高中数学必修五-知识点和习题.pdf

目录编写说明.1第一章 解三角形.21.1 正弦定理和余弦定理.21.2 应用举例.9第二章 数列.132.1 数列的概念与简单表示方法.132.2 等差数列.162.3 等差数列的前 n 项和.182.4 等比数列.202.5 等比数列的前 n 项和.23第三章 不等式.273.1 不等关系与不等式.273.2 一元二次不等式及其解法.293.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.323.4 基本不等式.35 0 编写说明编写说明本书是高中数学必修课程 5 个模块中的一个，包括解三角形、数列与不等式三章内容。“解三角形”的主要内容是介绍三角形的正、余弦定理，及其简单应用，旨在通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题以及能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。“数列”的主要内容是数列的概念与表示，等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和。数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。要求学生在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。“不等式”一章通过大量现实世界和日常生活中的具体实例引入不等关系，帮助学生理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值，进而引导学生结合一些实际问题探索求解一元二次不等式的基本方法，用二元一次不等式组表示平面区域，以及解决一些简单的二元线性规划问题的方法，最后引导学生讨论了基本不等式及其简单应用。1第一章第一章 解三角形解三角形1.1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理正弦定理正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外接圆的半径，则有CAabcACRCA2sinsinsinabcRCA正弦定理的变形公式正弦定理的变形公式：，；2 sinaRA2 sinbR2 sincRC，；sin2aRA sin2bR sin2cCR；:sin:sin:sina b cCAsinsinsinsinsinsinabcabcCCAA正弦定理的应用范围：正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。【典型例题】1、在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,，求 c。1,33baA，2、在ABC 中，“A=B”是“sin A=sin B”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分又不必要条件【练习】1、求 B、C、b.,32,45,6,0aAcABC中2、在中,已知,B=450.求 A、C 和 c.ABC3a2b3、已知ABC 中，求。3:2:1sin:sin:sinCBAcba:4、在中,已知下列条件解三角形；ABC（1）；（2）；o30,2,2Abao45,2,2Aba（3）（4）10,45,60aBAooo30,4,3Aba（5）（6）o120,5,2Abao30,6,3Aba5、在中，.求角，和边.ABC3a2bo45BACc6、已知在中,，求，和。ABC10co45A030CabB7、在中，,，求角。ABCo60A34a24bB8、在中，已知210AB，求角。ABCo45A3320BCC 29、在中,若，求角 B。ABCBbAacossin 10、在中,若求 AB。ABC,1,150,31tan0BCCA11、在中，若，,，求和。ABC5b4B2tanAAsina12、在ABC 中，若a=2b sin A，求角 B。313、在中,已知内角,边。设内角，周长为.ABC3A32BCxB y（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值。xfy y余弦定理余弦定理在中，有，CA2222cosabcbcA2222cosbacac2222coscababC余弦定理的变形公式：余弦定理的变形公式：，222cos2bcabcA 222cos2acbac 222cos2abcCab余弦定理的应用范围：余弦定理的应用范围：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。【典型例题】1、在ABC 中，已知，求 b 及 A。2 3a62c060B2、如图，在中，ABC2AC 1BC 43cosC（1）求的值；AB（2）求的值.CA2sin【练习】1 1、在ABC 中，若，则角 A=_。222abcbc2 2、ABC 中，a3，b，c2，则角 B=_。73 3、在ABC 中，若，则最大角的余弦值为_。1413cos,8,7Cba4、已知在中，则角=_、角=_、=_。ABC03,3 3,30bcBACa5、已知在中，则角=_、角=_、边=_。ABC03,2 3,30bcABCa6、,则 .4,3,60abCoc 7、,则B=.2,4,3abc 38、在中,已知,则=_.ABC222abbccA9、在中,边长是方程的两实根,则边=_.ABC60A o,b c2327320 xxBC10、在中，则 A=_，B=_，C=_。ABC:2:6:(31)a b c 11、已知在中，则边上的高为_ABC3,13,4ABBCACAC12、已知是的三边，那么的值_abc、ABC060B 222aaccbA.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.不确定13、在中，若为钝角，下列结论成立的是 _ABCCA.B.C.D.222abc222abc222abccos0C14、在中，且，则_ABC222abc3sin2C C15、在中，已知，则角=_ABC0260,BbacA16、在中,角的对边分别为,若,且,则=_.ABC,A B C,a b c2bac2cacosB17、在中，,边上的中线长,则=，=.ABC4,3bcBC372Aa18、在中,则边上的高为_.ABC3,13,4ABBCACAC19、在中,角的对边分别为,若,且,则=_ABC,A B C,a b c2bac2cacosB20、在中，若，则最大角的余弦值是_ABC137,8,cos14abC21、已知三角形的三边长分别是且，这个三角形的最大角为2323322mmmmm，0m_。22、在中，且最大边长和最小边长是方程的两个根，第三边的长ABCo60Axx27110_。23、在中，已知，给出以下四个论断：ABCCBAsin2tan 1tantanBA2sinsin0BA 1cossin22BACBA222sincoscos其中正确的是_ 24、在中，角的对边分别为。若，则角 B 的值为ABCCBA,abc、222()tan3acbBac 4_ 25、的内角的对边分别为。若成等差数列，且。则=ABCCBA,abc、abc、ac2Bcos26、在中，若，则的值为_ABC4:2:3sin:sin:sinCBACcos27、在中，已知，求。ABC3sin,sincos0,3 5,55AAAabc解三角形的进一步讨论解三角形的进一步讨论利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解三角形面积公式：三角形面积公式：AbcSBacSCabSsin21;sin21;sin21【典型例题典型例题】1、在ABC 中，已知，讨论三角形解的情况。,a b A分析：先由可进一步求出 B；则，从而si nsi nbABa0180()CABsi naCcA1当 A 为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。ab2当 A 为锐角时，如果，那么只有一解；ab如果，那么可以分下面三种情况来讨论：ab（1）若，则有两解；（2）若，则只有一解；（3）若，则无解。si nabAsi nabAsi nabA评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且时，si nbAab有两解；其它情况时则只有一解或无解。2、根据所给条件,判断的形状.ABC1）在ABC 中，已知，。2）3）7a5b3c;coscosBbAaCcBbAacoscoscos 53、在中，若，求的面积。ABC120Ao5AB 7BC ABC4、在ABC 中，证明：2222112cos2cosbabBaA5、设的内角所对的边长分别为，且，。ABCCBA,abc、54cosB2b（1）当时，求的值；(2)当的面积为时，求的值o30AaABC3ca6、在中，已知。ABC2,3BCAB（）若，求的值；（）求角的取值范围63cosBCsinC【练习练习】1、在ABC 中，已知，试判断此三角形的解的情况。80a100b045A 2、在ABC 中，若，则符合题意的 b 的值有_个。1a12c040C3、在ABC 中，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围。axcm2bcm045B4、在ABC 中，已知，判断ABC 的类型。si n:si n:si n1:2:3ABC5、在ABC 中，判断ABC 的形状。060A1a2bc6、中，判断该三角形的形状。ABC2222cosbabcA7、中,，判断该三角形的形状。ABCACBCAsinsinlgsinlg2sinsinlg8、在中，若，判断的形状。ABCsin AsinBcos AcosBABC9、在中，若，判断的形状。ABC060,2BbacABC10、在中，已知，判断该三角形的形状。ABCbaCcaBsincos，11、在中，已知，且，试确定的形状。ABC()()3abc abcab2cossinsinABCABC12、中，如果，并且为锐角，试判断此三角形的形状。ABC2lgsinlglglgBcaB13、中，（分别为角所对的边），判断此三角形的形状。ABC2cos22Abccabc、CBA,14、根据所给条件，判断的形状.ABC（）；（）BbAacoscosCcBbAacoscoscos15、在ABC中，abc、分别为内角ABC、的对边，且2 sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC（）求A的大小；（）若sinsin1BC，试判断ABC的形状.16、在ABC 中，,A30，求ABC 面积。3AB1AC 617、在ABC 中，面积为，求的值060A1b32si nsi nsi nabcABC18、在ABC 中，若，且此三角形的面积，求角 C55a16b220 3S19、在ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积，求角 C2224abcS20、已知在ABC 中，B=30,b=6,c=6,求 a 及ABC 的面积321、在中，O 为坐标原点，则当的面积达最大值时，OAB2,0(),1,(sin),cos,1(BAOABABCD643222、已知为的三个内角，其所对的边分别为，且。CBA,ABCabc、0cos2cos22AA(1)求角的值；A(2)若，求的面积4,32cbaABC23、内接于半径为的圆，且，求的面积的最大值。ABCRBbaCARsin2sinsin222ABC24、三角形的某两边长分别为,其夹角的余弦值是方程的根，求此三角形的面cmcm 5,306752 xx积。在ABC 中，求证：（1）;sinsinsin222222CBAcba（2）.)coscoscos(2222CabBcaAbccba25、已知在中，则边上的高为（）ABC3,13,4ABBCACACA.B.C.D.322332323 326、在中，已知比长 2，比长 2，且最大角的正弦值为，则的面积等于（ABCabbc32ABC）A.B.C.D.15341542134353427、在中，已知，且，则的值为 ()ABC030A 3312abcA.4 B.8 C.4 或 8D.无解28、在中，且的面积，则边的长为（）ABC060,2AABABC23ABCSBC 7A.B.3C.D.73729、在中,若,则=()ABCAbasin23 BA B C 或 D 或 o30o60o60o120o30o15030、中，则等于（）ABCsinsinsinsinsin222ABBCCA A.135B.120C.45D.6031、在中，角所对的边分别为。若，则=ABCCBA,abc、(3)coscosbcAaCcos A_32、已知在中，则三个内角的度数依次是ABC22sin:sin2:1,2ABcbbcCBA,_33、在中，已知，给出下列结论：ABC():():()4:5:6bccaab 由已知条件，这个三角形被唯一确定；ABC 一定是钝角三角形；若，则的面积是。sin:sin:sin7:5:3ABC 8bcABC15 32其中正确结论的序号是_34、中，已知，且，则的面积等于_。ABC2220bbcc76,cos8aAABC35、在锐角中，,则的值等于 ，的取值范围是 ABC1BCAB2AACcosAC36、如图，在中，已知，是边上的一点，ABC045B DBC_ABDCACAD则,3,7,537、在中，内角所对边的边分别为。已知。ABCCBA,abc、2,3cC（1）若的面积等于，求；（2）若，求的面积。ABC3,a bsin2sinBAABC38、在中，内角对边的边长分别是，已知.ABCCBA,abc、3,2Cc(1)若的面积等于，求；ABC3ba,(2)若，求的面积AABC2sin2sinsinABCABDC 839、的内角的对边分别为.己知ABCABC、abc、sincsin2 sinsin,aACaCbB ()求；（）若B75,2,.Aba co求,40、在中，的对边分别是，已知，求的值。ABCCBA,cba,CbBcAacoscoscos3Acos41、在ABC中，cba,为角CBA,所对的三边，已知22()abcbc，求角A42、在ABC中，abc、分别是角ABC、的对边，且.cabCB2coscos(1)求角的大小；B(2)若，求ABC的面积13b4ca43、在中，内角,的对边分别是，设为的面积，满足ABCACB,cba,SABC22243cbaS（1）求角 C 的大小；（2）求的最大值。BAsinsin44、已知，满足。（1）将表示为的函数，并yxnxxm,cos,1,sin32cos20nmyx xf求的最小正周期。（2）已知内角,的对边分别是，若，且，xfABCACB,cba,32 Af2a求的取值范围cb1.2 应用举例应用举例解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图(2)(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45，西偏东 60等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数距离测量问题距离测量问题 9【典型例题典型例题】1、如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m，BAC=，ACB=。求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m)5175【练习练习】1、两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30，灯塔 B 在观察站 C南偏东 60，则 A、B 之间的距离为多少？2、如图所示，为了测量河对岸两点间的距离，在这岸定一基线，现已测出和BA,CDaCD，试求的长o60ACDo30BCDo105BDCo60ADCAB3、如图，都在同一个与水平面垂直的平面内DCBA,为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面处测得点和点DB,ABD的仰角分别为，于水面处测得点和点的仰角均为，o75o30CBDo60.试探究图中、间距离与另外哪两点间距离相等，然后kmAC1.0BD求，的距离BD高度测量问题高度测量问题【典型例题典型例题】1、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。分析：求 AB 长的关键是先求 AE，在ACE 中，如能求出 C点到建筑物顶部 A 的距离 CA，再测出由 C 点观察 A 的仰角，就可 10以计算出 AE 的长。【练习练习】1、如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角=54，在塔底 C 处测得 A 处的俯角04=50。已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)12、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25的方向上,仰角为 8,求此山的高度 CD.3、如图，山脚下有一小塔，在塔底测得山顶的仰角为，在山顶测得塔顶的俯角为，ABBCo60CAo45已知塔高，求山高.mAB20CD4、如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得ABBCD，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高.BCDBDCsCD CAAB 11角度测量问题角度测量问题【典型例题典型例题】如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1,距离精确到 0.01n mile)【练习】1、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为，沿 BE 方向前进 30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为2，再继续前进 10m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4，求的大小和建筑物 AE 的高。32、某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正沿南偏东 75的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？3、在某海岸处，发现北偏东方向，距离处n mile 的处有一Ao30A）（13 B艘走私船在处北偏西的方向，距离处n mile 的处的缉私船奉Ao15A6C命以n mile/h 的速度追截走私船.此时，走私船正以 5 n mile/h 的速35度从处按照北偏东方向逃窜，问缉私船至少经过多长时间可以追上Bo30走私船，并指出缉私船航行方向.ACBo30o15 12注：注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。第二章第二章 数列数列2.1 数列的概念与简单表示方法数列的概念与简单表示方法数列的概念与简单表示方法定义：按一定次序排列的一列数叫数列数列，其中数列中的每一个数都是函数值，将数列中的每个数称为数列的项，和它在数列中的次序对应起来，称为第 1 项，第 2 项，第 n 项，。数列的一般形式：，简记为LL,321naaaa na数列的分类：（1）按项数来分：有穷数列：有穷数列：项数有限的数列；无穷数列：无穷数列：项数无限的数列叫。（2）按项的大小来分：递增数列递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列常数列：各项相等的数列摆动数列摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式通项公式。na【典型例题典型例题】1、已知数列满足，则这个数列是（）na31nnaa A 递增数列 B 递减数列 C 摆动数列 D 不确定2、数列的一个通项公式是（）L，924,715-58,1-A B C D 12)1(2nnnann12)3()1(nnnann121)1()1(2nnann12)2()1(nnnann 133、数列的一个通项公式是_L，11,22,5,2【练习练习】1、下列数列是递增、递减、摆动还是常数列？（1）（2）（3）（4）LL,1,31,21,1n;2,2,2,1632LL,1,1,1,1L,6,6,62、已知数列满足：，则数列是（）na21,011nnaaa naA.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.不确定3、已知数列满足：，则数列是（）na31nnaa naA.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.不确定4、数列中，第 10 项是_LL,1,51,41,31n5、已知数列，其中 0.9 是它的第_项。L，433221,06、1,1,2,3,5.，这个数列的第八项是_7、观察下列的图形中小正方形的个数，则第7个图中有_个小正方形。8、上述关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）A B21nann12nn naC D12nn na22nn na9、设数列，则是这个数列的（）252 2112 5A第项B第项C第项D第项678910、数列，的通项公式为_77777777777777711、已知数列，那么（）2nnA是数列中的一项 B是数列中的一项021 14C是数列中的一项 D以上答案都不对70212、若，则与的大小关系是（）2nnanna1naA B C D不能确定1nnaa1nnaa1nnaa13、根据下列数列的前几项写出数列的一个通项公式(1)；，L225,8,292,21（2）；，L9,7-5,3-1（3）；，L3,5,3,5,3,5（4）；，L9999,999,99914、写出下列数列的一个通项公式：（1）;,54,43,32,21L（2）;,4,3,2,1L（3）;,7,5,3,1L（4）;,7777,777,77,7L15、一给定函数 的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数)(xfy)1,0(1a)(1nnafa列满足，则该函数的图象可能是()na)(1Nnaann16、已知数列中的首项，则此数列的第三项是_ nanaann2121117、已知数列满足，则_ na)(133,011Nnaaaannn20a18、练习：已知数列满足：,_;_ naNnaaaannnn,0,1214342009a2014a 1519、设，则_)(13131211NnnanLnnaa1AB.C.D.231n13131nn231131nn23113131nnn20、已知数列满足，且则的值是_ na)2()1(11naaannnn,11a35aa21、数列中，且，则_.na,32,121aa)2,(21111nNnaaannn6a22、已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出，na)2(21naaannn（1）写出这个数列的前5项；（2）利用上面的数列，通过公式构造一个新的数列的 nannnaab1 nb前5项。2.2 等差数列等差数列 等差数列等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）、等差中项等差中项:如果，这三个数成等差数列，那么2ba 我们把2ba 叫做和的等差中项等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：【变式：】dnaan)1(1nadmnam)(性质：若是等差数列，且（、），则 namnpqmnp*qmnpqaaaa【典型例题典型例题】1、已知数列 1，4，7，10，3n+7,其中后一项比前一项大 3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出 1+4+（3n5）是该数列的前几项之和.2、将一个等差数列的通项公式输入计算器数列中，设数列的第 s 项和第 t 项分别为和，计算nusutu的值，你能发现什么结论？并证明你的结论、tsuuts【练练习】1、（1）求等差数列 3，7，11，的第 4 项与第 10 项.（2）求等差数列 10，8，6，的第 20 项.（3）100 是不是等差数列 2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.（4）20 是不是等差数列 0，3，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.212、在等差数列中，（1）已知=10,=19,求与 d;na4a7a1a（2）已知=9,=3,求.3a9a12a3、在等差数列中，已知，求,na105a3112a1adnaa,20 164、梯子最高一级宽 33cm，最低一级宽为 110cm，中间还有 10 级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度、5、已知数列的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若naqpnanpq是，首项与公差分别是什么？6、已知为等差数列，则等于A.-1 B.1 C.3 D.77、已知 na为等差数列，且7a24a1,3a0,则公差 dA.2 B.12 C.12 D.28、等差数列na中，12981aaaL且2310171aaaL，则公差d=9、各项不为零的等差数列na中，02211273aaa，则7a的值为（）A0B4C04或D210、已知等差数列na中，12497,1,16aaaa则的值是（）A15B30C31D6411、等差数列 na中，51130aa，47a，则12a的值为A15 B23 C25 D3712、设是公差为正数的等差数列，若，则（）na12315aaa12380a a a 111213aaaA B C D 120105907513、若一个等差数列前 3 项和为 34,后 3 项和为 146,且所有项的和为 390,求这个数列项数.14、在等差数列an中,，则，的值为（）mananm,nmaA B C D 0nm)(21nm)(21nm15、已知在等差数列中，求 na0,455aaS47:aa16、在等差数列中，若是方程的两根，则_ na113,aa016102xx7a17、若，两个等差数列与的公差分别为，则_ba bxxa,21byyya,32121,dd21dd18、等差数列的前10项的和前100项的和,求前110项的和 na,10010S10100S.110S19、莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，请解答书中的一道题目，把 100 个面包分给 5 个人，使每个人所得成等差数列，且是较多的三分之和的是较少的两份之和，求最少一份的量。71 1720、已知数列的前n项和为，点在曲线，且 nanS)(1,1NnaaPnnn）（214)(xxf，求证：数列是等差数列，并求。0.11naa21nana21、如果，为各项都大于零的等差数列，公差，则()1a2a8a0d A B C+D=1a8a45a a8a1a45a a1a8a4a5a1a8a45a a22、已知 是一次函数，其图象过点，又 成等差数列，求)()2()1(nfffL的值.23、已知数列 21na成等差数列，且713,61153aa，求8a的值。2.3 等差数列的前等差数列的前 n 项和项和等差数列的前项和的公式：；n12nnn aaS112nn nSnad等差数列的前项和的性质：n若项数为，则，且，*2n n21nnnSn aaSSnd偶奇1nnSaSa奇偶若项数为，则，且，（其中，*21nn2121nnSnanSSa奇偶1SnSn奇偶nSna奇）。1nSna偶【典型例题典型例题】1、已知等差数列 na的前 n 项之和记为 Sn，S10=10，S30=70，则 S40等于 。2、已知一个等差数列 na的通项公式 an=255n，求数列|na的前 n 项和；【练习练习】1、等差数列-10，-6，-2，2，前_项的和是 54？2、（1）求正整数列前 n 个偶数的和；（2）求正整数列前 n 个奇数的和。3、如果等差数列的前 4 项的和是 2，前 9 项的和是-6，求其前 n 项和的公式。na4、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的有关未知数：na（1）求 n 及；（2）151,5,66nadS na12,15,10,nndnaaS 求及 185、等差数列 na、nb的前 n 项和为 Sn、Tn.若),(27417NnnnTSnn求77ba；6、已知一个等差数列的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220，求前 n 项和。7、设nS是等差数列 na的前 n 项和，已知23a，611a，则7S等于()A13 B35 C49 D 63 8、等差数列na的前 n 项和为nS，且3S=6，1a=4，则公差 d 等于（）A1 B 53 C.-2 D 39、等差数列 na的前 n 项和为nS，已知2110mmmaaa，2138mS,则m（）A.38 B.20 C.10 D.9 10、若等差数列na的前 5 项和525S，且23a，则7a()A.12 B.13 C.14 D.1511、已知na是等差数列，124aa，7828aa，则该数列前 10 项和10S等于（）A64 B100 C110 D12012、记等差数列na的前n项和为nS，若112a，420S，则6S（）A16 B24 C36 D4813、等差数列 na的前n项和为xS若则432,3,1Saa（）A12 B10 C8 D614、设等差数列na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（）A63 B45 C36 D2715、已知两个等差数列na和 nb的前n项和分别为 An和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（）A2 B3 C4 D516、等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（）A9 B10 C11 D1217、设等差数列 na的前n项和为nS，若4510,15SS，则4a的最大值为_18、设 Sn=是等差数列an的前 n 项和，a12=-8,S9=-9,则 S16=.19、已知等差数列 na的前n项和为nS，若1221S，则25811aaaa 1920、若数列 na的前n项和210(12 3)nSnn nL，则此数列的通项公式为；数列nna中数值最小的项是第项21、各项均不为零的等差数列na中，若2110(,2)nnnaaannN，则2009S等于 （）A0 B2 C2009 D4018 22、已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若714S，则35aa的值为（）A2B4C7D823、在等差数列 na中，284aa,则 其前 9 项的和 S9等于 （）A18 B 27 C 36 D 924、在等差数列na中，39741aaa，27963aaa，则数列na的前 9 项之和9S等于（）A.66 B99 C144 D.29725、设等差数列na的前 n 项和为1413121184,20,8,aaaaSSSn则若（）A18B17C16D1526、已知等差数列共有 100 项，前三项的和为 7，最后三项和为 3，那么前 100 项和为_ na27、等差数列前 m 项的和为 30，前 2m 项和为 100，那么它的前 3m 项和为_ na28、设等差数列 na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=11、设等差数列 na的前n项和为nS，若535aa则95SS 29、等差数列 na的前n项和为nS，且53655,SS则4a 30、设nS为数列na的前n项和，2nSknn，*nN，其中k是常数，求1a及na；31、设数列na的通项公式为(,0)napnq nNP.数列 nb定义如下：对于正整数 m，mb是使得不等式nam成立的所有 n 中的最小值.（）若11,23pq，求3b；（）若2,1pq，求数列mb的前 2m 项和公式；（）是否存在 p 和 q，使得32()mbmmN？如果存在，求 p 和 q 的取值范围；如果不存在，请 20说明理由.32、已知等差数列na中，,0,166473aaaa求na前 n 项和ns.33、已知an是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a3a655,a2+a716.()求数列an的通项公式：2.4 等比数列等比数列概念：概念：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列等比数列，2这个常数称为等比数列的公比若等比数列的首项是，公比是，则通项公式通项公式为 na1aq11nnaa q通项公式的变形：；n mnmaa q11nnaa q11nnaqan mnmaqa等比中项：等比中项：在与中间插入一个数，使，成等比数列，则称为与的等比中项若abGaGbGab，则称为与的等比中项2GabGab若是等比数列，且（、），则；若是等比数列，namnpqmnp*qmnpqaaaa na且（、），则2npqnp*q2npqaaa【典型例题典型例题】1、在等比数列中，na（1），求；3,274qa7a（2），求8,1842aaqa,1（3），求6,475aa9a（4），求6,152415aaaa3a2、求下列各组数的等比中项 （1）53-7537与（2）)0,0(224224bababbaa与3、在等比数列中中，公比，若，则 m=na11a1q54321aaaaaam4、设是由正数组成的等比数列，且公比不为 1，则与的大小关系为（）na18aa45aaA B C D与公比的值有关1845aaaa1845aaaa1845aaaa 215、若不等于 1 的三个正数 a，b，c 成等比数列，则_。(2log)(1 log)bcaa6、若数列是等比数列，下列命题正确的个数是（），是等比数列 成等差数列 ，成等比数列，2na2nalgna1nanancanak成等比数列。(0)k A 5 B4 C3 D2【练习练习】1、在等比数列中，求。na64,283aana2、在等比数列中，公比，若，则 m=_ na11a1q54321aaaaaam3、已知为等比数列，求的值。na6,3876321aaaaaa131211aaa4、在公比为整数的等比数列中，且，求公比 q=_ nannnaaa2125、已知等比数列的公比为，且，则_ na21609931aaaL100642aaaaL6、在等比数列中，则_ nabaaaaa2019109,10099aa7、已知是等比数列，且，那么na0na 243546225a aa aa a35aa8、在等比数列中，公比，且，那么_ na2q30303212aaaaL30963aaaaL9、三个数成等比数列，其和为 44，各数平方和为 84，则这三个数为（）A2，4，8 B8，4，2 C2，4，8，或 8，4，2 D1428 56,33310、设是由正数组成的等比数列，且公比不为 1，则与的大小关系为（）na18aa45aaA B C D与公比的值有关1845aaaa1845aaaa1845aaaa11、已知等比数列na的公比为正数，且3a9a=225a，2a=1，则1a=A.21 B.22 C.2 D.2 12、设 na是公差不为 0 的等差数列，12a 且136,a a a成等比数列，则 na的前n项和nS=（）A2744nn B2533nn C2324nnD2nn13、已知 na是等比数列，41252aa，则13221nnaaaaaaL=（）22A.16（n 41）B.6（n 21）C.332（n 41）D.332（n 21）14、在等比数列an中，a28，a564，则公比 q 为（）A2 B3 C4 D815、若互不相等的实数 成等差数列，成等比数列，且310abc，则a A4 B2 C2 D416、在各项都为正数的等比数列an中，首项 a1=3，前三项和为