变化率，定常该项为零流出控制体的流体动量的净流出控制体的流体动量的净流出控制体的流体动量的净流出控制体的流体动量的净流率流率流率流率作用在控制体上的外力之和作用在控制体上的外力之和作用在控制体上的外力之和作用在控制体上的外力之和 Sndspdf SSndSnuudutdspdf20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组1717动量定理动量定理动量定理动量定理3 3 dDtuDduDtD由由由由 ddsndspSSn由高斯公式由高斯公式由高斯公式由高斯公式ddfdDtuDfDtuD由于体积是任取的，所以积分由于体积是任取的，所以积分由于体积是任取的，所以积分由于体积是任取的，所以积分相等时被积函数必然相等时被积函数必然相等时被积函数必然相等时被积函数必然相等相等相等相等微分形式动量方程微分形式动量方程微分形式动量方程微分形式动量方程npnnjijni20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组1818动量方程动量方程动量方程动量方程4 4 fuutu 作用在单位体积作用在单位体积作用在单位体积作用在单位体积流体上的质量力流体上的质量力流体上的质量力流体上的质量力单位体积流体的动量随时间的变化率单位体积流体的动量随时间的变化率单位体积流体的动量随时间的变化率单位体积流体的动量随时间的变化率tu 密度（单位体积流体的质量）与当地加速度乘密度（单位体积流体的质量）与当地加速度乘密度（单位体积流体的质量）与当地加速度乘密度（单位体积流体的质量）与当地加速度乘积，由速度的非定常性引起当地加速度积，由速度的非定常性引起当地加速度积，由速度的非定常性引起当地加速度积，由速度的非定常性引起当地加速度uu 密度与对流加速度项乘积，由流体质点运密度与对流加速度项乘积，由流体质点运密度与对流加速度项乘积，由流体质点运密度与对流加速度项乘积，由流体质点运动及速度分布的不均匀性引起。对流加速动及速度分布的不均匀性引起。对流加速动及速度分布的不均匀性引起。对流加速动及速度分布的不均匀性引起。对流加速度项是非线性的度项是非线性的度项是非线性的度项是非线性的作用在单位作用在单位作用在单位作用在单位体积流体上体积流体上体积流体上体积流体上的表面力的表面力的表面力的表面力jijjijijxfxuutu 20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组1919动量方程动量方程动量方程动量方程5 5 ddsndspduudSnuuSSnS由高斯公式由高斯公式由高斯公式由高斯公式守恒形式的微分动量方程守恒形式的微分动量方程守恒形式的微分动量方程守恒形式的微分动量方程 ddfduudtu fuutu iijjjiijxfuuxut 20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组2020纳维纳维纳维纳维斯托克斯方程斯托克斯方程斯托克斯方程斯托克斯方程1 1ijjikkijijijxuxuxup由由由由jijjjxfDtDu ijjiikkjjiijxuxuxxuxxpxjijjiikkjjjfxuxuxxuxxpDtDufSupDtuD220102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组2121纳维纳维纳维纳维斯托克斯方程斯托克斯方程斯托克斯方程斯托克斯方程2 2jijjiikkjjjfxuxuxxuxxpDtDu2222ijijiijijijiiijjiixuxuxuxxuxxuxxuxux不可压缩流动不可压缩流动不可压缩流动不可压缩流动jijjjfxuxpDtDu22fupDtuD不可压缩流动连续方程不可压缩流动连续方程不可压缩流动连续方程不可压缩流动连续方程20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组2222非惯性系中的动量方程非惯性系中的动量方程非惯性系中的动量方程非惯性系中的动量方程1 1 0u0r 0urrur u(R)(A)ruuuuurer 0非惯性系平移速度非惯性系平移速度非惯性系平移速度非惯性系平移速度0u流体质点在运动坐标系中流体质点在运动坐标系中流体质点在运动坐标系中流体质点在运动坐标系中的速度，相对速度的速度，相对速度的速度，相对速度的速度，相对速度rurrrurrdtddtuddtuda20绝对速度绝对速度绝对速度绝对速度绝对绝对绝对绝对加速度加速度加速度加速度向心加速度向心加速度向心加速度向心加速度哥氏加速度哥氏加速度哥氏加速度哥氏加速度平移加速度平移加速度平移加速度平移加速度相对加速度相对加速度相对加速度相对加速度20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组2323非惯性系中的动量方程非惯性系中的动量方程非惯性系中的动量方程非惯性系中的动量方程2 2非惯性系动量方程非惯性系动量方程非惯性系动量方程非惯性系动量方程rrrurrdtddtudfDtuD20运动坐标系平移加速度引起的力运动坐标系平移加速度引起的力运动坐标系平移加速度引起的力运动坐标系平移加速度引起的力dtud0 运动坐标系角加速度引起的力运动坐标系角加速度引起的力运动坐标系角加速度引起的力运动坐标系角加速度引起的力rdtd 离心力离心力离心力离心力 r 哥氏力哥氏力哥氏力哥氏力ru 2运动坐标系静止或作匀速直线运动时该项为零运动坐标系静止或作匀速直线运动时该项为零运动坐标系静止或作匀速直线运动时该项为零运动坐标系静止或作匀速直线运动时该项为零旋转角速度为常矢量时，该项为零旋转角速度为常矢量时，该项为零旋转角速度为常矢量时，该项为零旋转角速度为常矢量时，该项为零由运动坐标系旋转引起的力由运动坐标系旋转引起的力由运动坐标系旋转引起的力由运动坐标系旋转引起的力流体质点相对于运动坐标系静止时为零流体质点相对于运动坐标系静止时为零流体质点相对于运动坐标系静止时为零流体质点相对于运动坐标系静止时为零20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组2424动量方程例题动量方程例题动量方程例题动量方程例题1 1例：从例：从 N-S 方程出发，作出适当的假定，推导以下各方程。设不可压缩流体方程出发，作出适当的假定，推导以下各方程。设不可压缩流体例：从例：从例：从例：从 N N-S S 方程出发，作出适当的假定，推导以下方程出发，作出适当的假定，推导以下方程出发，作出适当的假定，推导以下方程出发，作出适当的假定，推导以下各方程。设不可压缩流体各方程。设不可压缩流体各方程。设不可压缩流体各方程。设不可压缩流体 20220 1 1 utcgypdttdvbyuxpyutvtuay(a)(a)设设设设 tvv0 根据不可压缩流动连续方程根据不可压缩流动连续方程根据不可压缩流动连续方程根据不可压缩流动连续方程0 yvxutyuuxu,0 20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组2525动量方程例题动量方程例题动量方程例题动量方程例题2 2x x方向方向方向方向 N N-S S 方程方程方程方程xgyuxuxpyuvxuutu22221 tvvtyuufxuxpDtDujijjj022,2201yuxpyutvtuu u与与与与x x无关，重力沿无关，重力沿无关，重力沿无关，重力沿y y方向方向方向方向(b)(b)y y方向方向方向方向N N-S S 方程方程方程方程ygyvxvypyvvxvutv2222120102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组2626动量方程例题动量方程例题动量方程例题动量方程例题3 3 tvvtyuufxuxpDtDujijjj022,ygypdttdv 10(c)(c)令下式对令下式对令下式对令下式对x x求导求导求导求导ygyvxvypyvvxvutv2222122221yvxvxypxyvxvyvxvxvxuxvxutvx22221yvxvxypxyvxvxvxutvx20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组2727动量方程例题动量方程例题动量方程例题动量方程例题4 4对对对对y y求导求导求导求导22221yuxuyxpyyuyvyuyvxuyuxuyutuy22221yuxuyxpyyuyvxuyutuyxgyuxuxpyuvxuutu22221用用用用 式减式减式减式减 式，且式，且式，且式，且yuxvz 20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组2828动量方程例题动量方程例题动量方程例题动量方程例题5 522221yvxvxypxyvxvxvxutvx22221yuxuyxpyyuyvxuyutuy2222yxyvxutzzzzz 2 ut令令令令kz2222222222222222yxyuxvyyuxvxyuxuyyvxvxzz20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组29292.3 2.3 能量方程能量方程能量方程能量方程设流体力学系统偏离平衡态不远：系统总能量的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功率与通过导热向系统的传热功率之和设流体力学系统偏离平衡态不远：系统总能量的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功率与通过导热向系统的传热功率之和设流体力学系统偏离平衡态不远：系统总能量的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功率与通过导热向系统的传热功率之和设流体力学系统偏离平衡态不远：系统总能量的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功率与通过导热向系统的传热功率之和热力学第一定理热力学第一定理热力学第一定理热力学第一定理热力学第一定理热力学第一定理系统总能量系统总能量系统总能量系统总能量 duue21质量力作功功率质量力作功功率质量力作功功率质量力作功功率 dfu表面力作功功率表面力作功功率表面力作功功率表面力作功功率 AndApu内能内能内能内能+动能动能动能动能单位质量力单位质量力单位质量力单位质量力应力矢量应力矢量应力矢量应力矢量20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组3030能量方程能量方程能量方程能量方程2 2传热功率传热功率传热功率传热功率 AdAqn热流密度热流密度热流密度热流密度AAndAqndApudfuduueDtD21根据雷诺根据雷诺根据雷诺根据雷诺输运定理输运定理输运定理输运定理AAnSdAqndApudfudSnuuueduuet2121积分形式能量方程积分形式能量方程积分形式能量方程积分形式能量方程积分形式能量方程积分形式能量方程20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组3131能量方程能量方程能量方程能量方程3 3duueDtDduueDtD2121由由由由 dudAundAnudApuAAAn qdqdAnAdadAandAqndApudfuduueDtDAAAn21qddudfuduueDtD21微分形式能量方程微分形式能量方程微分形式微分形式微分形式微分形式能量方程能量方程能量方程能量方程20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组3232能量方程能量方程能量方程能量方程4 4021 dqufuuueDtD体积任取，积分恒等于零，被积函数必然为零体积任取，积分恒等于零，被积函数必然为零体积任取，积分恒等于零，被积函数必然为零体积任取，积分恒等于零，被积函数必然为零qufuuueDtD21iijijiiiiixquxfuuueDtD21qddudfuduueDtD2120102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组3333能量方程能量方程能量方程能量方程5 5守恒形式的微分能量方程守恒形式的微分能量方程守恒形式的微分能量方程守恒形式的微分能量方程AAnSdAqndApudfudSnuuueduuet2121利用高斯公式利用高斯公式利用高斯公式利用高斯公式qufuuueuuuet2121qddudfuduueuduuet212120102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组3434能量方程能量方程能量方程能量方程6 6ijijjiijjijixuuxux表面力做功项分析表面力做功项分析表面力做功项分析表面力做功项分析jiijux 单位体积流体受到的表面力与速度相乘表单位体积流体受到的表面力与速度相乘表单位体积流体受到的表面力与速度相乘表单位体积流体受到的表面力与速度相乘表示表面力在流体微团运动过程中的作功功示表面力在流体微团运动过程中的作功功示表面力在流体微团运动过程中的作功功示表面力在流体微团运动过程中的作功功率，使流体动能增加率，使流体动能增加率，使流体动能增加率，使流体动能增加ijijjiijjiijjijiijijijsasasxu 应力张量与应变率张量相乘，表示在流体变形过程应力张量与应变率张量相乘，表示在流体变形过程应力张量与应变率张量相乘，表示在流体变形过程应力张量与应变率张量相乘，表示在流体变形过程中表面力的作功功率，称变形功，它将使流体内能中表面力的作功功率，称变形功，它将使流体内能中表面力的作功功率，称变形功，它将使流体内能中表面力的作功功率，称变形功，它将使流体内能增加增加增加增加20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组3535能量方程能量方程能量方程能量方程7 7变形功变形功变形功变形功 ijijiiijijijijijspssps ijjikkijijijxuxuxupiiiixupps压缩功功率，表示流体体积变化时压缩功功率，表示流体体积变化时压缩功功率，表示流体体积变化时压缩功功率，表示流体体积变化时外部压强对单位体积流体作功的功外部压强对单位体积流体作功的功外部压强对单位体积流体作功的功外部压强对单位体积流体作功的功率，这种转变是可逆的率，这种转变是可逆的率，这种转变是可逆的率，这种转变是可逆的ijijs 表示流体变形时粘性应力对单位体积流体表示流体变形时粘性应力对单位体积流体表示流体变形时粘性应力对单位体积流体表示流体变形时粘性应力对单位体积流体的作功功率，这部分机械能向内能的转变的作功功率，这部分机械能向内能的转变的作功功率，这部分机械能向内能的转变的作功功率，这部分机械能向内能的转变是不可逆的，总大于零是不可逆的，总大于零是不可逆的，总大于零是不可逆的，总大于零20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组3636能量方程能量方程能量方程能量方程8 8机械能方程机械能方程机械能方程机械能方程机械能方程机械能方程动量方程动量方程动量方程动量方程jijjjxfDtDu 两端同乘以两端同乘以两端同乘以两端同乘以u uj jjijjjjjjxufuDtDuu 可看作在可看作在可看作在可看作在 j j 方向的受力平衡式和速度点乘，表示力方向的受力平衡式和速度点乘，表示力方向的受力平衡式和速度点乘，表示力方向的受力平衡式和速度点乘，表示力的机械功功率，所以上式是机械能守恒方程的机械功功率，所以上式是机械能守恒方程的机械功功率，所以上式是机械能守恒方程的机械功功率，所以上式是机械能守恒方程jijjjjjjxufuuuDtD 2120102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组3737能量方程能量方程能量方程能量方程9 9内能方程内能方程内能方程内能方程内能方程内能方程jijjjjjjxufuuuDtD 21jjjijijjjjxquxfuuueDtD 21jjijijjiijjjjjxqxuuxfuuueDtD 21jjijijxqxuDtDe jjijijkkxqxuxeute 20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组3838能量方程能量方程能量方程能量方程1010jjijijkkxqxuxeute te 内能的当地变化率内能的当地变化率内能的当地变化率内能的当地变化率kkxeu 内能的对流变化率，是由于流体质点从内能的对流变化率，是由于流体质点从内能的对流变化率，是由于流体质点从内能的对流变化率，是由于流体质点从一个区域运动到另一个区域引起的一个区域运动到另一个区域引起的一个区域运动到另一个区域引起的一个区域运动到另一个区域引起的ijijxu 由于表面力的作用引起的机械能向内能由于表面力的作用引起的机械能向内能由于表面力的作用引起的机械能向内能由于表面力的作用引起的机械能向内能的转换功率的转换功率的转换功率的转换功率jjxq 由于导热从外界向系统内部的传热功率由于导热从外界向系统内部的传热功率由于导热从外界向系统内部的传热功率由于导热从外界向系统内部的传热功率20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组3939能量方程能量方程能量方程能量方程1111引入傅里叶定律引入傅里叶定律引入傅里叶定律引入傅里叶定律Tkq 令令令令ijijs 耗散函数，粘性应力的作功功率耗散函数，粘性应力的作功功率耗散函数，粘性应力的作功功率耗散函数，粘性应力的作功功率jjkkxTkxxupDtDe ijijkkijijijijsxupsxu TkupDtDe 总能量方程是机械能方程和内能方程的和总能量方程是机械能方程和内能方程的和总能量方程是机械能方程和内能方程的和总能量方程是机械能方程和内能方程的和20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组4040能量方程能量方程能量方程能量方程1212能量方程的其它形式能量方程的其它形式能量方程的其它形式能量方程的其它形式能量方程的其它形式能量方程的其它形式TkupDtDe 由连续方程由连续方程由连续方程由连续方程0uDtD DtDu 11DtDpDtDpup代入内能方程代入内能方程代入内能方程代入内能方程TkDtDpDtDe1由热力学关系式由热力学关系式由热力学关系式由热力学关系式 pehdpdhpddeTds1120102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组4141能量方程能量方程能量方程能量方程1313 DtDpDtDhDtDpDtDeDtDsT 11TkDtDpDtDe1以熵表示的能量方程以熵表示的能量方程以熵表示的能量方程以熵表示的能量方程TkDtDsT jjxTkxDtDsT 以焓表示的能量方程以焓表示的能量方程以焓表示的能量方程以焓表示的能量方程TkDtDpDtDh jjxTkxDtDpDtDh 20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组42422.8 2.8 牛顿流体的基本方程组牛顿流体的基本方程组牛顿流体的基本方程组牛顿流体的基本方程组TeeTppxuxuxuxuxTkxxupxeutefxuxuxxuxxpxuutuuxtijijjikkjjkkkkjijjiikkjjkjkjkk,07 7个标量方程，个标量方程，个标量方程，个标量方程，7 7个未知量，方程组封闭个未知量，方程组封闭个未知量，方程组封闭个未知量，方程组封闭 、k k 为压强和温度的函数，由实验确定为压强和温度的函数，由实验确定为压强和温度的函数，由实验确定为压强和温度的函数，由实验确定完全气体完全气体完全气体完全气体RTp TCeV 20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组4343牛顿流体的基本方程组牛顿流体的基本方程组牛顿流体的基本方程组牛顿流体的基本方程组2 2不可压缩流体，不可压缩流体，为常数为常数不可压缩流体，不可压缩流体，不可压缩流体，不可压缩流体，为常数为常数为常数为常数jiijjkjkjkkfxxuxpxuutuuxt 20密度密度密度密度 为常数时为常数时为常数时为常数时，上述方程共上述方程共上述方程共上述方程共 4 4 个标量方程个标量方程个标量方程个标量方程未知量未知量未知量未知量 u uj j、p p 也是也是也是也是 4 4 个，方程组封闭个，方程组封闭个，方程组封闭个，方程组封闭流体力学问题和热力学问题可分开求解流体力学问题和热力学问题可分开求解流体力学问题和热力学问题可分开求解流体力学问题和热力学问题可分开求解20102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组4444牛顿流体的基本方程组牛顿流体的基本方程组牛顿流体的基本方程组牛顿流体的基本方程组3 3理想不可压缩流体理想不可压缩流体理想不可压缩流体理想不可压缩流体理想不可压缩流体理想不可压缩流体jjkjkjkkfxpxuutuuxt 0静止流体静止流体静止流体静止流体静止流体静止流体jjfxp 020102010-9 9-2727西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交通大学流体力学课程组西安交