数学培优竞赛新方法(九年级)-第5讲-明快简捷--构造方程的妙用.pdf

24第五讲 明快简捷构造方程的妙用知识纵横有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是：1利用根的定义构造来源:学&科&网 Z&X&X&K 当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根 2利用韦达定理逆定理构造 若问题中有形如，的关系式时，则、可看作方程的两实根来源:学,科,网 Z,X,X,Kayxbxy xy02bazz 3确定主元构造 对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果注：许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法例题求解【例 1】若实数 x 满足._,16545,1634333332222yxyxyx则（全国初中数学联赛题）思路点拨 直接解方程组难度较大，变更主元，将看做某一个一元二次方程的两根，构造方程解。3353、25【例 2】设的值为（）则代数式且,31,3122babbaa2211ba A5 B7 C9 D11 （全国初中数学联赛题）思路点拨 这两个方程具有相同的结构，从利用构造方程入手。【例 3】已知实数、满足，且，求 的取值范围ab122baba22baabtt （“TI 杯”全国初中数学竞赛题）思路点拨 由两个等式可求出、的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度ba ab去探索，有较大的思维空间【例 4】已知实数、满足，abc2cba4abc (1)求、中最大者的最小值；abc(2)求的最小值3cba（“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛题）思路点拨 不妨设 ab，ac，由条件得，构造以 b、c 为实根的一元二次方程，acb2abc4通过0 探求的取值范围，并以此为基础去解(2)a 26【例 5】求方程的非负整数解91292222xyyxyx（江苏省竞赛题）分析 把原方程化为关于 x 的一元二次方程，从判别式入手。三角形内接平行四边形【例 6】如图，某人用一张面积为 S 的三角形纸片 ABC，剪出一个平行四边形DEFG，求证：SDEFG。S21ABCDEFGHR 27学历训练1设 是方程的两个实根，且，则 k 的值是 21xx、02)1(222kxkx8)1)(1(21xx。2在 RtABC 中，斜边 AB5，已知 BC、AC 是一元二次方程的两个根，0)1(4)12(2mxmx则 m 的值是 （四川省竞赛题）3已知、满足是非负实数，且，则的值为 aba10111babaab4若实数 a、b 满足等式，则代数式的值为（）bbaa37,3722baabA B C D 723723723-2或723-2或（广东省竞赛题）5已知梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 SAOB4，SCOD9，则四边形 ABCD 的面积S 的最小值为()A21 B 25 C26 D 36（天津市中考题）6 设，则代数式的值为（）17 a12612322aaaA B C D 242510741274（2011 年“数学周报”全国初中数学竞赛题）7（1）对于任意给定的一个矩形 C，是否存在另一个矩形，使得它的周长和面积都是矩形 C 的 2 倍？说明你的理由。（2）当实数 m 是什么值时，对于任何一个矩形 C 都存在另一个矩形，它的周长和面积都是矩形的 m 倍？28证明你的结论。（台州市中考题）8已知和是正整数，并且满足条件，求的值xy71yxxy88022 xyyx22yx（第 14 届江苏省竞赛题）能力拓展 9已知，其中 m、n 为实数，则 05232 mm03252 nnnm1（第 15 届江苏省竞赛题）10已知 a 为实数，且使关于 x 的一元二次方程有实数根，则 x 所能取到的最大值是 022axax。（山东省竞赛题）11已知，则=，=225221410170 xyxyxyxy12 已知实数，且满足，则的值为 ba 22)1(3)1(3),1(33)1(bbaabaaabb。（全国初中数学竞赛题）13已知、均为实数，且，求的最小值abc0cba2abccba 2914已知为实数，且，若的最大值时 m，最小值是 n，求 m+n 的ba、322baba22baba值。（天津市竞赛题）综合创新15如图，已知ABC 和平行于 BC 的直线 DE，且BDE 的面积等于定值，那么当与BDE 之间满2k2k足什么关系时，存在直线 DE，有几条?16.已知时整数，满足，若关于的方程cb、a22,3,02abccbacx的解只有一个值，求的值。0)(2dabxdcdxd（武汉市竞赛题）30