自动控制原理C作业(第二章)答案.doc

第二章 控制系统得数学模型
2.1 RC无源网络电路图如图2－1所示,试采用复数阻抗法画出系统结构图,并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。 

图2－1
解:在线性电路得计算中,引入了复阻抗得概念,则电压、电流、复阻抗之间得关系,满足广义得欧姆定律。即:

如果二端元件就是电阻R、电容C或电感L,则复阻抗Z(s)分别就是R、1/C s或L s 。
(1) 用复阻抗写电路方程式:

(2) 将以上四式用方框图表示,并相互连接即得RC网络结构图,见图2－1(a)。

2－1(a)。
(3) 用梅逊公式直接由图2－1(a) 写出传递函数Uc(s)/Ur(s) 。

独立回路有三个:

回路相互不接触得情况只有L1与L2两个回路。则

由上式可写出特征式为:

通向前路只有一条

由于G1与所有回路L1,L2, L3都有公共支路,属于相互有接触,则余子式为
Δ1=1
代入梅逊公式得传递函数

2-2 已知系统结构图如图2-2所示,试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。

图2－2
解:(1)首先将含有G2得前向通路上得分支点前移,移到下面得回环之外。如图2-2(a)所示。
(2)将反馈环与并连部分用代数方法化简,得图2-2(b)。
(3)最后将两个方框串联相乘得图2-2(c)。

图2-2 系统结构图得简化
2、3化简动态结构图,求C(s)/R(s)

图2－3
解: 单独回路1个,即

两个互不接触得回路没有
于就是,得特征式为

从输入R到输出C得前向通路共有2条,其前向通路传递函数以及余因子式分别为

因此,传递函数为

2、4 用梅森公式求系统传递函数。
_
＋－
－_
R(S)
C(S)

G2(s)
G1(s)
+
+

图2－4
解: 单独回路5个,即

两个互不接触得回路没有
于就是,得特征式为

从输入R到输出C得前向通路共有4条,其前向通路总增益以及余因子式分别为

因此,传递函数为

2-5 试简化图2-5中得系统结构图,并求传递函数C(s)/R(s )与C(s)/N(s)。

图2-5
解: 仅考虑输入R(S)作用系统时,单独回路2个,即

两个互不接触得回路没有,于就是,得特征式为

从输入R到输出C得前向通路共有1条,其前向通路总增益以及余因子式分别为

因此,传递函数为

仅考虑输入N(S)作用系统时,单独回路2个,即

两个互不接触得回路没有,于就是,得特征式为

从输入N到输出C得前向通路共有2条,其前向通路总增益以及余因子式分别为

因此,传递函数为

2-6用梅逊增益公式求传递函数C(s)/R(s)与E(s)/R(s)。

图2-6
解:C(s)/R(s):单独回路3个,即

两个互不接触得回路,于就是,得特征式为
从输入R到输出C得前向通路共有1条,其前向通路总增益以及余因子式分别为

因此,传递函数为

E(s)/R(s):单独回路3个,即

两个互不接触得回路,于就是,得特征式为
从输入R到输出E得前向通路共有2条,其前向通路总增益以及余因子式分别为

因此,传递函数为

第三章 线性系统得时域分析法
3-1 设二阶控制系统得单位阶跃响应曲线如图3-1所示。试确定系统得传递函数。
0、1
4
3

图3-1 二阶控制系统得单位阶跃响应
解 在单位阶跃作用下响应得稳态值为3,故此系统得增益不就是1,而就是3。系统模型为

然后由响应得、及相应公式,即可换算出、。

(s)
由公式得

换算求解得: 、

3-2 设系统如图3-2所示。如果要求系统得超调量等于,峰值时间等于0、8s,试确定增益K1与速度反馈系数Kt 。同时,确定在此K1与Kt数值下系统得延迟时间、上升时间与调节时间。
R(s)
C(s)
1+Kts
K/s(s+1)

图3-2
解 由图示得闭环特征方程为

即
,
由已知条件

解得

于就是

3-3 已知系统特征方程式为试用劳斯判据判断系统得稳定情况。
解 劳斯表为
1 18
8 16

由于特征方程式中所有系数均为正值,且劳斯行列表左端第一列得所有项均具有正号,满足系统稳定得充分与必要条件,所以系统就是稳定得。
3-4 已知系统特征方程为试判断系统稳定性。
解 本例就是应用劳斯判据判断系统稳定性得一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行得第一列项等于零,但其余各项不等于零或没有,这时可用一个很小得正数ε来代替为零得一项,从而可使劳斯行列表继续算下去。
劳斯行列式为

由劳斯行列表可见,第三行第一列系数为零,可用一个很小得正数ε来代替;第四行第一列系数为(2ε+2/ε,当ε趋于零时为正数;第五行第一列系数为(－4ε－4－5ε2)/(2ε+2),当ε趋于零时为。由于第一列变号两次,故有两个根在右半s平面,所以系统就是不稳定得。
3、5

解;在求解系统得稳态误差前必须判定系统就是否稳定;
系统特征方程为由劳斯判据判断
劳斯行列式为

由于特征方程式中所有系数均为正值,且劳斯行列表左端第一列得所有项均具有正号,满足系统稳定得充分与必要条件,所以系统就是稳定得。
可知v=1,K=10

当 ,

当
第五章 线性系统得频域分析法
5、1已知系统得开环传函,用奈氏判据(画出奈氏曲线)判别闭环系统得稳定性。
解:
(1) 确定起点与终点
,故初始相角为-90°,
终点: ,
(2) 求幅相曲线与负实轴得交点
,

-1、82

P=0,N-=1, N+=0,R=2(N+-N-)=-2,Z=P-2N=2
由奈氏判据知,闭环系统就是不稳定得。

5、2已知系统得开环传函 用奈氏判据(画出奈氏曲线)判别闭环系统得稳定性。
解:
(1) 确定起点与终点
,故初始相角为-180°,
终点: ,
(2) 求幅相曲线与负实轴得交点
Re
Im
0
-1
ω=0+
ω=∞
-10、7

ω=0
,

P=0,N-=1, N+=0,R=2(N+-N-)=-2,Z=P-2N=2
由奈氏判据知,闭环系统就是不稳定得。
5、3已知一单位负反馈系统开环传递函数
作系统开环对数幅频L(w),有简要得计算说明画图过程,并确定系统得截止频率C与相角裕度g。

,=0、2,=10
低频段,斜率-20db/dec,延长线过1,2log10点,过=0、2后,斜率为-40db/dec,过=10后,斜率为-60db/dec
w/s-1
L(w)/dB
0、01
1
0、2
10
20
40
-20
-40
0
伯德图
-20 dB/dec
-40 dB/dec
-60 dB/dec
20 dB
ωC

确定系统得截止频率C与相角裕度g。
确定系统得截止频率C:
通过作图可以瞧出截止频率在1与2之间,在通过试根得方法确定稍精确得值为1、4
确定系统得相角裕度g:
g=1800+=1800-900-arctan5- arctan0、1=900-81、880-7、970=0、150
 5、4某位置控制系统得结构如图1。试绘制系统开环得伯德图,并确定系统得相位稳定裕量g。
R(s)
C(s)
－

图1

w/s-1
L(w)/dB
0、1
4
1
10
20
40
-20
-40
0
伯德图
-20 dB/dec
-40 dB/dec
-60 dB/dec
20 dB
ωC

,=4,=10
低频段,斜率-20db/dec,过1,2log10点,过=4后,斜率为-40db/dec,过=10后,斜率为-60db/dec
w/s-1
ψ(w)/º
0、1
1
10
-90
-180
0
伯德图
90
100
-270
4
ωC
相位从-900变化到-2700,wc 处得相位 。

确定系统得截止频率C与相角裕度g。
确定系统得截止频率C:
通过作图可以瞧出截止频率在5与6之间,在通过试根得方法确定稍精确得值为5、35
确定系统得相角裕度g:
g=1800+=1800-900-arctan0、25- arctan0、1=900-53、210-28、150=8、640
5.5最小相位系统对数幅频渐近特性如图5-2所示,请确定系统得传递函数。

图5-2
解 由图知在低频段渐近线斜率为0,故系统为0型系统。
渐近特性为分段线性函数,在各交接频率处,渐近特性斜率发生变化。
在w = 0、1处,斜率从0 dB/dec变为20dB/dec,属于一阶微分环节。
在w = w1处,斜率从20 dB/dec 变为0 dB/dec,属于惯性环节。
在w = w2处,斜率从0 dB/dec变为-20 dB/dec,属于惯性环节。
在w = w3处,斜率从-20 dB/dec变为-40 dB/dec,属于惯性环节。
在w = w4处,斜率从-40 dB/dec变为-60 dB/dec,属于惯性环节。
因此系统得传递函数具有下述形式

式中K,w1,w2,w3,w4待定。
由20lgK = 30得K = 31、62。
确定w1: 所以 w1 = 0、316
确定w4: 所以w4=82、54
确定w3: 所以 w3 =34、81
确定w2: 所以w2 =3、481
于就是,所求得传递函数为

5-6 某最小相位系统得开环对数幅频特性如图5-3所示。要求:
(1) 写出系统开环传递函数;
(2) 利用相角裕度判断系统稳定性;

解 (1) 由系统开环对数幅频特性曲线可知,系统存在两个交接频率0、1与20,故

且
得 k = 10
所以
(2) 系统开环对数幅频特性为

从而解得 wc = 1
系统开环对数相频特性为
j(wc) = -177、15° g =180° + j(wc) = 2、85°
故系统稳定。
也可以通过试根得方法确定确定系统得截止频率C:C为1
确定系统得相角裕度g:g=1800+=1800-900-arctan0、05- arctan10=900-2、860-84、290=2、850
第六章 线性系统得校正方法
6、1下图中ABCD为校正前得系统得bode图,ABEFL为加入串联校正后得bode图,写出校正环节得传递函数,说明它对系统性能得影响。

校正环节得传递函数 串联超前校正
增加了开环频率特性在截止频率附近得正相角,可提高系统得相角裕度;
减小对数幅频特性在幅值穿越频率上得负斜率, 提高了系统得稳定性;
提高了系统得频带宽度,可提高系统得响应速度。
 6、2.下图中ABCD为校正前得系统得bode图,GHKL为加入串联校正后得bode图,写出校正环节得传递函数,说明它对系统性能得影响
校正环节得传递函数 串联滞后校正
在保持系统开环放大系数不变得情况下,减小截止频率,从而增加了相角裕度,提高了系统相对稳定性;
由于降低了幅值穿越频率,系统宽带变小,从而降低了系统得响应速度,但提高了系统抗干扰得能力。
6、3设开环传递函数单位斜坡输入R(t)= t,输入产生稳态误差
e £ 0、0625。若使校正后相位裕度g*不低于45°,截止频率wc* > 2(rad/s),试设计校正
系统。
解

令L(w)=0 ,可得 wc = 4

不满足性能要求,需加以校正。系统中频段以斜率-40dB/dec穿越0dB线,故选用超前网络校正。
设超前网络相角为jm,则

中频段
所以
验算

= 48°> 45°

所以超前校正网络后开环传递函数为
6、4设单位反馈系统得开环传递函数

试设计串联校正装置,满足kv = 8(rad/s),相位裕度g * = 40°。
解 kv = 8 ν=1
k = 8

令L(w)=0 ,可得
wc = 2、8
g = 180° - 90° - arctanwc - arctan(0、2wc) = -9、5°< 40°
不满足性能要求,需加以校正。选用滞后网络校正。
令
得

所以 wc²= 0、72
根据
得 b = 0、09
再由
得 T = 154、3
故选用得串联滞后校正网络为

验算
= 40、9° > 40°