线性代数复习与研究样本.doc

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线性代数复习与研究
第一讲 n阶行列式的定义与性质
一、 本讲要点及目的
要点:
1、 二、 三阶行列式。
2、 排列。
3、 n阶行列式的定义。
4、 n阶行列式的性质
目的: 了解行列式的概念、 掌握行列式的性质
二、 教学过程
复习:
一、 二阶行列式的定义
令

称为二阶行列式
二、 三阶行列式的定义
令

称为三阶行列式
三、 全排列
个不同元素排成一列。
可将 个不同元素按1~ 进行编号, 则 个不同元素的全排列可看成这 个自然数的全排列。
个不同元素的全排列共有 种。
逆序的定义: 取一个排列为标准排列, 其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时, 则称这两个元素构成一个逆序。
一般取从小到大的排列为标准排列, 即 1~ 的全排列中取123 为标准排列。
四、 逆序及逆序数
逆序数的定义: 一个排列的逆序数的总数称为逆序数。
逆序数为偶数称为偶排列, 逆序数为奇数称为奇排列, 标准排列规定为偶排列。
逆序数的计算: 设 为 的一个全排列, 则其逆序数为

其中 为排在 前, 且比 大的数的个数。
五、 阶行列式的定义
n 阶行列式的定义

其中 ① 是 的全排列, ② 是 的逆序数, ③ 是对所有 的全排列求和。
例: ,

六  行列式的性质
转置行列式的定义
设 , 称 为 的转置矩阵。
性质 1  行列式与它的转置行列式相等。
性质 2  行列式互换两行( 列) , 行列式变号。
推论   行列式有两行( 列) 相同, 则此行列式为零。
性质 3  行列式的某一行( 列) 的所有元素乘以数 , 等于用数 乘以该行列式。
推论   行列式的某一行( 列) 所有元素的公因子能够提到行列式符号外。
性质 4  行列式中有两行( 列) 的元素对应成比例, 则此行列式为零。
性质 5  若行列式中某一行( 列) 的元素都是两数之和, 则此行列式等于两个行列式之和。
即若

则

性质 6  把行列式某一行( 列) 的元素乘以数 再加到另一行( 列) 上, 则该行列式不变。
三、 本讲小结
1、 二、 三阶行列式。
2、 排列。
3、 n阶行列式的定义。
4、 n阶行列式的性质

四、 第一讲问题思考
1、 计算3阶行列式

五、 第一讲课后参阅文献:
1、 工程数学线性代数 , 作者: 同济大学数学系, 出版社: 高等教育出版社。

第二讲 行列式的计算
一、 本讲要点及目的
要点:
1、 行列式的按行按列展开定理。
2、 行列式的计算
目的: 掌握行列式的计算
二、 教学过程
复习:
一、 行列式按行( 列) 展开
定义   在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、 第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为 ; 而 称为 的代数余子式。
引理   如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即
, 则 。
定理   行列式等于它的任意一行( 列) 的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即

( 此定理称为行列式按行( 列) 展开定理)
范德蒙德行列式
定理的推论   行列式一行( 列) 的各元素与另一行( 列) 对应各元素的代数余子式乘积之和为零, 即

结合定理及推论, 得

例题:
1、 计算4阶行列式

2、 计算5阶行列式
3、 计算2n阶行列式。
4、 计算n阶行列式
5、 计算n阶行列式
6、 计算n阶行列式
7、 计算n阶行列式
8、 用克拉默法则解线性方程组。
三、 本讲小结
1、 行列式的按行按列展开定理。
2、 行列式的计算
四、 第二讲问题思考
1. , _________________。
2.计算阶行列式

五、 第二讲课后参阅文献:
1、 工程数学线性代数 , 作者: 同济大学数学系, 出版社: 高等教育出版社。

第三讲 矩阵的定义及运算
一、 本讲要点及目的
要点:
1、 矩阵的定义
2、 特殊形式
3、 线性方程组的系数矩阵
4、 矩阵的运算
目的: 了解矩阵的概念和特殊矩阵, 掌握矩阵的运算
二、 教学过程

复习:
一、 矩阵的定义
1、 称 行、 列的数表

为 矩阵 , 或简称为矩阵; 表示为

或简记为 或 或 ; 其中 表示 中第 行, 第 列的元素。
注: 第一章中行列式 为按行列式的运算规则所得到的一个数, 而 矩阵是 个数的整体, 不对这些数作运算。
2、 设 都是 矩阵, 当

则称矩阵 与 相等, 记成 。
二、 特殊形式
阶方阵 : 矩阵
n元行向量: 矩阵( 以后又可叫做行向量) , 记为

n元列向量: 矩阵( 以后又可叫做列向量) , 记为

零矩阵 : 所有元素为 0 的矩阵, 记为
对角阵 : 对角线元素为 , 其余元素为 0 的方阵, 记为

单位阵 : 对角线元素为１, 其余元素为 0 的方阵, 记为

数量矩阵 : 对角线元素全为数k, 其余元素为 0 的方阵, 记为kE
上(下)三角阵
( 反) 对称矩阵
三、 线性方程组的系数矩阵

齐次线性方程组

与系数矩阵

也是一一对应的。
非齐次线性方程组

与 增广矩阵

也是一一对应的。
四、 矩阵的运算
1、 加法
设 , 都是 矩阵, 则 加法 定义为

显然 ① , ②
(3)A+0=0, (4)A+(-A)=0
2、 数乘
设 是数, 是 矩阵, 则 数乘 定义为

 显然
 ① , ② , ③
3、 乘法
1) 、 设 , , 则乘法定义为

其中

,   
注 : 两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数; 乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数, 列数为后一个矩阵的列数; 乘积矩阵的第 行, 第 列元素为前一个矩阵的第 行元素与后一个矩阵的第 行元素对应相乘再相加。
一般 ( 即矩阵乘法不满足交换率) 。
可是下列性质显然成立:
① , ② ,
③ ,
2) 、 几个运算结果:
1 ．

2 ．

3 ．若 为 矩阵, 是 阶单位阵, 则 ; 若 是 阶单位阵, 则 。
4．   线性变换的矩阵表示:
设
,
, , ,
则

5．   线性方程组的矩阵表示:
,
, ,
则

矩阵的 幂:
       , , , 。
4、 转置
设 , 记
则称 是 的转置矩阵。
显然,
① , ② , ③ , ④
对称矩阵的定义: 若矩阵 满足 ( 即 ) , 则称 是对称阵。
例题:
1．设, ,则____________。
2、
3、 设, , 则＝_____________。
4、 设, , 则_______________。
三、 本讲小结
1、 矩阵的定义
2、 特殊形式
3、 线性方程组的系数矩阵
4、 矩阵的运算
四、 第三讲问题思考
1.已知, 求
2.设=, , 求。
3. 设为四阶行列式, 且, 则( )
. . ． .
4.证明: 如果A与B都是n阶反对称矩阵, 那么AB—BA也是反对称矩阵。

五、 第三讲课后参阅文献
1、 工程数学线性代数 , 作者: 同济大学数学系, 出版社: 高等教育出版社。

第四讲、 逆矩阵
一、 本讲要点及目的
要点:
1、 方阵的行列式
2、 逆矩阵
目的: 了解方阵乘积的行列式、 理解逆矩阵的概念、 掌握逆矩阵性质, 掌握矩阵可逆的充分必要条件、 理解伴随矩阵的概念, 会用伴随矩阵求逆矩阵。
二、 教学过程
复习:
一、 方阵的行列式
1、 A为 阶方阵, 其元素构成的 阶行列式称为方阵的行列式, 记为 或 。
显然: ① , ② , ③ 。
2、 设

记
,
其中 是 的代数余子式, 称为 的伴随阵, 。
二、 逆矩阵
1、 设A是n级方阵,E是n级单位矩阵,如果存在矩阵B, 使得AB=BA=E,则称矩阵为可逆矩阵,否则称矩阵为不可逆矩阵。
A的逆矩阵是唯一的, 称为A的逆矩阵,记为A-1.
2、 基本性质
1) 由定义可见,如果B是A的逆,那么,A也是B的逆,即有
公式1 (A-1)-1=A.
2) 设k0,A可逆,由于,故有
公式2 (kA)-1=kA-1
3) 设A可逆,由于故有
公式3
4) 公式4 设和可逆,那么可逆,且.
3、 伴随矩阵
1) 设,Aij是aij的代数余子式,把

称为的伴随矩阵。
2) 性质
3) 如果,則A可逆,且
3) 说明逆矩阵与伴随矩阵有紧密的联系,利用它便可求出一些矩阵的逆矩阵.
4、 可逆矩阵的充分必要条件
定理1设A是n 级方阵, 则A可逆当且仅当。
定理2 设A是n 级方阵, 则A可逆当且仅当存在矩阵B, 使得AB=E或BA=E。
由于故有
推论1 设A是n 级方阵, 则A可逆当且仅当秩( A) =n.
推论2 设A是n 级方阵, 则A可逆当且仅当其行( 列) 向量线性无关。
定理2 设P, Q为可逆矩阵, 则秩( A) =秩( PA) =秩( AQ) =秩( PAQ) 。
例题:
1. 为阶矩阵, , 则=( ) 。
2、 设A、 B均是3阶矩阵, 且│Ａ│=2, │B│=-2, 则│AB-1│=____________。
3、 设A、 B均为n阶方阵, 则 【 】
A. B.
C. D.
4. 设为阶矩阵, 且,则 ____________。
5、 设、 为阶方阵, 则的充要条件是 。
6．一个级矩阵的行( 或列) 向量组线性无关, 则的秩为 。
7. 设、 都是可逆矩阵, 若, 则 。
8. 设, 是的伴随矩阵, 则= 。
9．设矩阵可逆, 且, 则的伴随矩阵的逆矩阵为 。
10、 求矩阵, 使得满足。
11.若阶矩阵满足, 证明可逆, 并求。
12.已知方阵A满足, 试证: A可逆, 并求出

三、 本讲小结
1、 方阵的行列式
2、 逆矩阵
四、 第四讲问题思考
1. 设为阶方阵, 为非零常数, 则( )
. . ． .
2.求矩阵的逆矩阵。
3.设, 给出可逆的充分必要条件, 并在可逆时求其逆．
五、 第四讲课后参阅文献
1、 工程数学线性代数 , 作者: 同济大学数学系, 出版社: 高等教育出版社。

第五讲、 分块矩阵与矩阵的初等变换
一、 本讲要点及目的
要点:
1、 分块矩阵
2、 矩阵的初等变换
目的: 了解分块矩阵、 理解初等矩阵的概念、 了解初等矩阵的初等变换的概念和性质与矩阵等价的概念、 掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵。
二、 教学过程
复习:
一、 分块矩阵
1、 分块矩阵定义
2、 矩阵分块法的运算性质:
1) ．   加法:
设 , ,
则 。
2) ．   数乘:
设 , 是数, 则 。
3) ．   乘法:
设 , , 则
其中 , , , 。
4) ．   转置:
设 , 则 。
5 ) ．对角分块的性质:
       设 , 其中 均为方阵, 则 。
若 可逆, 则 。
3、 几个矩阵分块的应用:
1) ．   矩阵按行分块:
设 , 记 ,
则
矩阵按列分块:
记 ,
则 。
2) ．   线性方程组的表示:
设
若记 , ,
则线性方程组可表示为 。
若记 , 则线性方程组可表示为 或 。
若记 , 则线性方程组可表示为 或 。
3) ．   矩阵相乘的表示:
设 , , 则 。
设 , , 则 , 其中 是 矩阵, 是 , 是 。
4) ．   对角阵与矩阵相乘:
,
。
二、 矩阵的初等变换
定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1．   互换两行;
2．   以数 乘以某一行;
3．   把某一行的 倍加到另一行上。
若将定义中的”行”换成”列”, 则称之为初等列变换, 初等行变换和初等列变换统称为初等变换。
定义 若矩阵 经有限次初等行变换变成矩阵 , 则称 与 行等价, 记 ;
若矩阵 经有限次初等列变换变成矩阵 , 则称 与 列等价, 记 ;
若矩阵 经有限次初等变换变成矩阵 , 则称 与 等价, 记 。
等价关系满足:
1．   反身性: ;
2．   对称性: ;
3．   传递性: 。
对 矩阵 , 总能经若干次初等行变换和初等列变换变成如下形式
       ,   ( 称之为标准形) 。
三、 初等矩阵
定义   单位阵 经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵, 有如下形式:
1 ．
2 ．
3 ．
上述 就是三种初等矩阵。
定理1  设 为 矩阵, 对 作一次初等行变换, 相当于 左乘以一个相应的初等矩阵, 对 作一次初等列变换, 相当于 右乘以一个相应的初等矩阵, 即
  1． , ;
  2． , ;
  3． , 。
所有初等矩阵均为可逆矩阵, 而且其逆阵也是初等矩阵:
, ,
定理2  设 是可逆方阵, 则存在有限个初等矩阵 , 使得

推论   矩阵 存在 阶可逆阵 和 阶可逆阵 , 使得 。
利用初等行变换求可逆阵的逆阵的方法:

上式表明只要对 作初等行变换, 使得 的左边 变成 , 则右边 就变成 。
例题:
1.已知矩阵=, 用矩阵的初等变换求的逆矩阵。
2.已知矩阵=, 用矩阵的初等变换求的逆矩阵。
3、 设A为二阶矩阵, 且∣A∣=5, B为三阶矩阵, 且∣B∣=3, 则
=____________。
4.求解矩阵方程
5. 已知, 证明( 1) ; ( 2) 利用分块矩阵证明, 其中
.

三、 本讲小结
1、 分块矩阵
2、 矩阵的初等变换
四、 第五讲问题思考
1.设, 请用两种方法( 行初等变换, 伴随矩阵) 求 。
五、 第五讲课后参阅文献
1、 工程数学线性代数 , 作者: 同济大学数学系, 出版社: 高等教育出版社。

第六讲、 分块矩阵与矩阵的初等变换
一、 本讲要点及目的
要点:
1、 矩阵的秩
2、 线性方程组的解的判别
目的: 理解矩阵秩的概念、 掌握用初等变换求矩阵的秩、 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的条件。
二教学过程
复习:
一、 矩阵的秩
定义  在 矩阵 中, 任取 行 列的元素, 按原排列组成的 阶行列式, 称之为 的 阶子式。
若 矩阵 中有一个 阶子式 , 而且所有的 阶子式全为零, 则称 为 的最高阶非零子式, 称为 的秩, 记 。
特别, 当 阶方阵 的行列式 , 则 ; 反之, 当 阶方阵 的秩 , 则 。因此 阶方阵可逆的充分必要条件是 ( 满秩) 。
定理  若 , 则 。
二、 线性方程组的解的判别
定理   n元线性方程组
1．   无解
2．   有唯一解
3．   有无穷多解
一些推广:
1．   矩阵方程 有解 。
2．   , 则 。
3．   矩阵方程 只有零解
例题:
1.设=, 已知,求。
2
) ____________________.判断齐次线性方程组是否有非零解?

三、 本讲小结
1、 矩阵的秩
2、 线性方程组的解的判别
四、 第六讲问题思考
1、 设矩阵, 若A的秩为2, 则b=________。
五、 第六讲课后参阅文献
1、 工程数学线性代数 , 作者: 同济大学数学系, 出版社: 高等教育出版社。

第七讲、 向量的线性相关性
一、 本讲要点及目的
要点:
1、 n维向量及其线性相关性
目的: 会用克拉默法则, 理解n维向量, 向量的线性组合、 线性表示、 向量组的线性相关线性无关的概念、 掌握向量的线性相关无关的性质与判别方法。
二、 教学过程
复习;
一、 n维向量及其线性相关性
( 1) n维向量及其运算
( 2) 向量的线性相关性
例题
1．n维向量组, 则下列结论中不正确的是( )
A．包含零向量, 则线性相关
C．线性相关, 则它的部分向量组也线性相关
D．s>n,则线性相关
2.n维向量组, 则下列结论中不正确的是( )
A．任意一组不全为零的数都有, 则
线性无关。
B．中任意两个向量线性无关,则线性无关
C．线性无关, 则它的部分向量组线性无关
D．线性无关当且仅当中任意一个向量都不能用其余向量线性表示
3.n阶方阵A的秩为r<n, 那么A的n个行向量中( )
A．A的任意r个行向量线性无关
B．A的任意r个行向量都构成行向量的极大无关组
C．A的任意一个r阶子式都不等于零
D．A的任意r+1个行向量中必有一个行向量能由其余行向量线性表示, 而且有r个行向量线性无关
4、 设A, B为满足AB=0的任意两个非零矩阵, 试判断:
( 1) A的列向量组是否线性相关? 并说明理由
( 2) B的行向量组是否线性相关? 并说明理由
5、 已知, , , , 若能由线性表示, 但表示方法不唯一, 则应为__________________。
6、 已知, , ; , , 。且向量组,,与,,有相同的秩, 则=_______________。
7、 设, , , 判断是否线性相关? 并说明理由
8、 设向量组, , , , 则向量组,,,的极大线性无关组是________________。
9、 设, , 且, 则__________。
10.设向量可由向量组线性表示, 证明表法唯一的充要条件是线性无关。

三、 本讲小结
1、 n维向量及其线性相关性
四、 第七讲问题思考
1.问下列向量组是否线性相关?
( 1) ( 3, 1, 4) , ( 2, 5, -1) , ( 4, -3, 7) ; ( 2) ( 2, 0, 1) , ( 0, 1, -2) , ( 1, -1, 1)
2.证明: 1) 若向量组线性无关, 则它们的部分向量组也线性无关。
2) 若向量组中部分向量线性相关, 则向量组必线性相关。
3.设在向量组中, 而且每一都不能表成它的前个向量的线性组合, 证明线性无关。
五、 第七讲课后参阅文献
1、 工程数学线性代数 , 作者: 同济大学数学系, 出版社: 高等教育出版社。

第八讲、 向量组的秩
一、 本讲要点及目的
要点:
1、 向量组的秩
2、 向量组的秩和矩阵的秩的关系
目的: 理解向量组的极大无关组和秩的概念, 掌握求向量组的极大无关组和秩的方法
二、 教学过程
复习:
一、 向量组的秩
( 1) 等价的向量组及性质
( 2) 极大无关组与向量组的秩
( 2) 向量组和极大无关组的有关结论。
二、 向量组的秩和矩阵的秩的关系
例题:
1、 设向量组, , , , 则向量组,,,的极大线性无关组是________________。
2、 已知, , ; , , 。且向量组,,与,,有相同的秩, 则=_______________。
3.设矩阵, 求矩阵的列向量组的一个最大无关组。
三、 本讲小结
1、 向量组的秩
2、 向量组的秩和矩阵的秩的关系
四、 第八讲问题思考
1.求向量组, , , , 的极大无关组, 并求出组中其余向量被该极大无关组线性表出的表示式。

五、 第八讲课后参阅文献
1、 工程数学线性代数 , 作者: 同济大学数学系, 出版社: 高等教育出版社。
第九讲、 向量空间
一、 本讲要点及目的
要点:
1、 向量空间的定义
2、 向量空间的简单性质
3、 向量空间的基与维数
4、 基变换与坐标变换公式
5、 子空间
目的: 了解向量空间、 子空间、 基、 维数、 坐标、 基变换与坐标变换公式, 会求过渡矩阵。
二、 教学过程
复习
一、 向量空间
1、 向量空间的定义
设是非空集, 为一个数域, 把V叫P上的线性空间, V中的元素叫向量, 记为, P中的元素叫数量, 记为 k,l,…, 如果
1在中定义了加法:

2在P和之间定义了数乘:
3 若对, 满足:
( 1) , ( 交换律)
( 2) , ( 结合律)
( 3) , ( 零元)
( 4) , ( 负元)
( 5)
( 6)
( 7)
( 8)
2、 简单性质:
（1） 零元素唯一。
（2） 负元唯一。
（3） ( 注意: 这些零那一个是数零, 那一个是零元素) 。
（4） 若。
3、 维数与基
1、 维数: 如果线性空间中有个线性无关的向量, 且任意多个n个向量线性无关, 则称为维线性空间。若在中能够找到任意多个线性无关的向量, 则就为无限维的线性空间。
2、 基: 在维线性空间中, 个线性无关称为的一组基。
定理1 给定向量组, 如果
( 1) 线性无关。
( 2) , 。
那么,是V的基。
如果是V的基, 那么, 。其中的k1, k2,…, k n唯一确定, 称( k1, k2,…, kn) 为在该基下的坐标。
4、 基变换与坐标变换
1) 、 过渡矩阵
定义: 设和是维线性空间中的两组基, 故可由线性表出, 设
… … … …( 1)
即,
把上式叫做基变换公式, 其中称为由基到的过渡矩阵。
过渡矩阵的性质
1 过渡矩阵都可逆, 其逆也成立。
2 如果由第一组基到第二组基过渡矩阵为A, 由第二组基到第三组基过渡矩阵为B, 那么, 由第一组基到第三组基过渡矩阵为AB。
2) 、 坐标变换公式
设在这两组基下的坐标分别为, 即

我们要找的就是与的关系:
注意: ( 1) 中各式的系数( 实际上是第二组向量在下的坐标。由于

故

从而
=或=即为向量坐标变换公式。
5 线性子空间
1、 定义: 数域上线性空间的一个非空子集合称为的一个线性子空间, 如果对于的两种运算也构成数域上的线性空间。
2、 线性空间的非空子集合对于的两种运算能构成线性子空间中的元正确两种代数运算是封闭的。
3、 分类: 的子空间
4、 齐次线性方程组的解集作成Fn的子空间, 称为方程组的解空间; 如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r, 那么它的解空间的维数等于n-r; 齐次线性方程组的解空间的一个基称为方程组的一个基础解系;
例题:

2、 实数域R上的二元数列全体所构成的集合

定义加法与数量乘法如下:

判断V是否构成R上向量空间? 并说明理由
3、 齐次线性方程组

的解空间的维数为_________________。
4.判断中的子集是否为子空间。
5. 判断中的子集是否为子空间。
6、 中两组基为:
＝(1,0,1), ＝(0,1,0), ＝(1,2,2);
＝(0,0,1), ＝(0,1,1), ＝(1,1,1)。
( 1) 求由基,,到基,,的过渡矩阵;
( 2) 求＝(1,3,0)在基,,下的坐标。
7.中的两向量组 ,
( 1) 证明它们都是的基, ( 2) 并求第一个基到第二个基的过渡矩阵,
( 3) 如果在基下的坐标为( 3, 1, 2) , 求在基下的坐标
8．设在标准欧几里得空间中有向量组,
, , 求的一个基与维数。
三、 本讲小结
1、 向量空间的定义
2、 向量空间的简单性质
3、 向量空间的基与维数
4、 基变换与坐标变换公式
5、 子空间
四、 第九讲问题思考
1、 实数域R上的二元数列全体所构成的集合

定义加法与数量乘法如下:

判断V是否构成R上向量空间? 并说明理由
2.判断中的子集是否为子空间。
3.已知向量组=(1,1,0,-1), =(1,2,3,4), =(1,2,1,1), =(2,4,2,2), 试求它们的生成子空间(, , , )的维数和一个基
4.设中的两个基分别为,, ( 1) 求由基的过渡矩阵。
( 2) 已知向量在基下的坐标为, 求在基下的坐标
五、 第九讲课后参阅文献
1、 工程数学线性代数 , 作者: 同济大学数学系, 出版社: 高等教育出版社。

第十讲、 向量的内积
一、 本讲要点及目的
要点:
1、 向量的内积
2、 正交矩阵
目的: 了解向量的内积, 理解正交基正交矩阵的概念和它们的性质, 掌握线性无关向量组正交化的方法。
二、 教学内容
复习:
一、 向量的内积
1、 定义   设 维向量

称

为向量 的内积。
2、 称

为向量 的长度, 特别, 当 时, 称 为单位向量。
称

为向量 与 的夹角; 特别, , 当 ( 即 ) 时, 称向量 与 正交。
3、 以上定义的概念有如下性质:
1) ．
2 ) ．
3 ) ．
4 ) ． , ( )
5 ) ．
6 ) ．
7 ) ．
4、 称一组两两正交的非零向量为正交向量组。
定理   设 是正交向量组, 则 线性无关。
5、 定义   设 是向量空间, 是 的一组基, 且 是正交向量组, 则称 是 的一组正交基。如果 既是 的一组正交基, 又是单位向量, 则称 是规范正交基或单位正交基。
6、 正交基的求法( 施密特正交化公式) :
设 是向量空间, 是 的一组基, 则
,
,

是 的一组正交基。
如果取

则 是规范正交基。
三、 正交矩阵
1 ．定义 是 阶方阵, 而且 ( 即 ) , 称 为正交阵。
2、 正交阵的性质:  
1、 为正交阵 的列( 行) 是两两正交的单位向量。
2、 设 是正交矩阵, 则 ,
从而 及 。
3、 的行列等于或;
4、 的特征根的模等于;
5、 的伴随矩阵*也是正交矩阵。
例题:
1、 求齐次线性方程组的解空间的规范正交基.
2、 已知, , 是的一个基, 求的一个规范正交基。
3.设是三维欧氏空间的一个规范正交基, 试证:
也是的一个规范正交基。
4. 在 。

三、 本讲小结
1、 向量的内积
2、 正交矩阵
四、 第十讲问题思考
1、 已知, , 是的一个基, 求的一个规范正交基。
2. 已知为正交矩阵, 求的值.

五、 第十讲课后参阅文献
1、 工程数学线性代数 , 作者: 同济大学数学系, 出版社: 高等教育出版社。

第十一讲、 齐次线性方程组解的结构
一、 本讲要点及目的
要点:
1、 克拉默法则
2、 齐次线性方程组解的结构
目的: 会用克拉默法则, 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、 齐次线性方程组的基础解系, 通解, 解空间的概念, 会求齐次线性方程组的基础解系, 通解。
二、 教学过程
复习:
一、 克拉默法则
定理( 克拉默法则)
设线性方程组的系数行列式
则上述线性方程组有唯一解:
, 其中

当 全为零时, 即

称之为齐次线性方程组。显然, 齐次线性方程组必定有( ) 。根据克拉默法则, 有
1．   齐次线性方程组的系数行列式 时, 则它只有零解( 没有非零解)
2．   反之, 齐次线性方程组有非零解, 则它的系数行列式 。
二、 齐次线性方程组解的结构
例题:
1、 已知Ａ＝, Ｘ＝, 线性方程组AX=2X的解为?
2、 用克拉默法则解线性方程组。
3.求齐次线性方程组 的基础解系。
4.求齐次线性方程组的通解
5、 方程组 只有零解, 则应满足 【 】
A. B. C. D.
三、 本讲小结
1、 克拉默法则
2、 齐次线性方程组解的结构
四、 第十一讲问题思考
1.求齐次线性方程组的通解。
五、 第十一讲课后参阅文献
1、 工程数学线性代数 , 作者: 同济大学数学系, 出版社: 高等教育出版社。

第十二讲、 非齐次线性方程组解的结构
一、 本讲要点及目的
要点:
非齐次线性方程组解的结构
目的: 理解非齐次线性方程组有非零解的充分必要条件, 齐次线性方程组解的结构, 通解, 的概念, 会初等变法求非齐次线性方程组的通解。
二、 教学过程
复习:
非齐次线性方程组解的结构
例题:
1、 求非齐次线性方程组的通解
2、 当为何值时, 下列线性方程组无解, 有解? 在有解时求出其解。

3.求, 使方程组无解。

5、 m个方程n个未知数的线性方程组若有解, 则当m<n时必有无穷多解。【 】
6、 设A是mn矩阵, AX=0是非齐次线性方程组AX=b所对应的齐次线性方程组, 则下列结论正确的是 【 】
A.若AX=O仅有零解, 则AX=b有惟一解
B.若AX=O有非零解, 则AX=b有无穷多个解
C.若AX=b有无穷多个解, 则AX=O仅有零解
D.若AX=b有无穷多个解, 则AX=O有非零解
7.设是非齐次线性方程组的个解, ,,…,为实数, 且, 证明也是它的解。
8. 设是非齐次线性方程组的一个解, 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: , 线性无关。
三、 本讲小结
非齐次线性方程组解的结构
四、 第十二讲问题思考
1.求非齐次线性方程组的通解。
五、 第十二讲课后参阅文献
1、 工程数学线性代数 , 作者: 同济大学数学系, 出版社: 高等教育出版社。

第十三讲、 矩阵的特征值与特征向量
一、 本讲要点及目的
要点:
1、 矩阵的特征值和特征向量
2、 矩阵的特征值和特征向量的求法
目的: 理解矩阵特征值和特征向量的概念, 会求矩阵的特征值与特征向量。
二、 教学内容
( 1) 矩阵的特征值和特征向量
( 2) 矩阵的特征值和特征向量的求法
例题:
1.求的特征值。

3、 若A有特征值, |A|0,, ,则A*+ 必有特征值__________。
4.求矩阵的特征值和相应的特征向量。
5. 设0是矩阵的特征值, 求( 1) ; ( 2) 的另一个特征值.

三、 本讲小结
1、 矩阵的特征值和特征向量
2、 矩阵的特征值和特征向量的求法
四、 第十三讲问题思考
1.求的特征值和相应的特征向量。
五、 第十三讲课后参阅文献
1、 工程数学线性代数 , 作者: 同济大学数学系, 出版社: 高等教育出版社。

第十四讲、 矩阵对角化
一、 本讲要点及目的
要点:
1、 相似矩阵及其性质
2、 矩阵可对角化的条件
3、 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
4、 实对称矩阵的相似对角化
二、 教学内容
复习:
一、 矩阵的相似对角化
( 1) 相似矩阵及其性质
( 2) 矩阵可对角化的条件
二、 实对称矩阵的相似对角化
( 1) 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
( 2) 实对称矩阵的相似对角化
例题:
1.设, 用初等变换求一可逆矩阵是对角形式。
2.设, 求一个正交矩阵为对角形矩阵。
3、 给定数域R上的3阶方阵A=判断A是否可对角化。
4.设矩阵与相似, 求
5、 已知, 求。
三、 本讲小结
1、 相似矩阵及其性质
2、 矩阵可对角化的条件
3、 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
4、 实对称矩阵的相似对角化
四、 第十四讲问题思考
1.设,求可逆矩阵, 使是对角形矩阵。
2.设, 求一个正交矩阵为对角形矩阵

4、 A=为对称矩阵, 求A10。
五、 第十四讲课后参阅文献
1、 工程数学线性代数 , 作者: 同济大学数学系, 出版社: 高等教育出版社。

第十五讲、 二次型及矩阵表示
一、 本讲要点及目的
要点:
1、 二次型及矩阵表示
2、 二次型的线性替换
3、 初等变换法化二次型为标准形
目的: 理解二次二次型及矩阵表示、 二次型的秩了解合同变与合同矩阵、 二次型的标准形, 掌握初等变换法化二次型为标准形。
二、 教学内容
复习:
一、 二次型及矩阵表示
二、 二次型的线性替换
三、 初等变换法化二次型为标准形
例题:
1.二次型的矩阵是____________.
2. 已知二次型, 求该二次型的秩。
3. 已知二次型的秩为2求参数c。
4.用可逆线性变换化二次型为标准形。
三、 本讲小结
1、 二次型及矩阵表示
2、 二次型的线性替换
3、 初等变换法化二次型为标准形
四、 第十五讲问题思考
1.用可逆线性替换把二次型化为只含有平方项的标准形。

五、 第十五讲课后参阅文献
1、 工程数学线性代数 , 作者: 同济大学数学系, 出版社: 高等教育出版社。

第十六讲、 化二次型为标准型
一、 本讲要点及目的
要点:
1、 二次型的规范形的概念
2、 正交变换法、 配方法化二次型为标准型
目的: 了解二次型的规范形的概念。掌握用正交变换法、 配方法化二次型为标准型。
二、 教学内容
1、 正交变换法、 配方法化二次型为标准型
2、 二次型的规范形的概念
3、 实二次型的规范形
例题:
1. 设阶实对称矩阵的特征值中有个为正值, 有为负值, 则的正惯性指数和负惯性指数是 。

2．求正交矩阵P, 将二次型
f(x1, x2, x3) = -x12-x22-x32+4x1x2+4x1x3-4x2x3
化为标准形并写出此标准形。
3. 用配方法将二次型

化为标准形, 而且写出非退化线性