《数学模型》试题及参考答案(可打印修改).pdf

2009-20102009-2010 学年第学年第 2 2 学期学期数学建模数学建模试卷试卷 专业班级专业班级 姓姓 名名 分组号与学号分组号与学号 开课系室开课系室 数学与计算科学学院数学与计算科学学院 考试日期考试日期 20102010 年年 7 7 月月 题题 号号一一二二三三四四五五六六七七八八总分总分得得 分分阅卷人阅卷人A 卷数学建模试卷数学建模试卷(1007A)(1007A)一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。（2）建立数学模型的一般方法是什么？在建模中如何应用这些方法，结合实例加以说明。二（10 分）、(1).简述数学建模的一般步骤，分析每个步骤的主要内容和注意事项。(2)简述数学模型的表现形态，并举例说明。第一页三（三（1010 分）分）、（1 1）简述合理分配席位的）简述合理分配席位的-值方法值方法,包括方法的具体实施过程，包括方法的具体实施过程，Q简述分配席位的理想化原则。简述分配席位的理想化原则。（2 2）建立录像机记数器读数与录像带转过时间之）建立录像机记数器读数与录像带转过时间之间的关系模型，包括模型假设与模型建立全过程。间的关系模型，包括模型假设与模型建立全过程。四四(15 分分)（1）建立不允许缺货情况下的存储模型）建立不允许缺货情况下的存储模型,确定订货周期和订货量（包确定订货周期和订货量（包括问题叙述括问题叙述,模型假设和求解过程）模型假设和求解过程）.（2）建立不允许缺货的生产销售存贮模）建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数型设生产速率为常数，销售速率为常数，销售速率为常数在每个生产周期在每个生产周期 内，开内，开krkr,T始的一段时间（始的一段时间（）一边生产一边销售，后来的一段时间）一边生产一边销售，后来的一段时间）只销）只销00Tt TtT0(售不生产设每次生产开工费为售不生产设每次生产开工费为，单位时间每件产品贮存费为，单位时间每件产品贮存费为，（a)求出存求出存1c2c储量储量的表示式并画出示意图。的表示式并画出示意图。（2）以总费用最小为准则确定最优周期）以总费用最小为准则确定最优周期，讨，讨)(tqT论论的情况的情况rk 第二页五（15 分）、（1）建立传染病传播的模型并求解（简述假设条件和求解过程）SIS，（2）建立模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行分SIR析。六（15 分）（1）建立一般的战争模型，分析各项所表示的含义。（2）在假设条件下对正规战争模型（忽略增援和非战斗减员）进行建模求解，abyx9,00确定战争结局和结束时间。第三页第三页七（七（1515 分）设渔场鱼量的自然增长服从模型分）设渔场鱼量的自然增长服从模型，又单位时间捕捞量，又单位时间捕捞量xNrxxln&为为讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大及获得最大Exh mh产量的捕捞强度产量的捕捞强度和渔场鱼量水平和渔场鱼量水平mE0 x八（八（10 分）假设商品价格分）假设商品价格和供应量和供应量满足差分方程满足差分方程kykx0)(0),2(0010101yyxxxxxyykkkkk求差分方程的平衡点，推导稳定条件求差分方程的平衡点，推导稳定条件第四页第四页2009-20102009-2010 学年第学年第 2 2 学期学期数学模型数学模型试题试题参考答案与评分标准参考答案与评分标准 专业班级专业班级 开课系室开课系室 数学与计算科学学院数学与计算科学学院 考试日期考试日期 20102010 年年 7 7 月月 A 卷数学建模试卷数学建模试卷(1007A)(1007A)参考答案与评分标准参考答案与评分标准一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。（2）建立数学模型的一般方法是什么？在建模中如何应用这些方法，结合实例加以说明。解:(1)数学模型可表述为:对于现实世界的一个特定对象,为了特定的目的,根据特有的规律,作出必要的简化假设,应用适当的数学工具,得到的一个数学结构式.数学模型与数学建模的关系：数学模型是应用数学建模的方法对实际问题进行建模得到的最后的数学结构式，是数学建模的结果，是名词。而数学建模是解决问题的全过程，是动名词。（2）一般方法包括:机理分析方法,根据客观对象的本质特征和规律,分析事物发展的数量关系;测试分析方法,把客观对象作为黑箱子进行测试实验,根据实验数据,应用拟合方法寻找拟合实验数据的最佳模型.一般这两种方法相结合,机理分析确定模型的结构,其中包含未知的参数,应用测试分析方法确定参数.能讲机理时用机理,不能讲机理时用数据.如应用微分分析法得到的人口增长模型，如指数模型，阻滞增长模型，都属于机理分析方法，而其中的参数必须用实际的数据应用测试分析方法确定。二（10 分）、(1).简述数学建模的一般步骤，分析每个步骤的主要内容和注意事项。(2)简述数学模型的表现形态，并举例说明。解：(1)数学建模的一般步骤包括:模型准备-了解实际背景，搜索相关信息，分析影响因素，形成一个清晰的问题。模型假设-分析各种影响因素的关系，确定主要因素和次要因素,对主要因素作出必要的简化假设，引入变量。模型构成-根据特有的规律和所做的假设应用适当的数学工具对实际问题进行建模，得到数学模型。模型求解-应用数学方法和数学软件对模型进行求解。模型分析-对模型误差分析,收敛性分析,稳定性分析和稳健性,局限性分析.模型检验-检验模型的适应性与应用性(有效性).(2)数学模型的表现形态包括线性与非线性,确定性与随机性,离散性与连续,静态与动态等.人口模型中，指数模型为线性的，阻滞增长模型为非线性的，不考虑随机因素的模型为确定性模型，如常见的人口模型。如考虑随机因素，则得到随机人口模型。微分方程属于连续模型，差分方程属于离散模型。随时间变化的微分方程和差分方程都是动态的，如连续优化模型和单阶段离散优化模型与时间无关属于静态模型，三（三（1010 分）分）、（1 1）简述合理分配席位的）简述合理分配席位的-值方法值方法,包括方法的具体实施过程，简述分配席包括方法的具体实施过程，简述分配席Q位的理想化原则。位的理想化原则。（2 2）建立录像机记数器读数与录像带转过时间之间的关系模型，包括模）建立录像机记数器读数与录像带转过时间之间的关系模型，包括模型假设与模型建立全过程。型假设与模型建立全过程。解:(1)合理分配席位的方法 Q-值方法,是实施过程为：（a）按照比例取整方法进行初次分配，（b）对剩余的席位采用动态分配，计算各方的值，即，将剩余的Q)1(2iiiinnpQ该席位分配给较大的一方，（c)依序分配完剩余的席位。iQ第一页(2)模型假设：设空盘半径为，磁带厚度为，转数设为，时间为，速度为，则rwntv考虑转过的磁带的长度，则有2)1(2)(.)2()(2wnnnrnwrwrwrvt故关系模型为。)1(2nnvwnvrv四四(15 分分)（1）建立不允许缺货情况下的存储模型）建立不允许缺货情况下的存储模型,确定订货周期和订货量（包括问题叙述确定订货周期和订货量（包括问题叙述,模型假设和求解过程）模型假设和求解过程）.（2）建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数）建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数，k销售速率为常数销售速率为常数在每个生产周期在每个生产周期 内，开始的一段时间（内，开始的一段时间（）一边生产）一边生产rkr,T00Tt 一边销售，后来的一段时间一边销售，后来的一段时间）只销售不生产设每次生产开工费为）只销售不生产设每次生产开工费为，单位时间，单位时间TtT0(1c每件产品贮存费为每件产品贮存费为，（a)求出存储量求出存储量的表示式并画出示意图。的表示式并画出示意图。（2）以总费用最小为准）以总费用最小为准2c)(tq则确定最优周期则确定最优周期，讨论，讨论的情况的情况Trk 解:（1）定义变量及其参数,定货费,单位时间单位货物的储存费,一周期的总费用,以平均每天的费用为目标,应用微积分得到表示式.10120221)(crTTccrTcTTc10*120202rccTcrTcdTdc订货量为。10*2crcTrQ（2）在时间段，为斜率为的直线，在时间)0(0Tt trktq)()()(rk)(0TtT段，只销售不生产，rtkTTtrTrktq000)()()(单位时间总费用单位时间总费用，使，使取最小值的最佳周期取最小值的最佳周期TkrkrCTCTC2)()(21)(TC。当。当时，时，相当于瞬时生产的情况。，相当于瞬时生产的情况。)(221*rkrCkCTrk rCC2T21*五（15 分）、（1）建立传染病传播的模型并求解（简述假设条件和求解过程），（2）建SIS立模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行分析。SIR解：SIS 模型。设治愈率为，则方程为第二页，)11()1(iiiidtdi2)SIR 模型的方程为2)SIR 模型的方程为,相平面方程为相平面方程为,在相平面上画出相在相平面上画出相00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss轨线，分析变化规律。轨线，分析变化规律。六（15 分）（1）建立一般的战争模型，分析各项所表示的含义。（2）在假设条件下对正规战争模型（忽略增援和非战斗减员）进行建模求解，确定战争abyx9,00结局和结束时间。解：一般战争模型为vyyxgdtdyuxyxfdtdx),(,),(第一项为战斗减员，其表示式依赖于战争类型，第二项为非战斗减员，第三项为增援。正规战争模型。轨线方程为bxdtdyaydtdx,，因此乙方败。要求00002298,08xxyaxaybxaybxaybxdxdy)(Y结束时间，需要对方程求导化为二阶微分方程，通解为yaabydtdxbdtyd2229atatececty3231)(初始条件为。求解得到0009)0(,)0(aybyyyyat62ln*ateeeeeayaayatatatatat62ln0420013111110093311*6633300七（15 分）设渔场鱼量的自然增长服从模型，又单位时间捕捞量七（15 分）设渔场鱼量的自然增长服从模型，又单位时间捕捞量xNrxxln&为讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞为讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞Exh mh强度和渔场鱼量水平强度和渔场鱼量水平mE0 x 解：模型为，有二个稳定点：和。解：模型为，有二个稳定点：和。ExxNrxxFxln)(&0 x r/E0Nex，即不稳定，稳定，即不稳定，稳定)(ln)(ErxNrxF0)(,)0(0rxFF0 x 0 x（与的大小无关）。持续产量为，（与的大小无关）。持续产量为，rE,rEENeEh/)(，最大持续产量为，最大持续产量为，rErENedEdhrE*/01 erNhmeNx*0八（八（10 分）假设商品价格和供应量满足差分方程分）假设商品价格和供应量满足差分方程kykx0)(0),2(0010101yyxxxxxyykkkkk求差分方程的平衡点，推导稳定条件求差分方程的平衡点，推导稳定条件解：令，设极限存在为，则得到k),(*yx，即为平0*0*0*0*0*0*0*0*,),()()()(yyxxxxxxyyxxxxyy),(00yx衡点。由 0)(0),2(0010101yyxxxxxyykkkkk 010102221)(xxxyyxxkkkk整理得到：，其特征方程为，012)1(22xxxxkkk022利用定理可知，其根均小于 1 的条件为和。因，故条1|2|120,0件为220092010 学年第 2 学期20092010 学年第 2 学期数学建模试卷数学建模试卷 专业班级 专业班级 姓 名 姓 名 组号与学号 组号与学号 开课系室 数学与计算科学学院 开课系室 数学与计算科学学院 考试日期 2010 年 7 月 考试日期 2010 年 7 月 B 卷题 号一二三四五六七八总分得 分阅卷人题 号一二三四五六七八总分得 分阅卷人数学模型试卷(1007B)数学模型试卷(1007B)一（15 分）、(1)简述模型概念及其模型的分类;(2)简述数学模型的概念;(3)简述数学模型的特点,包括各项的含义.二（10）(1)简述建立数学模型的一般方法，分析这些方法在建模中的应用;(2)阐述建立数学模型全过程,就数学模型与数学建模过程给出你的理解与认识.第一页三（10 分）、（1）简述建立汽车刹车距离模型的全过程.（2）建立双层玻璃窗的模型，包括模型假设和建模过程,确定双层玻璃间的空隙距离三（10 分）、（1）简述建立汽车刹车距离模型的全过程.（2）建立双层玻璃窗的模型，包括模型假设和建模过程,确定双层玻璃间的空隙距离四(10 分)建立森林救火模型,包括问题叙述,模型假设和求解过程.第二页五（15 分）、（1）建立人口增长的指数模型和阻滞增长模型,并求解.（2）建立传染病传播的模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行SIR分析。六（15 分）(1)建立捕捞情况下的渔场鱼量满足的方程，分析平衡点，在平衡条件下确定捕捞强度以获得最大的持续产量;(2)在(1)的基础上，建立效益模型，确定捕捞强度。六（15 分）(1)建立捕捞情况下的渔场鱼量满足的方程，分析平衡点，在平衡条件下确定捕捞强度以获得最大的持续产量;(2)在(1)的基础上，建立效益模型，确定捕捞强度。第三页七(15 分)(1)建立确定最优价格的数学模型;(2)假设成本随着产量的增加而降低,建立模型并求解.八(10 分)在考虑最优价格问题时设销售期为，由于商品的损耗，成本随第三页七(15 分)(1)建立确定最优价格的数学模型;(2)假设成本随着产量的增加而降低,建立模型并求解.八(10 分)在考虑最优价格问题时设销售期为，由于商品的损耗，成本随Tq时间增长，设，为增长率又设单位时间的销售量为（时间增长，设，为增长率又设单位时间的销售量为（tqq0bpax为价格）。今将销售期分为和两段，每段的价格固定，为价格）。今将销售期分为和两段，每段的价格固定，p2/Tt0Tt2/T记作，求的最优值使销售期内的总利润最大如果要求销售期内记作，求的最优值使销售期内的总利润最大如果要求销售期内21p,p21p,pQ的总售量为，再求的最优值的总售量为，再求的最优值0Q21p,p第四页第四页20082009 学年第 1 学期20082009 学年第 1 学期数学模型试卷参考答案与评分标准数学模型试卷参考答案与评分标准 专业班级 石油工程 07 级 1-14 班 开课系室 应用数学系 考试日期 2008 年 12 月 B 卷数学模型试卷(0812B)参考答案与评分标准数学模型试卷(0812B)参考答案与评分标准一（15 分）、(1)简述模型概念及其模型的分类;(2)简述数学模型的概念;(3)简述数学模型的特点,包括各项的含义.解:(1)模型是原型的替代物,根据特有的目的,反应原型的某一层次某一方面的特征.模型可分为物质模型与抽象模型,物质模型可分为直观模型与物理模型.抽象模型可分为思维思维模型,符号模型与数学模型.(2)数学模型可表述为:对于现实世界的一个特定对象,为了特定的目的,根据特有的规律,作出必要的简化假设,应用适当的数学工具,得到的一个数学结构式.(3)数学模型的特点:模型的逼真性与可行性,模型的渐进性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的稳健性等.二（10）(1)简述建立数学模型的一般方法，分析这些方法在建模中的应用;(2)阐述建立数学模型全过程,就数学模型与数学建模过程给出你的理解与认识.解:解:(1)一般方法包括:机理分析方法,根据客观对象的本质特征和规律,分析事物发展的数量关系;测试分析方法,把客观对象作为黑箱子进行测试实验,根据实验数据,应用拟合方法寻找拟合实验数据的最佳模型.一般这两种方法相结合,机理分析确定模型的结构,其中包含未知的参数,应用测试分析方法确定参数.能讲机理时用机理,不能讲机理时用数据.(2)画出数学建模全过程的流程图,解释四个环节:从现实世界到数学世界的翻译,即将现实世界的问题表示成数学问题,问题求解:应用数学方法对数学模型进行求解.解释:将得到的数学答案解释现实问题,实现从数学世界到现实世界的翻译.验证:根据对现实世界的解释和实际数据的对比验证模型的正确性与有效性.三（10 分）、（1）简述建立汽车刹车距离模型的全过程.（2）建立双层玻璃窗三（10 分）、（1）简述建立汽车刹车距离模型的全过程.（2）建立双层玻璃窗的模型，包括模型假设和建模过程,确定双层玻璃间的空隙距离解:(1)分为反应距离与制动距离,分别建立模型.(2)模型示意图:的模型，包括模型假设和建模过程,确定双层玻璃间的空隙距离解:(1)分为反应距离与制动距离,分别建立模型.(2)模型示意图:,dTTklTTkdTTkQbbaa212111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111,.dTTkQ22112dlhhQQ,18121四(10 分)建立森林救火模型,包括问题叙述,模型假设和求解过程.解:分析问题,定义变量,考虑救援费和损失费.xcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(由得到0dxdC231221122ctctcx五（15 分）、（1）建立人口增长的指数模型和阻滞增长模型,并求解.（2）建立传染病传播的模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行SIR分析。解:指数模型rtextxrxdtdx0)(阻滞增长模型:rtmmmexxxtxxxrxdtdx)1(1)()1(0(2)SIR 模型的方程为,相平面方程为,相轨线为00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss 六（15 分）(1)简述最优化模型的一般形式;(2)写出线性规划的一般形式;(3)给出一个优化问题的例子,阐述建立模型与求解的全过程.解:最优化模型的一般形式 解:最优化模型的一般形式0)(.)(min)xgtsxfMaxi线性规划即为目标函数和约束条件都是线性函数的优化模型,其一般形式为线性规划即为目标函数和约束条件都是线性函数的优化模型,其一般形式为0,)(min11iinjjijniiixbxaxcxf七(10 分)(1)建立确定最优价格的数学模型;(2)假设成本随着产量的增加而降低,建立模型并求解.解：不妨设，是产量增加一个单位成本的降低。代入 4.4 节七(10 分)(1)建立确定最优价格的数学模型;(2)假设成本随着产量的增加而降低,建立模型并求解.解：不妨设，是产量增加一个单位成本的降低。代入 4.4 节kxq)x(q0k（7）式，可求出最优价格为：（7）式，可求出最优价格为：b2a)kbl(2kaqp0*八(10 分)在考虑最优价格问题时设销售期为，由于商品的损耗，成本随八(10 分)在考虑最优价格问题时设销售期为，由于商品的损耗，成本随Tq时间增长，设，为增长率又设单位时间的销售量为（时间增长，设，为增长率又设单位时间的销售量为（tqq0bpax为价格）。今将销售期分为和两段，每段的价格固定，为价格）。今将销售期分为和两段，每段的价格固定，p2/Tt0Tt2/T记作，求的最优值使销售期内的总利润最大如果要求销售期内记作，求的最优值使销售期内的总利润最大如果要求销售期内21p,p21p,pQ的总售量为，再求的最优值的总售量为，再求的最优值0Q21p,p解:解：总利润为解:解：总利润为 dtbpatqpdtbpatqpdttbpatqtpppUTTTT2/222/0111021)()()()()(),()43()()4()(2022011TqpbbpaTqpbbpaT由，可得最优价格为由，可得最优价格为0,021pUpU ，)4Tq(bab21p01)43(2102Tqbabp设总销售量为，设总销售量为，0Q)pp(2bTaTdt)bpa(dt)bpa(Q21T2/T22/T010在此约束条件下的最大值点在此约束条件下的最大值点)p,p(U21出师表出师表8,80201BTbTQbapTbTQbap两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。今当远离，临表涕零，不知所言。