中考数学总复习(北师大版)基础讲练-第1讲实数.doc

第1讲　实数

考纲要求
备考指津
1.了解有理数、无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．
2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．
3．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根．
4．了解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数．在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值．
5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小.
　　实数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题的形式出现，实数的运算主要是由二次根式、三角函数、幂等组成的混合算式的计算，常以计算或化简题型出现．另外，命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力．

考点一　实数的分类
1．按实数的定义分类

2．按正负分类
实数
考点二　实数的有关概念
1．数轴
实数与数轴上的点是一一对应的．
2．相反数
(1)实数a的相反数是－a，零的相反数是零；
(2)a与b互为相反数a＋b＝0.[来源:学§科§网]
3．倒数
(1)实数a的倒数是(a≠0)；(2)a与b互为倒数ab＝1.
4．绝对值
(1)数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|.
(2)|a|＝
考点三　平方根、算术平方根、立方根
1．平方根
(1)定义：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根(也叫二次方根)，数a的平方根记作±(a≥0)．
(2)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．算术平方根
(1)如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作.零的算术平方根是零，即＝0.
(2)算术平方根都是非负数，即≥0(a≥0)．
(3)()2＝a(a≥0)，＝|a|.
(4)＝·(a≥0，b≥0)；＝(a≥0，b＞0)．
3．立方根
(1)定义：如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根(也叫三次方根)，数a的立方根记作.
(2)任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同．
考点四　科学记数法、近似数、有效数字[来源:]
1．科学记数法
把一个数N表示成a×10n(1≤a＜10，n是整数)的形式叫科学记数法．当N≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．
2．近似数与有效数字
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．
考点五　非负数的性质
1．常见的三种非负数：|a|≥0，a2≥0，≥0(a≥0)．
2．非负数的性质：
(1)非负数有最小值是零；
(2)任意几个非负数的和仍为非负数；[来源:数理化网]
(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.
考点六　实数的运算
1．基本运算：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方．
2．基本法则：加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方的符号法则．
3．运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律．
4．运算顺序：(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从左至右的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．
5．零指数幂和负整数指数幂
(1)零指数幂的意义为：a0＝1(a≠0)；
(2)负整数指数幂的意义为：a－p＝(a≠0，p为整数)．
考点七　实数的大小比较
1．在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．
2．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．
3．取差比较法
(1)a－b＞0a＞b；(2)a－b＝0a＝b；(3)a－b＜0a＜B．
4．倒数比较法
若＞，a＞0，b＞0，则a＜B．
5．平方法：因为由a＞b＞0，可得＞，所以我们可以把与的大小问题转化成比较a和b的大小问题．

1．在－1,0,1,2这四个数中，既不是正数也不是负数的是(　　)．
A．－1 B．0 C．1 D．2[来源:]
2．－2的倒数是(　　)．
A．－ B． C．－2 D．2
3．|－3|的相反数是(　　)．
A．3 B．－3 C． D．－
4．下列运算正确的是(　　)．
A．－|－3|＝3 B．－1＝－3 C．＝±3 D．＝－3
5．第26届深圳大运会将在2011年8月12日拉开帷幕，据悉，来自海内外各种渠道的赛会志愿者报名人数为85 000人，远远超过需要的2.2万人．报名人数用科学记数法表示为__________．
6．已知一粒大米的质量约为0.000 021千克，这个数用科学记数法表示为(　　)．
A．0.21×10－4 B．2.1×10－4 C．2.1×10－5 D．21×10－6
7．若x，y为实数，且|x＋2|＋＝0，则2 011的值为(　　)．
A．1 B．－1 C．2 D．－2
8．计算下列各题：
(1)(5－1)0＋－1＋×3－|－2|－tan 60°.
(2)－22×5－(－2)3÷4＋＋sin 45°.
9．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是(　　)．

A．a＋b＞0 B．ab＞0 C．a－b＞0 D．|a|－|b|＞0

一、实数的分类
【例1】 下列各数：，0，，0.2，cos 60°，，0.300 03…，1－中无理数个数为(　　)．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：中π是无理数，所以是无理数；0是有理数；＝3是有理数；0.2是无限循环小数，属于有理数；cos 60°＝，是有理数；是有理数；0.300 03…是无理数；1－中是无理数，所以1－是无理数．
答案：B

有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：(1)含有π的式子；(2)根号内含开方开不尽的式子；(3)无限且不循环的小数；(4)某些三角函数式．
二、相反数、倒数、绝对值与数轴
【例2】 (1)－的倒数是__________；
(2)(－3)2的相反数是(　　)．
A．6 B．－6 C．9 D．－9
(3)实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|＋＝__________.

解析：(1)－的倒数为＝－5；
(2)因为(－3)2＝9,9的相反数是－9，故选D；
(3)本题考查了绝对值，平方根及数轴的有关知识，由图可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a＋b＜0，b－a＞0，原式＝－a－b＋b－a＝－2A．
答案：(1)－5　(2)D　(3)－2a

相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数)；倒数是它本身的数是±1.
三、平方根、算术平方根与立方根
【例3】 (1)(－1.44)2的算术平方根为________；的平方根为________；＝________；[来源:]
(2)(－2)－3的立方根是________；立方等于－216的数是________；()3＝________.
解析：(1)(－1.44)2的算术平方根，即＝|－1.44|＝1.44；＝9,9的平方根是±3；＝0.2；
(2)∵(－2)－3＝，
∴(－2)－3的立方根是＝－；
∵(－6)3＝－216，∴＝－6；
()3＝()3＝53＝125.
答案：(1)1.44　±3　0.2　(2)－　－6　125

1．对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即中的a≥0；②算术平方根本身是非负数，即≥0.
2．立方根中，()3＝a，＝A．
四、科学记数法、近似数、有效数字
【例4】 第十一届全运会将在美丽的泉城济南召开．奥体中心由体育场，体育馆、游泳馆、网球馆，综合服务楼三组建筑组成，呈“三足鼎立”“东荷西柳”布局．建筑面积约为359 800平方米，请用科学记数法表示建筑面积是(保留三个有效数字)(　　)．
A．35.9×105平方米 B．3.60×105平方米 C．3.59×105平方米 D．35.9×104平方米
解析：359 800＝3.598 00×105，要保留3个有效数字，需对从左边起第四个数字8进行四舍五入，所以3.598 00×105≈3.60×105.
答案：B

1．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑；
2．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即a)的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．
五、非负数性质的应用
【例5】 若实数x，y满足＋(3－y)2＝0，则代数式xy－x2的值为__________．
解析：因为≥0，(3－y)2≥0，
而＋(3－y)2＝0，
所以x－2＝0,3－y＝0，解得x＝2，y＝3，
则xy－x2＝2×3－22＝2.
答案：2

常见的非负数的形式有三种：|a|，(a≥0)，a2，若它们的和为零，则每一个式子都为0.
六、实数的运算
【例6】 计算：(1)4cos 30°sin 60°＋(－2)－1－(－2 008)0；
(2)－1－|－2＋tan 45°|＋(－1.41)0.
解：(1)原式＝4××－－1＝3－－1＝.
(2)原式＝3－|－2＋|＋1＝3－(2－)＋1＝2＋.

提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．
七、实数的大小比较
【例7】 比较2.5，－3，的大小，正确的是(　　)．
A．－3＜2.5＜ B．2.5＜－3＜ C．－3＜＜2.5 D．＜2.5＜－3
解析：由负数小于正数可得－3最小，故只要比较2.5和的大小即可，由2.52＜()2，得2.5＜，
所以－3＜2.5＜.
答案：A

实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任何两数的大小，而“商值比较法”只适用于比较两个正数大小，还有“平方法”“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．

1．(2012江苏南京)下列四个数中，是负数的是(　　)．
A．|－2| B．(－2)2 C．－ D．
2．(2012北京)首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为(　　)．
A．6.011×109 B．60.11×109 C．6.011×1010 D．0.601 1×1011
3．(2012山东烟台)的值是(　　)．
A．4 B．2 C．－2 D．±2
4．(2011安徽)设a＝－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是(　　)．
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
5．(2011山东济宁)下列各式计算正确的是(　　)．
A．＋＝ B．2＋＝2
C．3－＝2 D．＝－
6．(2011四川达州)若＋b2＋2b＋1＝0，则a2＋－|b|＝__________.

1．若|a|＝3，则a的值是(　　)．
A．－3 B．3 C． D．±3
2．下列各组数中，互为相反数的是(　　)．
A．|－5|与－ B．－5与 C．|－5|与 D．|－5|与－
3．在－3，－，－1,0这四个实数中，最大的是(　　)．
A．－3 B．－ C．－1 D．0
4．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为1和，若点A关于点B的对称点为C，则点C所表示的实数是(　　)．

A．2－1 B．1＋ C．2＋ D．2＋1
5.的倒数是________，－的零次幂是________，|3.142－π|＝________，(－2)2的平方根是________．
6．若将三个数－，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．

7．定义a*b＝a2－b，则(1]．
8．如果某个数的平方根是a＋3和2a－15，那么这个数等于__________．
9．若实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|－|a－b|－|－b|.
参考答案
基础自主导学
自主测试
1．B　2.A　3.B　4.D　5.8.5×104 6．C　7.B
8．解：(1)原式＝1＋2＋－2－＝1.
(2)原式＝－20＋2＋3＋2×＝－13.
9．C　由数轴可知：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，故选C.
知能优化训练
中考回顾
1．C　2.C　3.B　4.C　5.C　6.6
模拟预测
1．D　2.D　3.D　4.A 5.　1　3.142－π　±2　6.　7.－2 8．49
9．解：如题图，a＜0，b＜0，|a|＞|b|，
∴a＋b＜0，a－b＜0，－b＞0.
∴|a＋b|－|a－b|－|－b|＝－(a＋b)－[－(a－b)]－(－b)＝－b.