Matlab基础：实验三 求代数方程的近似根（解）.doc

实验三求代数方程的近似根（解）一、问题背景和实验目的求代数方程的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当是一次多项式时，称为线性方程，否则称之为非线性方程当是非线性方程时，由于的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间，或给出某根的近似值在实际问题抽象出的数学模型中，可以根据物理背景确定；也可根据的草图等方法确定，还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况通过本实验希望你能：1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；2. 求代数方程（组）的解二、 相关函数（命令）及简介1abs( )：求绝对值函数2diff(f)：对独立变量求微分，f 为符号表达式diff(f, a)：对变量a求微分，f 为符号表达式diff(f, a, n)：对变量 a 求 n 次微分，f 为符号表达式例如：syms x tdiff(sin(x2)*t6, t, 6)ans= 720*sin(x2)3roots(c(1), c(2), , c(n+1)：求解多项式的所有根例如：求解：p = 1 -6 -72 -27;r = roots(p)r = 12.1229 -5.7345 -0.38844solve(表达式)：求表达式的解solve(2*sin(x)=1)ans = 1/6*pi5linsolve(A, b)：求线性方程组 A*x=b 的解 例如：A= 9 0; -1 8; b=1; 2;linsolve(A, b)ans= 1/919/726fzero(fun, x0)：在x0附近求fun 的解其中fun为一个定义的函数，用“函数名”方式进行调用例如：fzero(sin, 3)ans= 3.14167subs(f, x , a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x，并计算出值例如：subs(x2 , x , 2)ans = 4三、 实验内容首先，我们介绍几种与求根有关的方法：1 对分法对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根设在上连续，即 ，或，则根据连续函数的介值定理，在内至少存在一点 ，使下面的方法可以求出该根：(1) 令，计算；(2) 若，则是的根，停止计算，输出结果若 ，则令，若，则令，；，有、以及相应的(3) 若 (为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果；反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)以上方法可得到每次缩小一半的区间序列，在中含有方程的根当区间长很小时，取其中点为根的近似值，显然有以上公式可用于估计对分次数分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为的等比级数相同由于，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值2. 迭代法1) 迭代法的基本思想：由方程构造一个等价方程从某个近似根出发，令，可得序列，这种方法称为迭代法若 收敛，即，只要连续，有即可知，的极限是的根，也就是的根当然，若发散，迭代法就失败以下给出迭代过程收敛的一些判别方法：定义：如果根的某个邻域中，使对任意的，迭代过程，收敛，则称迭代过程在附近局部收敛定理1： 设，在的某个邻域内连续，并且，则对任何，由迭代决定的序列收敛于定理2：条件同定理 1，则定理3：已知方程，且(1) 对任意的，有(2) 对任意的，有，则对任意的，迭代生成的序列收敛于的根，且 以上给出的收敛定理中的条件要严格验证都较困难，实用时常用以下不严格的标准：当根区间较小，且对某一，明显小于1时，则迭代收敛 (参见附录3)2) 迭代法的加速：a) 松弛法：若与同是的近似值，则是两个近似值的加权平均，其中称为权重，现通过确定看能否得到加速迭代方程是：其中，令，试确定：当时，有，即当，时，可望获得较好的加速效果，于是有松弛法：，松弛法的加速效果是明显的 (见附录4)，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛b) Altken方法：松弛法要先计算，在使用中有时不方便，为此发展出以下的 Altken 公式：，是它的根，是其近似根设，因为，用差商近似代替，有 ，解出，得由此得出公式 ；，这就是Altken 公式，它的加速效果也是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛(见附录5)3. 牛顿(Newton)法（牛顿切线法）1) 牛顿法的基本思想：是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法记：是一次多项式，用作为的近似方程的解为 记为，一般地，记 即为牛顿法公式.2) 牛顿法的收敛速度：对牛顿法，迭代形式为：注意分子上的，所以当时，牛顿法至少是二阶收敛的，而在重根附近，牛顿法是线性收敛的牛顿法的缺点是：(1)对重根收敛很慢；(2)对初值要求较严，要求相当接近真值因此，常用其他方法确定初值，再用牛顿法提高精度4. 求方程根(解)的其它方法(1) solve(x3-3*x+1=0)(2) roots(1 0 -3 1)(3) fzero(x3-3*x+1, -2)(4) fzero(x3-3*x+1, 0.5)(5) fzero(x3-3*x+1, 1.4)(6) linsolve(1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 0, 1, 2, 3)体会一下，(2)(5) 用了上述 13 中的哪一种方法？以下是本实验中的几个具体的实验，详细的程序清单参见附录具体实验1：对分法先作图观察方程：的实根的分布区间，再利用对分法在这些区间上分别求出根的近似值输入以下命令，可得的图象：f=x3-3*x+1; g=0; ezplot(f, -4, 4); hold on; ezplot(g, -4, 4); %目的是画出直线 y=0，即 x 轴grid on; axis(-4 4 -5 5); hold off请填写下表：实根的分布区间 该区间上根的近似值在某区间上求根的近似值的对分法程序参见附录1具体实验2：普通迭代法采用迭代过程：求方程在 0.5 附近的根，精确到第 4 位小数构造等价方程：用迭代公式： ，用 Matlab 编写的程序参见附录2请利用上述程序填写下表：分析：将附录2第4行中的分别改为以及，问运行的结果是什么？你能分析得到其中的原因吗？看看下面的“具体实验3”是想向你表达一个什么意思用 Matlab 编写的程序参见附录3具体实验3：收敛/发散判断设方程的三个根近似地取，和，这些近似值可以用上面的对分法求得迭代形式一：收敛 (很可能收敛，下同)不收敛 (很可能不收敛，下同) 不收敛迭代形式二： 收敛 不收敛 不收敛迭代形式三： 不收敛收敛收敛具体实验4：迭代法的加速1松弛迭代法，迭代公式为 程序参见附录4具体实验5：迭代法的加速2Altken迭代法迭代公式为：，程序参见附录5具体实验6：牛顿法用牛顿法计算方程在-2到2之间的三个根提示：，迭代公式：程序参见附录6 （牛顿法程序）具体实验7：其他方法求下列代数方程（组）的解：（1）命令：solve(x5-x+1=0)（2）命令：x, y=solve(2*x+3*y=0, 4*x2+3*y=1)(3) 求线性方程组的解，已知，命令：for i=1:5for j=1:5m(i, j)=i+j-1;endendm(5, 5)=0;b=1:5linsolve(m, b)思考：若 ，或是类似的但阶数更大的稀疏方阵，则应如何得到？四、自己动手1对分法可以用来求偶重根附近的近似解吗? 为什么?2对照具体实验2、4、5，你可以得出什么结论?3选择适当的迭代过程，分别使用：（1）普通迭代法；（2）与之相应的松弛迭代法和 Altken 迭代法求解方程 在 1.4 附近的根，精确到4位小数，请注意迭代次数的变化4分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程 的正的近似根，(建议取 时间许可的话，可进一步考虑 的情况)五、附录附录1：对分法程序（fulu1.m）syms x fx;a=0;b=1;fx=x3-3*x+1;x=(a+b)/2;k=0;ffx=subs(fx, x, x);if ffx=0; disp(the root is:, num2str(x)else disp(k ak bk f(xk)while abs(ffx)0.0001 & ab; disp(num2str(k), , num2str(a), , num2str(b), , num2str(ffx) fa=subs(fx, x, a);ffx=subs(fx, x, x);if fa*ffx0.0001; disp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(ffx); x=subs(gx, x, x);ffx=subs(fx, x, x);k=k+1;enddisp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(ffx)附录3：收敛/发散判断（fulu3.m）syms x g1 g2 g3 dg1 dg2 dg3;x1=0.347;x2=1.53;x3=-1.88;g1=(x3+1)/3;dg1=diff(g1, x);g2=1/(3-x2);dg2=diff(g2, x);g3=(3*x-1)(1/3);dg3=diff(g3, x);disp(1 , num2str(abs(subs(dg1, x, x1), , . num2str(abs(subs(dg1, x, x2), , num2str(abs(subs(dg1, x, x3)disp(2 , num2str(abs(subs(dg2, x, x1), , . num2str(abs(subs(dg2, x, x2), , num2str(abs(subs(dg2, x, x3)disp(3 , num2str(abs(subs(dg3, x, x1), , . num2str(abs(subs(dg3, x, x2), , num2str(abs(subs(dg3, x, x3)附录4：松弛迭代法（fulu4.m）syms fx gx x dgx;gx=(x3+1)/3;fx=x3-3*x+1;dgx=diff(gx, x);x=0.5;k=0;ggx=subs(gx, x, x);ffx=subs(fx, x, x);dgxx=subs(dgx, x, x);disp(k x w)while abs(ffx)0.0001; w=1/(1-dgxx); disp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(w) x=(1-w)*x+w*ggx;k=k+1; ggx=subs(gx, x, x);ffx=subs(fx, x, x);dgxx=subs(dgx, x, x);end disp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(w)附录5： Altken 迭代法（fulu5.m） syms x fx gx;gx=(x3+1)/3;fx=x3-3*x+1;disp(k x x1 x2)x=0.5;k=0;ffx=subs(fx, x, x);while abs(ffx)0.0001;u=subs(gx, x, x);v=subs(gx, x, u); disp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(u), , num2str(v)x=v-(v-u)2/(v-2*u+x);k=k+1;ffx=subs(fx, x, x);enddisp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(u), , num2str(v)附录6：牛顿法（fulu6.m）syms x fx gx;fx=x3-3*x+1;gx=diff(fx, x);x1=-2;x2=0.5;x3=1.4;k=0;disp(k x1 x2 x3)fx1=subs(fx, x, x1);fx2=subs(fx, x, x2);fx3=subs(fx, x, x3);gx1=subs(gx, x, x1);gx2=subs(gx, x, x2);gx3=subs(gx, x, x3);while abs(fx1)0.0001|abs(fx2)0.0001|abs(fx3)0.0001;disp(num2str(k), , num2str(x1), , num2str(x2), , num2str(x3) x1=x1-fx1/gx1;x2=x2-fx2/gx2;x3=x3-fx3/gx3;k=k+1; fx1=subs(fx, x, x1);fx2=subs(fx, x, x2);fx3=subs(fx, x, x3); gx1=subs(gx, x, x1);gx2=subs(gx, x, x2);gx3=subs(gx, x, x3);enddisp(num2str(k), , num2str(x1), , num2str(x2), , num2str(x3)