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七年级三角形四大模型2016年01月07日liwei的初中数学组卷一选择题（共5小题）1（2015春扬中市校级期末）如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，A=30，C=45COD固定不动，AOB绕着O点逆时针旋转（0180 ）（1）若AOB绕着O点旋转图2的位置，若BOD=60，则AOC=；（2）若090，在旋转的过程中BOD+AOC的值会发生变化吗？若不变化，请求出这个定值；（3）若90180，问题（2）中的结论还成立吗？说明理由；（4）将AOB绕点O逆时针旋转度（0180），问当为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直？（请直接写出所有答案）2（2014赤峰）如图1，E是直线AB，CD内部一点，ABCD，连接EA，ED（1）探究猜想：若A=30，D=40，则AED等于多少度？若A=20，D=60，则AED等于多少度？猜想图1中AED，EAB，EDC的关系并证明你的结论（2）拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域、位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：PEB，PFC，EPF的关系（不要求证明）3（2013秋微山县期中）如图，若DBC=D，BD平分ABC，ABC=50，则BCD的大小为（）A50B100C130D1504（2013春连云区校级月考）如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15，再前进10m，又向右转15，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是（）A120B150C240D3605如图，在ABC中，A=42，ABC和ACB的三等分线分别交于点D，E，则BDC的度数是（）A67B84C88D110二填空题（共3小题）6（2007遵义）如图所示是重叠的两个直角三角形将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到DEF如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为cm27（2013秋和县期末）如图，ACD是ABC的外角，ABC的平分线与ACD的平分线交于点A1，A1BC的平分线与A1CD的平分线交于点A2，An1BC的平分线与An1CD的平分线交于点An设A=则：（1）A1=；（2）A2=；（3）An=8（2013秋綦江县校级期中）如图，在ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积等于三解答题（共9小题）9（2009春江阴市校级月考）一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗？画出所有可能的图形，并分别说出内角和和外角和变化情况10（2014春相城区月考）如图，A=65，ABD=30，ACB=72，且CE平分ACB，求BEC的度数11（2015春建湖县校级月考）我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DEAI分别交AB、AC于点D、E（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了BIC与BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理 BAC的度数406090120BIC的度数BDI的度数12（2007福州）如图，直线ACBD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成PAC，APB，PBD三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角）（1）当动点P落在第部分时，求证：APB=PAC+PBD；（2）当动点P落在第部分时，APB=PAC+PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明13（2013春常熟市期末）已知ABC中，A=60（1）如图，ABC、ACB的角平分线交于点D，则BOC=（2）如图，ABC、ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则BO2C=（3）如图，ABC、ACB的n等分线分别对应交于O1、O2On1（内部有n1个点），求BOn1C（用n的代数式表示）（4）如图，已知ABC、ACB的n等分线分别对应交于O1、O2On1，若BOn1C=90，求n的值14（2013春徐州期末）如图，ABC两个外角（CAD、ACE）的平分线相交于点P探索P与B有怎样的数量关系，并证明你的结论15（2008春临川区校级期末）如图，BD、CD分别是ABC和ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，试探索A与D之间的数量关系，并证明你的结论16（2013春工业园区期末）如图，已知ABDE，BF，EF分别平分ABC与CED，若BCE=140，求BFE的度数17（2013春海陵区期末）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明A+B=C+D；（2）如图2，ABCD，AP、CP分别平分BAD、BCD，图2中共有 个“8字形”；若ABC=80，ADC=38，求P的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法）猜想图2中P与B+D的数量关系，并说明理由2016年01月07日liwei的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共5小题）1（2015春扬中市校级期末）如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，A=30，C=45COD固定不动，AOB绕着O点逆时针旋转（0180 ）（1）若AOB绕着O点旋转图2的位置，若BOD=60，则AOC=120；（2）若090，在旋转的过程中BOD+AOC的值会发生变化吗？若不变化，请求出这个定值；（3）若90180，问题（2）中的结论还成立吗？说明理由；（4）将AOB绕点O逆时针旋转度（0180），问当为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直？（请直接写出所有答案）【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；旋转的性质菁优网版权所有【分析】（1）BOD=60，AOB旋转了30（2）若090，AOC=COD+AOD，BOD+AOC=（BOD+AOD）+COD=90+90=180，在旋转的过程中BOD+AOC的值不变化（3）若90180，BOD+AOC=360（COD+AOB）=180【解答】解：（1）BOD=60，AOB绕着O点旋转了30，即AOD=30，AOC=AOD+COD=30+90=120；（2）若090，AOD=，AOC=COD+AOD，BOD+AOC=（BOD+AOD）+COD=90+90=180，在旋转的过程中BOD+AOC的值不变化，BOD+AOC=180；（3）若90180，问题（2）中的结论还成立理由：若90180，AOB=COD=90；又BOD+AOC+AOB+COD=360BOD+AOC=360AODCOD=3609090=180；（4）=90、60、45、105、150、135时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直【点评】本题考查了三角形旋转的性质，注意旋转角相等，旋转前后的图形不变2（2014赤峰）如图1，E是直线AB，CD内部一点，ABCD，连接EA，ED（1）探究猜想：若A=30，D=40，则AED等于多少度？若A=20，D=60，则AED等于多少度？猜想图1中AED，EAB，EDC的关系并证明你的结论（2）拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域、位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：PEB，PFC，EPF的关系（不要求证明）【考点】平行线的性质菁优网版权所有【专题】阅读型；分类讨论【分析】（1）根据图形猜想得出所求角度数即可；根据图形猜想得出所求角度数即可；猜想得到三角关系，理由为：延长AE与DC交于F点，由AB与DC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换即可得证；（2）分四个区域分别找出三个角关系即可【解答】解：（1）AED=70；AED=80；猜想：AED=EAB+EDC，证明：延长AE交DC于点F，ABDC，EAB=EFD，AED为EDF的外角，AED=EDF+EFD=EAB+EDC；（2）根据题意得：点P在区域时，EPF=360（PEB+PFC）；点P在区域时，EPF=PEB+PFC；点P在区域时，EPF=PEBPFC；点P在区域时，EPF=PFCPEB【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键3（2013秋微山县期中）如图，若DBC=D，BD平分ABC，ABC=50，则BCD的大小为（）A50B100C130D150【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义菁优网版权所有【分析】根据角平分线定义求得DBC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求解【解答】解：BD平分ABC，ABC=50，DBC=ABC=25又DBC=D，BCD=180252=130故选C【点评】此题综合运用了角平分线定义和三角形的内角和定理4（2013春连云区校级月考）如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15，再前进10m，又向右转15，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是（）A120B150C240D360【考点】多边形内角与外角菁优网版权所有【专题】计算题【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是15度的正多边形，求得边数，即可求解【解答】解：36015=24，则一共走了2410=240m故选C【点评】本题考查了正多边形的外角的计算，第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是15度的正多边形是关键5如图，在ABC中，A=42，ABC和ACB的三等分线分别交于点D，E，则BDC的度数是（）A67B84C88D110【考点】三角形内角和定理菁优网版权所有【分析】根据三角形的内角和定理可得ABC+ACB=138，再由B和C的三等分线可得DBC+DCB，即可求得BDC的度数【解答】解：A=42，ABC+ACB=18042=138，DBC+DCB=138=92，BDC=18092=88故选C【点评】本题考查的是三角形内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180这一隐含的条件二填空题（共3小题）6（2007遵义）如图所示是重叠的两个直角三角形将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到DEF如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为26cm2【考点】相似三角形的判定与性质；平移的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】根据平移的性质可知：AB=DE，BE=CF；由此可求出EH和CF的长由于CHDF，可得出ECHEFD，根据相似三角形的对应边成比例，可求出EC的长已知了EH、EC，DE、EF的长，即可求出ECH和EFD的面积，进而可求出阴影部分的面积【解答】解：由平移的性质知，DE=AB=8，CF=BE=4，DEC=B=90EH=DEDH=5cmHCDFECHEFD=，又BE=CF，EC=，EF=EC+CF=，S阴影=SEFDSECH=DEEFECEH=26cm2【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的面积公式和平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等7（2013秋和县期末）如图，ACD是ABC的外角，ABC的平分线与ACD的平分线交于点A1，A1BC的平分线与A1CD的平分线交于点A2，An1BC的平分线与An1CD的平分线交于点An设A=则：（1）A1=；（2）A2=；（3）An=【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质菁优网版权所有【分析】（1）根据角平分线的定义可得A1BC=ABC，A1CD=ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ACD=A+ABC，A1CD=A1BC+A1，整理即可得解；（2）与（1）同理求出A2；（3）根据求出的结果，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解【解答】（1）解：（1）A1B是ABC的平分线，A1C是ACD的平分线，A1BC=ABC，A1CD=ACD，又ACD=A+ABC，A1CD=A1BC+A1，（A+ABC）=ABC+A1，A1=A，A=，A1=，故答案为：；（2）同理可得A2=A1=，故答案为：；（3）同理可得A2=A1=，所以An=故答案为：【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键8（2013秋綦江县校级期中）如图，在ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积等于2cm2【考点】三角形的面积菁优网版权所有【分析】如图，因为点F是CE的中点，所以BEF的底是BEC的底的一半，BEF高等于BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，EBC与ABC同底，EBC的高是ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答【解答】解：如图，点F是CE的中点，BEF的底是EF，BEC的底是EC，即EF=EC，高相等；SBEF=SBEC，D、E、分别是BC、AD的中点，同理得，SEBC=SABC，SBEF=SABC，且SABC=8cm2，SBEF=2cm2，即阴影部分的面积为2cm2，故答案是：2cm2【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍结合图形直观解答三解答题（共9小题）9（2009春江阴市校级月考）一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗？画出所有可能的图形，并分别说出内角和和外角和变化情况【考点】多边形内角与外角菁优网版权所有【分析】先根据截去一个角后的图形是三角形、四边形或五边形画出图形，再根据三角形及多边形的内角和定理即可解答【解答】解：锯掉一个角时可能出现以下几种情况，如答图因此剩下的图形可能是五边形、四边形、三角形，内角和可能为540、360、180外角和无变化，外角和为360【点评】此题比较简单，考查的是多边形的外角和及内角和定理，解答此题时要熟知：（1）任意多边形的外角和为360；（2）多边形的内角和=（n2）18010（2014春相城区月考）如图，A=65，ABD=30，ACB=72，且CE平分ACB，求BEC的度数【考点】三角形内角和定理菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】先根据A=65，ACB=72得出ABC的度数，再由ABD=30得出CBD的度数，根据CE平分ACB得出BCE的度数，根据BEC=180BCECBD即可得出结论【解答】解：在ABC中，A=65，ACB=72ABC=43ABD=30CBD=ABCABD=13CE平分ACBBCE=ACB=36在BCE中，BEC=1801336=131故答案为：131【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180是解答此题的关键11（2015春建湖县校级月考）我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DEAI分别交AB、AC于点D、E（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了BIC与BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理 BAC的度数406090120BIC的度数BDI的度数【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理菁优网版权所有【专题】探究型【分析】（1）通过画图、度量，即可完成表格；（2）先从上表中发现BIC=BDI，再分别证明BIC=90+BAC，BDI=90+BAC【解答】解：（1）填写表格如下：BAC的度数406090120BIC的度数110 120 135150 BDI的度数110 120135 150 （2）BIC=BDI，理由如下：ABC的三条内角平分线相交于点I，BIC=180（IBC+ICB）=180（ABC+ACB）=180（180BAC）=90+BAC；AI平分BAC，DAI=DAEDEAI于I，AID=90BDI=AID+DAI=90+BACBIC=BDI【点评】本题主要考查了三角形的内心的性质，三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质以及垂线的性质，比较简单12（2007福州）如图，直线ACBD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成PAC，APB，PBD三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角）（1）当动点P落在第部分时，求证：APB=PAC+PBD；（2）当动点P落在第部分时，APB=PAC+PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明【考点】平行线的性质；角平分线的性质菁优网版权所有【专题】动点型；探究型【分析】（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由ACBD，可知PEA=PBD由APB=PAE+PEA，可知APB=PAC+PBD；（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论【解答】解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点EACBD，PEA=PBDAPB=PAE+PEA，APB=PAC+PBD；解法二：如图2过点P作FPAC，PAC=APFACBD，FPBDFPB=PBDAPB=APF+FPB=PAC+PBD；解法三：如图3，ACBD，CAB+ABD=180，PAC+PAB+PBA+PBD=180又APB+PBA+PAB=180，APB=PAC+PBD（2）不成立（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是：PBD=PAC+APB（b）当动点P在射线BA上，结论是：PBD=PAC+APB或PAC=PBD+APB或APB=0，PAC=PBD（任写一个即可）（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是PAC=APB+PBD选择（a）证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于MACBD，PMC=PBD又PMC=PAM+APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），PBD=PAC+APB选择（b）证明：如图5点P在射线BA上，APB=0度ACBD，PBD=PACPBD=PAC+APB或PAC=PBD+APB或APB=0，PAC=PBD选择（c）证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于FACBD，PFA=PBDPAC=APF+PFA，PAC=APB+PBD【点评】此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况认真做好（1）（2）小题，可以为（3）小题提供思路13（2013春常熟市期末）已知ABC中，A=60（1）如图，ABC、ACB的角平分线交于点D，则BOC=120（2）如图，ABC、ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则BO2C=100（3）如图，ABC、ACB的n等分线分别对应交于O1、O2On1（内部有n1个点），求BOn1C（用n的代数式表示）（4）如图，已知ABC、ACB的n等分线分别对应交于O1、O2On1，若BOn1C=90，求n的值【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质菁优网版权所有【专题】规律型【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得ABC+ACB，再根据角平分线的定义求得OBC+OCB，即可求出BOC（2）先根据三角形内角和定理求得ABC+ACB，再根据三等分线的定义求得O2BC+O2CB，即可求出BO2C（3）先根据三角形内角和定理求得ABC+ACB，再根据n等分线的定义求得On1BC+On1CB，即可求出BOn1C（4）依据（3）的结论即可求出n的值【解答】解：BAC=60，ABC+ACB=120，（1）点O是ABC与ACB的角平分线的交点，OBC+OCB=（ABC+ACB）=60，BOC=120；（2）点O2是ABC与ACB的三等分线的交点，O2BC+O2CB=（ABC+ACB）=80，BO2C=100；（3）点On1是ABC与ACB的n等分线的交点，On1BC+On1CB=（ABC+ACB）=120，BOn1C=180120=（1+）60；（4）由（3）得：（1+）60=90，解得：n=4【点评】此题练习角的等分线的性质以及三角形内角和定理根据题意找出规律是解题的关键14（2013春徐州期末）如图，ABC两个外角（CAD、ACE）的平分线相交于点P探索P与B有怎样的数量关系，并证明你的结论【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质菁优网版权所有【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出PAC和PCA，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解【解答】解：由三角形的外角性质，DAC=B+ACB，ACE=B+BAC，PA、PC分别是DAC和ACE的角平分线，PAC=DAC=（B+ACB），PCA=ACE=（B+BAC），在ACP中，P+PAC+PCA=180，P+（B+ACB）+（B+BAC）=180，2P+B+ACB+B+BAC=360，在ABC中，ACB+B+BAC=180，2P+B=180，P=90B【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质与定理并准确识图是解题的关键，整体思想的利用也很关键15（2008春临川区校级期末）如图，BD、CD分别是ABC和ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，试探索A与D之间的数量关系，并证明你的结论【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义菁优网版权所有【专题】探究型【分析】先根据角平分线的性质求出DBC、DCB与A的关系，再根据三角形内角和定理求解即可【解答】解：BD、CD是ABC和ACB的角平分线，DBC=ABC，DCB=ACB，ABC+ACB=180A，BDC=180DBCDCB=180（ABC+ACB）=180（180A）=90+A，BDC=90+A【点评】本题考查的是角平分线的性质及三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形的内角和为18016（2013春工业园区期末）如图，已知ABDE，BF，EF分别平分ABC与CED，若BCE=140，求BFE的度数【考点】平行线的性质；角平分线的定义菁优网版权所有【专题】计算题【分析】过点C作CPAB，然后利用两直线平行，内错角相等得到ABC+CED=BCP+ECP=BCE=140；同理过点F作FMDE，则BFM=ABF，MFE=DEF，结合角平分线的性质就可求出BFE的度数【解答】解：如图，过点C作CPAB，则BCP=ABC，ECP=CED，ABC+CED=BCP+ECP=BCE=140；又BF，EF分别平分ABC，CED，ABF=ABC，DEF=DEC；ABF+DEF=（ABC+DEC）=70，过点F作FMDE，则BFM=ABF，MFE=DEF，BFE=BFM+MFE=ABF+DEF=70【点评】本题主要考查作辅助线构造三条互相平行的直线，然后利用平行线的性质和角的和差关系求解17（2013春海陵区期末）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明A+B=C+D；（2）如图2，ABCD，AP、CP分别平分BAD、BCD，图2中共有6 个“8字形”；若ABC=80，ADC=38，求P的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法）猜想图2中P与B+D的数量关系，并说明理由【考点】三角形内角和定理；平行线的性质；三角形的外角性质菁优网版权所有【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出AEB与DEC，再根据对顶角相等可得AEB=DEC，然后整理即可得解；（2）根据“8字形”的结构特点，根据交点写出“8字形”的三角形，然后确定即可；根据（1）的关系式求出DCOBAO=42，再根据角平分线的定义求出DAMPCM，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；根据“8字形”用B、D表示出OCDOAB，再用B、P表示出BAMPCM，然后根据角平分线的定义可得BAMPCM=（OCDOAB），然后整理即可得证【解答】解：（1）在AEB中，AEB=180AB，在DEC中，DEC=180DC，AEB=DEC（对顶角相等），180AB=180DC，A+B=D+C；（2）交点有点M、N各有1个，交点O有4个，所以，“8字形”图形共有6个；故答案为：6；ABC=80，ADC=38，OAB+80=DOC+38，DCOBAO=42，AP、CP分别是DAB和BCD的角平分线，DAM=DAB，PCM=OCD，又DAM+P=PCD+ADC，P=PCD+ADCDAM=（DCOBAO）+ADC=42+38=59；根据“8字形”数量关系，OAB+B=OCD+D，BAM+B=PCM+P，所以，OCDOAB=BD，PCMBAM=BP，AP、CP分别是DAB和BCD的角平分线，BAM=OAB，PCM=OCD，（BD）=BP，整理得，2P=B+D【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键第43页（共43页）