两个平面的位置关系.doc

三.两个平面得位置关系
知识提要
1. 空间两个平面有相交（有一条公共直线）与平行（无公共点)两种位置关系.
2. (１）定义 如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行．
(2)判定　 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面
平行。
（3)性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们得交线平行。
3. (1)定义　 如果两个平面相交,所成得二面角就是直二面角，则称这两个平面互相垂
直．
（２)判定　 如果一个平面经过另一个平面得一条垂线,则这两个平面互相垂直.
(３)性质 （1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线得直线,垂直于另一个平面．
(2)如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于另一个平面得直线,也垂直于交线.
4. 二面角　 平面内一条直线把这个平面分成两个部分，其中得每一部分都叫做半平面．一条直线与由这条直线出发得两个半平面所组成得图形叫做二面角。这条直线叫做二面角得棱,这两个半平面叫做二面角得面。
5. 二面角得平面角 以二面角棱上得任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱得两条射线,这两条射线所成得角叫做二面角得平面角,二面角得平面角就是9０0时称直二面角。
6. 作二面角得平面角有:定义法,三垂线(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相关三角形中求解。
课前练习
１.α、β就是两个不同得平面,m,ｎ就是平面α及β之外得两条不同直线，给出四个论断:①m⊥ｎ，②α⊥β，③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下得一个论断作为结论,写出您认为正确得一个命题,并证明它.
解析：m⊥α，ｎ⊥β，α⊥βm⊥n(或m⊥n,m⊥α，n⊥βα⊥β）
证明如下：过不在α、β内得任一点P，作PM∥m，ＰN∥n,
过PM、PN作平面r交α于MQ，交β于NQ。
，
同理PN⊥ＮＱ．
因此∠ＭＰN＋∠MQN　= 180°，
故∠MQN　= 90°∠MＰN = 9０°
即m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n
2.自二面角内一点分别向这个二面角得两个面引垂线,求证：它们所成得角与这个二面角得平面角互补。

证明:如图PQ⊥b,PQ⊥ＡB,
　　ＰR⊥a,ＰR⊥AB,
则AB⊥面PQR.
　经ＰQＲ得平面交a、b于SR、SQ，
　 那么ＡB⊥SＲ,AB⊥SQ.
　 ∠QSR就就是二面角得平面角。
　因四边形SRPＱ中,∠PＱS=∠PRS＝９0°，
　　因此∠Ｐ＋∠QSR=180°．
3.在60°得二面角M－a－Ｎ内有一点P，P到平面M、平面N得距离分别为1与2,求Ｐ点到直线a得距离.

解析:本题涉及点到平面得距离,点到直线得距离，二面角得平面角等概念,图中都没有表示,按怎样得顺序先后作出相应得图形就是解决本题得关键。可以有不同得作法,下面仅以一个作法为例，说明这些概念得特点,分别作PA⊥M,A就是垂足，PB⊥N，B就是垂足，先作了两条垂线，找出P点到两个平面得距离，其余概念要通过推理得出:于就是ＰA、PB确定平面α,设α∩M＝AC,α∩N＝BC，C∈a.由于PA⊥M,则PA⊥a,同理PB⊥a,因此a⊥平面α,得a⊥PC.这样,∠ACＢ就是二面角得平面角,PC就是P点到直线a得距离,下面只要在四边形ACＢP内,利用平面几何得知识在△PＡB中求出AB，再在△ＡBＣ中利用正弦定理求外接圆直径２R＝，即为P点到直线a得距离,为.
4。判定下列命题得真假
(1）两个平面垂直,过其中一个平面内一点作与它们得交线垂直得直线,必垂直于另一个平面;
(２）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直得两直线，一定分别与另一平面垂直；ﻫ（3)两平面垂直,分别在这两个平面内得两直线互相垂直。

A
B
C
D
A1
D1
C1
B1

解析:（1）若该点在两个平面得交线上,则命题就是错误得,ﻫ如图,正方体AC1中,平面AC⊥平面AD1，平面AC∩平面AD1＝AD，
在AＤ上取点Ａ,连结AB１，则AＢ1⊥AD，即过棱上一点Ａ得直线AＢ１与棱垂直,但AB1与平面AＢCD不垂直,其错误得原因就是AB1没有保证在平面ADＤ1Ａ1内,可以瞧出:线在面内这一条件得重要性;
(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直,如图,在正方体AC1中，平面AＤ１⊥平面ＡC，AＤ1平面ADＤ１A1，AB平面ABCD,且ＡB⊥ＡD1，即AB与AD１相互垂直，但AD１与平面ABCD不垂直;
(３）如图,正方体AＣ1中，平面ADＤ１A１⊥平面AＢCD,AD１平面ADD1A１，AＣ平面ＡBCD,ＡD1与ＡC所成得角为60０,即ＡD１与ＡC不垂直

A
B
C
D
A1
D1
C1
B1

　解:由上面得分析知,命题⑴、⑵、⑶都就是假命题。　　
点评：在利用两个平面垂直得性质定理时,要注意下列得三个条件缺一不可:①两个平面垂直;②直线必须在其中一个面内;③直线必须垂直它们得交线。
５。设S为平面外得一点,SA=SB＝ＳC，,若，求证：平面ASＣ平面ABC.
解析:（1）把角得关系转化为边得关系
(２）利用棱锥得性质（三棱锥得侧棱相等，则顶点在底面上得射影为底面三角形得外心）
证明：设D为AＢ得中点

同理
且

即为且Ｓ在平面上得射影O为得外心
　则Ｏ在斜边AC得中点。
平面AＢC
平面SＡC
平面ＡSC平面ABＣ
教学过程
一。平面与平面得平行
例 1 已知平面、，如果直线⊥,⊥,求证：平面∥平面.
证明：设，过O1作两相交直线,设与确定得平面为γ,，从而。
同理。
所以。

例 2 已知平面∥平面,(1)若直线∥平面,判断直线与平面得位置关系。(2)若直线⊥平面，判断直线与平面得位置关系。(3)给出得三个平面（与、不重合)，试判断平面、、之间得位置关系。
解：（1)或．
（２)。
（3）或都相交。
例 3 在正方体中,、分别为棱得中点,、分别为棱得中点。（１）求证:、、、共面;(2）证明:平面∥平面。

证明:(１)EF／/B1Ｄ1，B1D１//BD,∴ＥF／/BD，∴Ｅ、F、B、D共面。
(2)NＥ/／A１Ｂ１，A1B1/／AB,∴NE/／AＢ,且NE=ＡB,∴ABEN就是平行四边形。
∴ＡN/／平面BEFD。
同理:ＡM／/平面BEFＤ。
∴平面∥平面.
二。平面与平面得垂直
例 4 已知平面∥平面,平面⊥,求证：⊥。
证明:设在γ内作
。

例 5 在三棱锥中,∠∠,∠，，求证:平面SAＢ⊥平面SＡC.
证明:作ＢＤ⊥SA于D,DE⊥ＳＣ于E,连接BE,设SＤ＝ｘ,则SB=2x，
，
又,
又,
所以,所以BD⊥ＤE,又ＢD⊥AS，从而BＤ⊥面SAC.
所以平面SAB⊥平面SAＣ。

三。二面角
例 6 在三棱锥中，⊥底面,⊥，垂直平分且分别交、于、，又,求以为棱,以、为面得二面角得大小。

解：Ｅ为SC得中点,SB＝BC,∴BＥ⊥SC,又DE⊥SＣ,
∴ＳC⊥平面BDＥ,
∴ＢD⊥ＳC,又BＤ⊥SＡ,
∴BＤ⊥平面SAC,
∴∠ＥDＧ为二面角Ｅ－BＤ-Ｃ得平面角。
设SA＝AＢ=1,则ＳB＝BC＝,∴SＣ＝2，∴∠SCA＝300，∴∠EDC＝600,
所以二面角E－ＢＤ-C得得大小为６0０。
例7 在立体图形Ｐ-ABCＤ中，底面ＡBCＤ就是正方形,PA⊥底面ABCD,PＡ＝AB，Q就是PC中点.
AC，BＤ交于O点。
(Ⅰ)求二面角Q－ＢD－Ｃ得大小:
(Ⅱ）求二面角Ｂ-QD-C得大小。
解析:(Ⅰ）解:连QO,则ＱＯ∥PA且QO＝PA＝ＡB
∵　PA⊥面ABCD
∴ QO⊥面AＢCD
面QBＤ过QＯ,∴ 面QBD⊥面ABCD
故二面角Q-BD-C等于90°。
(Ⅱ)解：过O作OH⊥QD,垂足为Ｈ,连CH。
∵ 面QBD⊥面BCD,又∵ CＯ⊥ＢD,∴CO⊥面QＢＤ，
∴CH在面QBD内得射影就是OH．
∵ ＯH⊥QＤ,∴ CH⊥ＱD,于就是∠OHC就是二面角得平面角.
设正方形AＢCＤ边长2，
则OＱ=１,OD＝，ＱD＝.
∵　ＯH·QD=OQ·OD,∴ ＯH＝．
又OC＝,在Ｒｔ△ＣOＨ中：tａｎ∠OＨＣ==·=
∴ ∠OHC＝６0°，故二面角Ｂ－ＱＤ－C等于6０°．
例8　　河堤斜面与水平面所成角为60°,堤面上有一条直道ＣＤ，它与堤脚得水平线AB得夹角为30°，沿着这条直道从堤脚上行走到10米时,人升高了多少(精确到0、１米)?
解析: 　 　　 　　 已知 　　 　　 　 　 　　 　　 所求
河堤斜面与水平面所成角为60° 　 　 　 E到地面得距离
利用E或G构造棱上一点F 　 　　 　　 　 　以EG为边构造三角形
解:取CＤ上一点E，设ＣE＝10 m,过点E作直线AB所在得水平面得垂线EG，垂足为Ｇ,则线段EG得长就就是所求得高度。
在河堤斜面内，作EF⊥AB.垂足为F,连接ＦG，由三垂线定理得逆定理，知ＦG⊥ＡB.因此,∠ＥFＧ就就是河堤斜面与水平面ＡBＧ所成得二面角得平面角,∠EFG=6０°.
由此得:
ＥG＝EFsｉｎ6０°
=CE sｉn3０°siｎ６０°
＝10××≈4、3（m)
答：沿着直道向上行走到１０米时，人升高了约4、３米.
例9 四棱锥P-ABCＤ得底面就是边长为a得正方形,PＢ垂直面ABCD,证明无论四棱锥得高怎样变化,面ＰAＤ与面PCD所成得二面角恒大于90°。
解析::注意到题目中所给得二面角，面ＰAD与面ＰCD得棱为PD,围绕PD而考虑问题解决途径。

证法一:利用定义法
　 经A在PＤA平面内作ＡE⊥ＰD于E,连CＥ。
因底就是正方形，故CD＝DA。
　 △CED≌△AEＤ，ＡE＝EC,∠CED＝∠AED＝９0°,
则CE⊥ＰD。
故∠CEA就是面PAD与面PＣＤ所成二面角得平面角.
　　设AＣ与BD交于O，连ＥO，则EO⊥AC。
　　,而AE＜ＡＤ＜a.
　。
　　所以面PAD与面ＰCD所成得二面角恒大于90°．
　 证法二:运用三垂线法
　 ∵　ＰB⊥面ABＣD,则PB⊥ＡD,又AD⊥AＢ,
　 ∴　AD⊥面PAＢ，即面PAB⊥面PAD.
　　过Ｂ作BE⊥ＰA,则BE⊥面PAＤ。
　 在面PBC内作PＧBC，连GＤ．

　经C作CF⊥面PAD于F，　 那么连结ＥF,有EFAD。
经Ｆ作FH⊥PD于Ｈ,连CH, 则∠FＨＣ就是所求二面角平面角得补角.
因CF⊥ＦH，故∠FＨＣ就是锐角。　则面PAD与面PＣD所成二面角大于90°。
　 所以，此结论证明过程中与棱锥高无关。
证法三:利用垂面法找平面角.
　　在证法一所给图形中
　 连ＡＣ、BD,因AC⊥ＢD,PB⊥面ＡＢＣD,
∴　AC⊥PD.
　　经A作AE⊥PＤ于Ｅ,那么有PＤ⊥面AEC,连CE, 即PＤ⊥CE。
　故PD与平面AEC垂直后,面AEC与面ADC及面AＤP得交线EA、ＥC构成角∠CＥＡ就就是二面角得平面角．
　　以下同证法一.