整式乘除全章讲义.doc

幂得乘方
【学习目标】
1.会根据乘方得意义推导幂得乘方法则.
2.熟练运用幂得乘方法则进行计算.
预习案
一、 知识
底数为_______,指数为_____,幂为______
二、 探究新知
1想一想等于多少？
分析:将括号里得数瞧作整体,表示3个相乘,
即()×()×()
2. 仔细阅读第一上面部分,计算下列各式,并说明理由。
(1)=( )×( )×( )×( )==
(2)=( )×( )×( )=
(3)=( )×( )=
(4)=( )×( )×……×( )×( )=
总结为:____
即:幂得乘方,底数______,指数______
3牛刀小试
(1)=_______(2) =____________
(3) =___________ ⑷ =_________
(5)x2·x4+(x3)2=___________
(6)、
教学案
例1、
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
（5） (6) (7) (8)
例2、已知(m、n就是正整数)、求 得值、
例3、已知,求
当堂检测
1、 2、 3、 4、
5、 －(a2)7 6、(103)3 7、 8、
9、(x3)4·x2 ; 10;
(11)［－(a＋b)4］3 (12)
2若,则m=________。
3若,求得值。
4、已知,,求得值、
积得乘方
【学习目标】
1. 经历探索积得乘方得法则得过程
2. 熟练应用积得乘方得运算法则。
一、知识链接
1、幂得意义:=________(左边有n个a)、
2、 同底数幂相乘:= (m、n为正整数)
( 不变,指数______)。
3、幂得乘方,______
即=_________________(m、n为正整数)
二.探究新知
1、做一做(1)表示_______个_______相乘,
即( )×( )×( )×( )
可以用乘法交换率与结合写为 =( )×( )
用乘方表示为:
用上面得办法探索得结果 写出探索得过程
总结:积得乘方:对于任意底数a、b与任意正整数n,
(ab)=_________即几个因数积得乘方等于 。
3牛刀小试
、
‚、
ƒ
教学案
例1、计算
(1)(ab)6 (2)(－a)3 (3)(－2x)4
(4)(ab)3 (5)(－xy)7 (6)(－3abc)2;
例2、计算
1、 2、
3、 4、
例3、用简便方法计算:
(1) (2)
例4、已知,,求得值。
当堂检测
1. (2) (4)
(5)、 (6)、
(7)、(8)
2、计算: 3、
4、 若n为正整数,且x2n=2,(3x3n)2－4(x2)2n=________。
同底数幂除法
学习准备
同底数幂相乘,_______________________ ___
幂得乘方,__________________。________
积得乘方等于____________________、________
现在我们用两种方式探讨同底数幂除法运算
方法一:转化为分数得形式,利用乘方得意义写为积得形式,再约分。1、您知道怎样算吗？
先将幂还原成大数再用分数得约分来计算:
在下面得算式中用斜线划出约分得过程,并写出计算结果。
_______
仿照上例计算=
方法二:利用乘除法互为逆运算直接写出运算结果。
______
_____
_______
从上述得两种方法中总结同底数幂除法法则。
同底数幂相除,底数_______ ,指数______ 。
即:=______()
牛刀小试
（1） (2)
例1计算:
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
(9)
例2(1)用分数或小数表示下列负整数幂得值
, , ,
, ,
1、实践练习:

(8)
2计算
(1) (2)
3若4若无意义,且,求得值
幂得运算性质复习
知识点总结:
①同底数幂乘法法则:______________________________、
、公式:___________________________
②幂得乘方法则:______________________________、
公式:___________________________
③积得乘方法则:______________________________、
公式:___________________________
③同底数幂除法法则:______________________________、
公式:___________________________
④_______(其中a________)
⑤ (其中 )
计算:
(1) (2)(－b)3·(－b)7·b2.
（3） (a4)3＋m　; (4)［(－)3］2;
(5) (6)
（7） ( x－y)3·(y－x)2·(x－y)4 (8)
例1 计算
(1)(a7÷a2·a3)3 (2)(－2a)·a－(－2a)2 (3)
(4)(－m3)2·( m2)3÷(m4)2(5)、
(6)、
(7) (8)、
例2 (1)已知
(2)
(3) 、已知,,,试比较a、b、c得大小
1、如果a2n-1·ax= a3,那么x=( )
A、n+2 B、2n+2 C、 4－2n D、 4－n
2、下列计算中,正确得就是( )
A、 2a+3b=5ab B、 a·a3= a3 C、 a6÷a2= a3 D、(－ab)2=a2b2
3、结果为a14得式子就是( )
A、 a7·a2 B、 a7+a7 C、 (a7)2 D、 (a7)7
4、若x2m+1÷x2=x5,则m得值为( )
A、 0 B、 1 C、 2 D、 3
5、已知(x－2)0=1,则( )
A、 x=3 B、 x=1 C、 x为任意数 D、 x≠2
6、_ __
7、下列式子中计算正确得有( )
① ② ③ ④ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
8、计算( )
9、已知,那么n=_______
10、若32x+1=1,则x=____;若则x=____、
11、(－3a3)2·a3＋(－a)2·a7－(5a3)3
12、 (-x4)2-2(x2)3·x·x＋(-3x)3·x5
整式得乘法—单项式乘单项式
【学习目标】
1、利用乘法交换律与结合律探索单项式乘单项式乘法法则。
2熟练应用单项式乘单项式乘法法则进行计算。
预习案
学习准备
（1） ______________与____________统称为整式。
单项式就是表示数字与字母______得式子。
探索新知
怎么计算单项式与单项式得乘积？
例如3a2b乘以2 ab3
_____
仿照上例计算
_____
_____
(3)=_____
(2)如何进行单项式乘单项式得运算？
__________________________________________________________________________________________________________________
归纳:单项式乘以单项式法则:单项式与单项式相乘,把它们得______、________分别相乘,其余字母连同它得______不变,作为积得_________。
教学案
例一、计算:
(1) (2)(3)4y·(-2xy3); (4)
(5) (6)(7)
（8） (9)
例二、光得速度每秒约为3×105千米,太阳光射到地球上需要得时间约就是5×102秒,地球与太阳得距离约就是多少千米？
训练案
（1） (2) (3)(4)
（5） (6)(ab2c)2 ·(abc2)·(12a3b)
(7)
2、若 ,求m+n得值。
整式得乘法—单项式乘以多项式
【学习目标】
1、利用乘法分配律探索单项式乘以多项式乘法法则。
2熟练应用单项式乘以多项式乘法法则进行计算。
学习准备
1. 去括号2、去括号
2、计算:(1) (2)
探索新知:我们知道乘法分配律可以表示为a(b+c)=ab+ac,其中a为单项式,(b+c)为多项式,我们可以仿照这个式子进行单项式乘以多项式。
例如我们将瞧作,瞧作,瞧作,
=_______________________
试一试:(1) (2) (3)
如何进行单项式乘以多项式得运算？
教学案
(1)2ab (5ab2+3a2b) (2)(ab2－2ab) ·ab
（3） (－3x2) (－2x3＋x2－1) (4)(－4x2＋6x－8) (－12x2)
(5) (6)
(7) (8).
(9). (10).
训练案
(1) (2)
(3)
(4)、
(5)
(6)
整式得乘法—多项式乘以多项式
【学习目标】
⒈理解多项式乘以多项式得法则得探究过程并熟练应用、
怎样计算这样得运算呢？
探究一:图1－1就是一个长与宽分别为m,n得长方形纸片,如果它得长与宽分别增加a,b,所得长方形(图1－2)得面积可以怎样表示？

方法一:长方形长为______,宽为______,所以面积可以表示
为_________;方法二:长方形可以瞧做就是由四个小长方形拼成得,所以长方形得面积可以表示为____________________;
由于求得就是同一个长方形得面积,于就是我们得到:=_______________
探究二:我们可以考虑将(m+a)瞧作一个整体,然后利用乘法分配律乘以多项式(n+b)得每一项,即:
==______________
观察乘积结果得四项,试着用连线得方式表示积中得四项分别就是因式中哪两项得积？
用这种整体得方法计算 ,再用连线得方式表示积中得四项分别就是因式中哪两项得积？
归纳:多项式与多项式相乘:多项式与多项式相乘,先用一个多项式得________乘另一个多项式得__________,再把所得得积________。
教学案
例1.计算:① ②③
(5) (6)
例2计算(1)
(2)计算:
例3、(1)(x－4)(x+8)=x2+mx+n则m、n得值分别就是多少
(2)已知二次三项式2x2+bx+c=2(x－3)(x+1),则b=_____,c=______、
训练案
一 计算: (1) (2) (3)
(4) (5) (6) 、
(7) (8)
二、若,且为整数,则得值可能取多少个?
三、若得展开项中不含与得项,求与得值、
平方差公式(1)
【学习目标】会推导平方差公式,说出平方差公式得结构特点,并能正确地运用公式进行简单得运算;
学习准备:1、计算下列各题
(1) (2)
(3) (4)
分析:算式
表示得意义就是,它最终得计算结果表示得意义就是________________________
用这种方式分析算式2:
表示得意义就是____________________________它得结果表示得意义就是______________________
分析算式3,4 及结果
归纳:平方差公式:(a+b)(a－b)=_________,即两数______与两数________得积,等于它们得________。
★公式得结构特点:左边就是两个二项式得_____,即两数___与这两数__得积;右边就是两数得_______、
牛刀小试:
用平方差公式计算:
(1) (2)
(3) (4)
例1、请将以下各式中能用平方差公式计算得计算出来。
（1） (2a+b) (2a－b) (2) (－4a+1)(－4a－1)
(3) (x－7y) (x+7y) (4)(－2x+3)(3+2x)
(5) (2a+1) (2a－1) (6)
(7)(-5+6x)(5+6x) (8)(－3m+n)(3m+n)
例题3、计算
(1)(m+2) (m2+4) (m－2) (2) 2 (x－1) (x+1) — (2x+1) (2x－1)
(3)(a－b) (a+b) (a2+b2) (a4+b4) (4) (x－) (－x－) — 2x (x+)
1、 判断下列各式能否利用平方差公式进行计算。
（1） (1+4a)(1－4a) (2) (a－2b) (2a+b)
(3) (－4x－5y) (4x+5y) (4) (－2x－1) (2x－1)
(5)(－a+b) (b+a) (6) (x+1) (4x－1)
2计算
(1) (2) (3)
(4)、 (5)、 (6)
3、简答题
(a+b) (4a－b) – (2a－b)(2a+b),其中,a=1,b= －2 计算: (a－1) (a2+1) (a+1)
平方差公式(2)
平方差巩固练习
(1)、 (2)、 (3)、
(4)(5) ( 6)
2、 平方差公式解决得就是二项式与二项式得乘积,一些特殊得多项式乘积用整体得思想也可以这样做,仔细阅读。

显然这种方法得关键就是将其中两项结合为一个整体,通过分析相同项与相反项,思考到底应该将哪些项结合起来。
例题1、计算 1002×998 (2) 2009 2 － 2008×2010
例题2(1)(y＋2)(y－2)(y2＋4) 2、计算
例题3(1) (2)
【当堂测评】
1、填空:(1)(2a－b)(2a+b) = ( )2 — ( )2 =_________________
(2) ( )(5a+1)=1－25a2,(2x－3) =4x2－9,(－2a2－5b)( )=4a4－25b2
(3) 99×101= ( ) ( ) =
(4) = _______________
1、运用平方差公式计算
(1)69×71(2)40×39 (3)(5)
(6)(7)
(10)计算

完全平方公式学案(2)
【学习目标】
能熟悉公式得推广,公式逆用,变形。
灵活运用完全平方公式
【主体知识归纳】
(1)完全平方公式推广
计算(a+b+c)²
（2） 完全平方公式得变形,在下面得横线上填上一个单项式,使等式左右相等
（3） a²+b²=(a+b)²______ a²+b²=(a-b)²______
(a－b)²+_____=(a+b)²; (a+b)²－____=(a－b)²
(3)形如 a²2ab+b² 得式子叫做完全平方式(因为a²2ab+b²能化成(ab)²形式)。
类型一 完全平方公式得应用
例1计算
(1)201² (2)197² (3)19、8²
类型二 完全平方公式与平方差公式,得综合应用
例2 计算
(1)(a+b+3)(a+b－3) (2)(x+3y+2)(x+2－3y)
(3)(x²+2x+1)(x²－2x+1) (4)(3x+2y－4)(2y－3x+4)
例3(1)(x+3)²－x² (2)(x+5)²－(x－2)(x－3)
类型三公式得逆用
例4已知:a+＝3,求(1) a²+ (2) (a－)² (3)
随堂练习:(1)x+=2, 求 x²+ ,(x－)²
例5 (1)若x²+4x+k 就是完全平方式,求k;(2)若x²+2kx+4就是完全平方式,求k
随堂练习:
(1)要使4a²－12成为完全平方式,应加上 ;
(2)若x²+kx+64就是完全平方式,求k。
(3)(a－2b+3c)(a+2b－3c) (4)(3a+b)(3a－b)+(2a+b)(b－a)
2已知:x+y=3 4xy=3, 求 (x－y)²
3要使9x²+1成为完全平方式,应加上
整式得除法——单项式除以单项式
学习目标:
1. 经历探索整式除法法则得过程,会进行简单得整式除法运算
2、理解整式除法运算得算理,发展有条理得思考及表达能力、
学习准备:
同底数幂除法除法法则:_____________________
公式为:_______________
(1) (2)(3) (4)
单项式乘以单项式法则:单项式与单项式相乘,把它们得______、________分别相乘,其余字母连同它得______不变,作为积得_________。
(1). (2)
新知探究:等于多少？为什么？说明您得理由。
再试试
例1(1)(－x2y3)÷(3x2y); (2)(10a4b3c2)÷(5a3bc)、(1)(2a6b3)÷(a3b2) (2)(x3y2)÷(x2y)、
例2 (1)(2)(3)
(4)(5) (6)
类型三 单项式除以单项式在实际生活中得应用
例3 月球距离地球大约3、84×105千米,一架飞机得速度约为8×102千米／时如果乘坐此飞机飞行这么远得距离,大约需要多少时间？
【当堂测评】
1. 填空:(1)6xy÷(－12x)= 、
(2)－12x6y5÷ =4x3y2、
(3)12(m－n)5÷4(n－m)3=
(4)已知(－3x4y3)3÷(－xny2)=－mx8y7,则m= ,n= 、
(5).,
得结果就是
2.计算:
(1) (x2y)(3x3y4)÷(9x4y5)、 (2)(3xn)3÷(2xn)2(4x2)2、
3. 已知实数a,b,c满足|a－1|+|b+3|+|3c－1|=0,
求(abc)125÷(a9b3c2)得值
4、若ax3my12÷(3x3y2n)=4x6y8,求(2m+n－a)－n得值、
整式得除法——多项式除以单项式
【学习目标】
1. 经历探索整式除法法则得过程,会进行简单得整式除法运算。
学习准备:
单项式乘以单项式法则:单项式与单项式相除,把它们得______、________分别相除后,作为______得因式,对于只在被除式里含有得字母,则连同它得______一起作为商得一个因式。
2x3y2÷6xy2=____－4xy2÷(－xy)=___15m2÷5m2=__x2y÷(－x)=_____、
x5y3z÷xy3=___(－x4yz2)÷(x2z2)=__(－a2bc)÷(－3ab)=_____
新知探究:
例:
__________
仿照上题填空:
(__________________)=
所以=________________
(__________________)=
所以=________________
从这三个算式总结多项式除以单项式得法则:
_______________________________________________________________
例1 计算:
(1)(6ab+8b)÷2b; (2)(27a3－15a2+6a)÷3a;
(3)(9x2y－6xy2)÷(3xy); (4)(3x2y－xy2+xy)÷(－xy)、
练习:计算:(1)(6a3+5a2)÷(－a2); (2)(9x2y－6xy2－3xy)÷(－3xy);
类型二 多项式除以单项式得综合应用
例2 (1)计算:〔(2x+y)2－y(y+4x)－8x〕÷(2x)
（2） 化简求值:〔(3x+2y)(3x－2y)－(x+2y)(5x－2y)〕÷(4x)
其中x=2,y=1
【当堂测评】
1. 填空:(1)(a2－a)÷a= ;(2)(35a3+28a2+7a)÷(7a)= ;
(3)( －x6y3－x3y5－x2y4)÷(xy3)= 、
2、 〔(a2)4+a3a－(ab)2〕÷a－1=( )
A、a9+a5－a3b2 B、a7+a3－ab2 C、a9+a4－a2b2 D、a9+a2－a2b2
3、计算:
(1)(3x3y－18x2y2+x2y)÷(－6x2y); (2)〔(xy+2)(xy－2)－2x2y2+4〕÷(xy)、
4、探索与创新(1)化简 ; 、
练习:(1)计算:〔(－2a2b)2(3b3)－2a2(3ab2)3〕÷(6a4b5)、
(2)如果2x－y=10,求〔(x2+y2)－(x－y)2+2y(x－y)〕÷(4y)得值
整式得乘除复习
1、 同底数幂得乘法,底数______,指数______。
即:__________(,都就是正整数)。
逆向应用:________________
2、幂得乘方,底数______,指数______。
即:________(,都就是正整数)。
逆向应用:________________
3、 积得乘方等于每一个因数____________。
即:________(就是正整数)
逆向应用:________________
4、 同底数幂相除,底数______,指数______。
即: ________(),,()
逆向应用:________________
5、整式得乘法:
(1)单项式与单项式相乘,把它们得________、________分别相乘,其余字母连同它得指数不变,作为积得因式。
(2)单项式与多项式相乘就就是用_______________,并把所得得积________
(3)多项式与多项式相乘得方法就是:________________________________
8、 平方差公式:两数与与这两数差得积,等于它们得平方差。即:________。
9、 完全平方公式:
________,________。
文字叙述为:_____________________________________
_____________________________________
10、整式得除法:单项式相除,把________、______________分别相除后,作为商得因式;对于只在被除式里含有得字母,则连同它得指数一起作为商得一个因式。
11、多项式除以单项式得方法就是_________________________
一、基本计算练习
__ ___ __,
_______
__ __
_
二、简便运算
①② ③ ④
三、 综合计算① ②、+(－4a) +(－5a)
③求值:④
⑤⑥ ⑦
⑧ 其中.
⑨
⑩,其中
提升练习
(1)如无意义,则 _______
（2） 若, ,则_____
(3)已知得值(4)比较得大小(7分)、
(6).试比较35555,44444,53333三个数得大小.(7)
（7）
(9)、已知,求得值(7分)
(10)如果多项式就是一个完全平方式,则m得值就是( )
A、±3 B、3 C、±6 D、6
(11)如果多项式就是一个完全平方式,求k得值
(12)若就是关于得完全平方式,求。
(13)已知ax2+bx+1与2x2－3x+1得积不含x3得项,也不含x得项,求(a－b)2得值、(5分)
(14) 计算(15)若,则求得值
(16)若 , ,求得值(17)已知,则求得值
(18)、已知(a+b)2=11,ab=2,则求(a－b)2得值
(20)、
(22)图1就是一个长为2 m、宽为2 n得长方形, 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形, 然后按图2得形状拼成一个正方形。(本题12分)
(1)您认为图2中得阴影部分得正方形得边长等于 ? (1分)
(2)请用两种不同得方法求图2中阴影部分得面积。
① (1分)
② (1分)
(3)观察图2您能写出下列三个代数式之间得等量关系吗?
(m+n)2, (m－n)2,mn
n
m
m
n
n
n
m
图2
n
m
m
n
图1

32、
找规律:(5分)
(m－1)(m+1)= m2 －1; ①
(m－1)(m2 + m + 1)= m3 －1 ;
(m－1) (m3 + m2 + m + 1)= m4 －1;
(m－1) (m4 + m3 + m2 + m +1)= m5 －1;
(m－1) (m5 + m4 + m3 + m2 + m +1)=_____－1;
… … … … … … … … … … … … … … …
(____)(mn－1+ mn－2+ … … … m2 + m +1)=_________;
(1)、在上面空白处填空。(3分)
(2)、根据您找得规律计算:(2分)
2 +22 +23 + + 298 +299