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全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师1高三数学中断考试知识点小结 考点：复数【知识点】：(1)复数的概念：我们把形式的数叫做复数，其中分别叫做复数的实部)1,(2iRbabia、ba、bia 与虚部；当时，为实数；当时，为纯虚数.0babia0,0babibia相等：；dbcadicbia(2)复数的四则运算：、加：，idbcadicbia)()()()(、减：，idbcadicbia)()()()(、乘：，iadbcbdacdicbia)()()()(、除：.22)()()()(dciadbcbdacdicdicdicbiadicbia(3)复数的几何意义：、与点对应：复数在复平面中对应于点，bia),(ba、与向量对应：复数对应向量，bia),(baOZ(4)与 有关的几个速算公式：i、与相关的运算：，(如ni12iii314iii 5126 ii ，连续 4 个为一组，共 25 组，答案为 0)，100432.iiiii、与、相关的运算：，(如)，2)1(i2)1(iii2)1(2ii2)1(24)1(4ii、与、相关的运算：，(如).ii11ii11iii11iii11221)1)(2(2iii 考点：集合【知识点】：(1)常见函数的定义域：、对数型(如，直接法，答案)，)1ln(x1,、幂型(如，直接法，答案)，0)1(xyRxxx,1 、分数型(如，直接法，答案)，)1ln(1xy)1,0(0,U、根号型(如，直接法，答案).1lnxy,1e(2)常见函数的值域：、一次函数(如，直接法，用函数单调性)，1,1,12xxy、二次函数(如,配方法,数形结合),xxy221,1,22xxxy全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师2、三次函数(如,导数法，数形结合)，2,2,33xxxy、指数函数型(如；，数形结合)，xy21,1,2xyx、对数函数型(如，直接法，用函数单调性)，)1(log2xy、双勾函数型(如，图象法或基本不等式法)，xxy2、三角函数型(如，换元法，公式法).xxysin2xxysin3cos(3)常见不等式的解法：、一元一次不等式(如，直接法，用不等式的性质)，021 x、一元二次不等式(如，十字相乘法；，求根公式法；022 xx012 xx，参数讨论法)，)(02Raaxx 、分式不等式(如，转化为积的形式；，移项转化为前面的类型；011xx111xx，观察法)，0112xxx 、指数型不等式(如，常数指数化法，);12x021NaaNlog 、对数型不等式(如，常数对数化法，)，2log3x9log3log2323NaaNlog 、三角型(如，数形结合法)，01sin2x 、综合型(如，图象法).22xx(4)集合的概念及基本运算：、看准集合元素的含义；、子集、交集、并集、补集运算；(5)与列举法相关的问题：设集合，集合，则；)1ln(xyxAZxxyyB,120,1BAI(6)、与韦因图相关的问题：设全集，集合，集合，则用阴影部分表示，正RU)1ln(xyxA2xyyBBAI确的是()A(7)、与数轴相关的问题：设集合，集合，则，则实数的取值11xxA11axaxBBAIa范围是 ；方法 1(直接法)：由结合数轴得或，有或BAI111a111a20 a，即；02a22a方法 2(补集法)：当时，结合数轴得或，即或时，BAI11a11a2a2a，故时，必有).BAIBAI22a全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师3(8)与充要条件有关的问题：考点：圆锥曲线基础题【知识点】(1)圆锥曲线的定义：、椭圆：到两定点12,F F的距离之和为定值2a(即122(22)PFPFaac)的点 P 的集合，、双曲线：到两定点12,F F的距离之差为定值2a(即122(22)PFPFaac)的点 P 的集合，、抛物线：到定点F与到定直线距离相等(即(0)PFd d)的点 P 的集合，(2)圆锥曲线的焦点：、椭圆22221(0)xyabab与22221(0)yxabab的焦点分别为12(,0),(,0)FcF c与12(0,),(0,)Fc Fc，其中222cab，(如22134xy的焦点为12(0,1),(0,1)FF)，、双曲线22221(0,0)xyabab与22221(0,0)yxabab的焦点分别为12(,0),(,0)FcF c与12(0,),(0,)Fc Fc，其中222cab，(如222xy的焦点为12(2,0),(2,0)FF)，、抛物线22(0)ypx p、22(0)ypx p、22(0)xpy p、22(0)xpy p 的焦点分别为(,0)2p、(,0)2p、(0,)2p、(0,)2p，(如22yx的焦点为1(0,)8)，(3)双曲线的渐近线与抛物线的准线：、双曲线22221(0,0)xyabab与22221(0,0)yxabab的渐近线分别为22220 xyab与22220yxab，即byxa 与ayxb，(如222xy的渐近线为yx)，、抛物线22(0)ypx p、22(0)ypx p、22(0)xpy p、22(0)xpy p 的准线分别为2px 、2px、2py 、2py，(如22yx的准线为18y )，考点：平面向量【知识点】、共线(又称平行)向量：ababP(或 ba)12210 x yx y，(如(1,2)a与(2,)yb平行，则4y )，全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师4、垂直向量：0aba b12120 x xy y，(如(1,2)a与(2,)yb垂直，则1y)，、向量的夹角：cosgga ba b，其中0,180 oo，(i)夹角为锐角0 ga bab(如(1,2)a与(2,)kb的夹角为锐角，k的取值范围是1k 且4k)，(ii)夹角为钝角0 ga bab(如(1,2)a与(2,)kb的夹角为钝角，k的取值范围是1k )；、向量的模：222xyaa，(如a与b的夹角为60o，且1ab，则1ab)，、数量积：cosa bab，(如1ab，ab，()(3)k abab，则3k)，、向量的投影：a在b上的投影为cosa，b在a上的投影为cosb，(如(2,3)a，(4,7)b，则a在b上的投影等于565).考点：三视图与直观图【知识点】(1)由三视图联想直观图：、三角形联想到锥体(棱锥或圆锥)；、长方体联想到柱体(棱柱或圆柱)；、圆联想到圆柱、圆锥或球；、梯形联想到台体(棱台或圆台)；、综合型联想到组合体；(2)由直观图计算三视图的面积：先在投影墙上画出三视图，再求其面积，(3)直观图体积的计算：、柱体(棱柱或圆柱)VSh(从考虑高h入手)，、锥体(棱锥或圆锥)13VSh(从考虑高h入手)，、台体(棱台或圆台)(考到会给出公式)，、球343VR，、不规则几何体：割补法；、组合体：V 各几何体的体积和.(4)直观图面积的计算：全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师5xyOP(x,y)xyra柱体(棱柱或圆柱)S 各展开面的面积之和(由对称性简化计算量)，锥体(棱锥或圆锥)S 各展开面的面积之和(注意扇形的面积1,2rSrll)，台体(棱台或圆台)S 各展开面的面积之和(注意曲边梯形的面积1()2Sccl下上)，(考到会给出公式)，球24SR，组合体：S 各展开面的面积之和.考点：三角函数6、角终边过点，则=()2,1(PsinA、B、C、D、5555255552【审题】回顾三角函数的定义，求出，回代可计算得的值.rysin22yxrsin【详解】由，得，选 B.52)1(22 OPr55252sin【分析】用特殊理解一般的方法掌握三角函数的定义，如图，有，其中，对于其他rysinrxcosxytan22yxr象限也成立.【知识点】：(1)与分类讨论相关的问题：如角终边过点，则或，)0)(2,(aaaP552sin552(2)与直线相关的问题：如角的终边在直线20 xy上，则或，552sin552(3)与正弦线、余弦线、正切线相关的问题：如已知角的正弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边在()BA、x轴上 B、y轴上 C、直线yx上 D、直线yx 上若将正弦线换为余弦线、正切线呢？(x轴上、直线yx上或直线yx 上).(4)涉及简单的化简求值问题：知sin求cos型：如已知3sin5，则cos45，知sin求tan型：如已知3sin5，则tan34，知tan求sin型：如已知为锐角，且3tan4，则sin35，知tan求sin与cos的齐次型：如已知3tan4，则sincossincos7，21sincoscos94.考点：线性规划题全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师67、已知x、y满足约束条件，则zxy的取值范围为()0220102yxyxA、2,1 B、2,1 C、1,2 D、1,2【审题】解决线性规划问题有三步曲：(1)画(画出可行域)，画出可行域如图所示，(2)变(将目标函数变形，从中抽象出截距或斜利或距离)，将yxz，即()yxz，将直线0:lyx平移得直线l，当直线l过点(0,1)A时，截距()z有最大值，即z有最小值，当直线l过点(2,0)B时，截距()z有最小值，即z有最大值；(3)代(将合适的点代到原来目标函数中求所求的最值)，将点(0,1)A代入zxy得min011z ，将点(2,0)B代入zxy得max202z，有 1,2z.【知识点】(1)截距不变型：如求zyx的取值范围，(2,1z)，如求zxy的取值范围，(1,3z)，(2)条件含参数型：已知x、y满足约束条件，且zyx的最小值为4，则实数k 2,020102kyxyx已知x、y满足约束条件，且存在无数组(,)x y使得zyax取得最小值，0220102yxyx则实数a,21(3)斜率型：已知x、y满足约束条件，则11yx的取值范围是1,23,0220102yxyx(4)距离型(圆半径平方型2R)：已知x、y满足约束条件，则22xy的取值范0220102yxyx围是4,55，(5)隐含型：已知函数2()f xxaxb的一个零点在 1,0)内，另一个零点在(0,1内，则2ab的最小值为2.考点：命题与充要条件8、以下有关命题的说法错误的是()A、命题“若2320 xx，则1x”的逆否命题为“若1x,则2320 xx”B、“1x”是“2320 xx”的充分不必要条件全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师7原命题：若原命题：若，则，则pq逆命题：若逆命题：若，则，则qp否命题：若否命题：若，则，则pq逆否命题：若逆否命题：若，则，则qp互逆互逆互逆互逆互否互否互否互否逆逆否否否否同真假同真假C、若pq为假命题，则p、q均为假命题D、对于命题:px R，使得210 xx，则:px R，则210 xx【审题】“若p，则q”的逆否命题为“若q，则p”，知 A 正确，“1x”“2320 xx”即1x 或2x)，而“1x”“2320 xx”，知 B 正确，若pq为假命题，说明p、q中至少有一个为假命题，知 C 错，命题“x，使p”的否定为“x，使p”，知 D 正确.【易错警示】若对四种命题、充要条件、复合命题、含有一个量词命题的否定等相关概念理解不透彻，容易出现错选.【知识点】(1)四种命题：(2)充要条件：AB充要，A 是 B 的充分条件，B 是 A 的必要条件，AB充要要充，A 是 B 的充要条件，B 是 A 的充要条件，AB 充要要充，A 是 B 的充分不必要条件，B 是 A 的必要不充分条件，AB 充要要充，A 是 B 的必要不充分条件，B 是 A 的充分不必要条件，AB 充要要充，A 是 B 的既不充分也不必要条件，B 是 A 的既不充分也不必要条件，(3)含有(并)、(且)、(非)的复合命题：pq为真p、q至少一个为真(即一真一假或两真)，pq为假p、q均为假，pq为真p、q均为真(即两真),pq为假p、q至少一个为假(即一真一假或两假)，p为真p为假，p与p必一真一假，pq为真，pq为假p、q一真一假(即p真、q假或p假、q真)，“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“都是”的否定是“不都是”；(4)含有一个量词命题的否定(命题的否定，即否定原说法(结论)：“x，使p”的否定是“x，使p”，(即不是任意的x，使p成立，也即存在某个x，使p成立，如“x R，使得210 xx”的否定是“不是任意的x，使得210 xx”，也即存在某个xR，使得210 xx)，“x，使p”的否定是“x，使p”，(即不存在某个x，使p成立，也即对任意的x，使p成立，如“x R，使得210 xx”全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师8xyOx0 x1y1y2xxyyOO(1,0)(0,1)y=ax(a1)y=ax(0a1)y=logax(0a1 a=1 0a1 a0 a=0图图 c(1)指数函数、对数函数与幂函数的图象：指数函数的图象如图 a 所示，对数函数的图象如图 b 所示，幂函数在第一象限的图象如图 c 所示，对于第二、三象限的图象(第四象限没有图象)可根据ayx的奇偶性(或非奇非偶)画出.(2)指数运算(幂运算)：mnm naaa；()mnmnaa；1mmaa；mm nnaaa；nnmmaa；01(0)aa.(3)对数运算：logloglogaaaMNMN；logloglogaaaMMNN；loglogmnaanbbm；logloglogcacbba；loglog1abba；log 10a；log1aa；lg0.11；(10lg0.1log 0.1)ln1e.(lnlogeee)(4)方程的实根与函数图象的交点关系：方程()()f xg x的实根为0 x函数()f x与()g x的图象的交点横坐标为0 x，方程()()f xg x的实根为0 x函数()()()h xf xg x的图象与x轴交点的横坐标为0 x，(5)判断函数单调性质的常用方法：观察分析法：(i)增+增=增；(ii)减+减=减；(iii),xyL=增；(iv),xyL=减；定义法：(i)1221,()()0 xxf xf xL为增；(ii)1221,()()0 xxf xf xL为减，导数法：(i)()0fxL，则()f x为增函数；(ii)()0fxL，则()f x为减函数，(6)常用的求导公式：0C,1()nnxnx,(sin)cosxx,(cos)sinxx ,1(ln)xx,1(log)lnaxxa,()xxee,()lnxxaaa.()kuku,()uvuv ,()uvu vuv,2()uu vuvvv.如求下列函数的导数：(1)2()(1)()f xxxa，(2)()lnf xxx，(3)ln()xf xx，全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师10(4)()xf xxe，(5)21()lnf xxx，(6)2()2logxf xx,(7)1()f xx,(8)()f xx.【题型】：信息体，也叫定义题：(1)新定义运算问题：如广东文科数学 2010 年第 10 题，2011 年惠州三模文 10，对任意实数,x y，定义运算xyaxbycxy，其中,a b c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知1 23,2 34，并且有一个非零常数m，使得对任意实数x，都有x mx，则m的值是()A、4 B、4C、5 D、6提示：由定义有xcxmbmaxmx对任意实数 x 恒成立，且 m0,令1543223211.0,0,0cacacacxyaxyxbbmx得由5x-mx=x 对任意实数 x 恒成立,m=4.故选 A.【点拨】：根据新定义的运算、代入、化简、变形，转化为常规问题.(2)新定义概念问题：在平面向量中有如下定理：设点,O P Q R为同一平面内的点，则,P Q R三点共线的充要条件是：存在实数t，使(1)OPt OQtORuuu ruuu ruuu r.如图，在ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且2CFFA，BF交CE于点M，设AMxAEyAFuuu u ruuu ruuu r，则()A、43,55xy B、34,55xyC、23,55xy D、32,55xy提示：因为点 B、M、F 三点共线，则存在实数 t，使AM(1)t ABtAFuuu u ruuu ruuu r.又2ABAEuuu ruuu r，13AFACuuu ruuu r，则AM2(1)3tt AEACuuu u ruuu ruuu r.因为点 C、M、E 三点共线，则2(1)13tt，所以35t.故43,55xy，故选 A.(3)新定义计算问题：如广东文科数学 2007 年第 10 题、广东文科数学 2009 年第 10 题.如图 3 是某汽车维修公司的维修点环形分布图,公司在年初分配给 A、B、C、D 四个维修点某种配件各 50 件在使用前发现需将 A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为 40、45、54、61 件，但调整只能在相邻维修点之间进行那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为（）A、18 B、17 C、16 D、15【提示】：A 给 D10 件，调动 10 次，B 给 C5 件，调动 5 次，C 给 D1 件，调动 1 次，共 16 次【点拨】：根据新定义的计算方法、列举，计算种数.BCAEFM全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师11考点：统计问题【知识点】：(1)简单随机抽样(又称抽签法)：抓住一部分元素固定，另一部分元素调整变更进行列举.(2)系统抽样(又等距抽样)：抽取样本数n个，即要平均分为n段(多余的要用随机抽样法剔除)，等距离地每组抽取 1 个；如某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1，2，295，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为 59 的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第 58 段所抽到的编号为 288，则第 1 段抽到的编号为 .【点拨】：需将编号为 1，2，295 平均分为 59 段，每段295595人，等距为 5，设第 1 段抽到的编号为n，则第 2 段抽到的编号为5n，第 3 段抽到的编号为25n，第 58 段抽到的编号为575n，即有575288n，得3n.也可从后面倒推回来.(3)四个特征数：众数：一列数中，数字出现次数最多的为众数(一列数的众数不一定存在)，如 1，3，5，2，2 的众数为 2，而 1，3，3，5，2，2 的众数不存在.中位数：先将一列数从小到大排列，中间的一个数(或中间的两个数的平均数)为中位数，如 1，3，5，2，2 的中位数为 2，而 1，3，3，5，2，2 的中位数为232.52.平均数：；在计算频率分布直方图(频率分布)中平均数时，通常用个数总数平均数 每组的组中值计算；如 2010 年广东省约有 22 万考生参加了文科高考考试，除去成绩为 670分(含 670 分)以上的 6 人，及成绩为 350 分(不含 350 分)以下的 38390 人，还有 19.4 万考生的成绩集中在350，670)内，其成绩频率分布表如图所示，请估计 2010 年全省考生成绩在350,670)内的平均分(精确到 1).【点拨】：由所给的数据估计 2010 年全省考生成绩在350,670)内的平均分为：6500.0076100.0615700.1545300.1934900.1834500.1614100.1333700.1084.55443.9339.96488.44488分.方差：2211()niisxxn，标准差211()niisxxn.(4)三图：频率分布直方图：注意纵坐标为“”，要计算频率，需用“纵坐标值组距”组距频率、茎叶图：将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干(茎)，将变化大的位的数作为分枝(叶)、折线图：考点：等差(比)数列基础题【知识点】分数段频率630,670)0.007590,630)0.061550,590)0.154510,550)0.193470,510)0.183430,470)0.161390,430)0.133350,390)0.108全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师12 (1)等差数列问题：通项公式：(i)1(1)naand，(ii)()nmaanm d，前n项和公式：(i)1()2nnn aaS，(ii)1(1)2nn nSnad，奇数项和21nS与na：21(21)nnSna，对称性：若pqrs，则pqrsaaaa，特别地ra是pa与qa的等差中项，则2pqraaa，nS的最值问题：(i)当10,0ad时，nS取得最大值100nnaa，(ii)当10,0ad时，nS取得最小值100nnaa，注：知nS求na时，用“nS与na法”，即：当1n 时，11aSL，当2n 时，1nnnaSSL，(2)等比数列问题：通项公式：(i)11nnaa q，(ii)n mnmaa q，前n项和公式：(i)当1q 时，1nSna，(ii)当1q 时，1(1)1nnaqSq，n为项数，对称性：若pqrs，则pqrsaaa agg，特别地ra是pa与qa的等比中项，则2pqraaag，(3)等差数列与等比数列综合问题：综合运用以上公式，列方程组解决问题.(二)选做题(1415 题，考生只能从中选做一题)考点：极坐标与参数方程问题，选做题【知识点】(1)极坐标系问题：极坐标与直角坐标的互化：互化公式(i)cossinxy；互化公式(ii)22tanxyyx，如(i)将sin()4化为直角坐标方程为222222xyyx，(ii)将()6R化为直角坐标方程为33yx，全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师13OOOxxxxOaacosasinaaOOOxxxxOaar2 cosa22 sinara(,)P a bt(,)C a brxxyyOOcos()sinxattybt为参数tan()ybxa消去参数消去参数 t222()()xaybr消去参数消去参数cos()sinxarybr为参数(iii)将21xy化为极坐标方程为cos2 sin1，(iv)将2yx化为极坐标方程为2sincos，直线、圆的极坐标方程：(i)直线的极坐标方程：(ii)圆的极坐标方程：(2)参数方程问题：直线的参数方程与普通方程如将参数方程化为普通方程为24xy，反之则有多个参数方程，为参数）ttytx(221将参数方程化为普通方程为22(1)(2)4xy，反之则有多个参数方程；为参数）(sin22cos21yx消去参数的常用方法(类似于方程的解法)：(i)代入消参法：如的普通方程为212yx，为参数）(2cossinyx(ii)加减消参法：如为参数)的普通方程为224xy.为参数）tttyttx(11 考点：平面几何问题，选做题全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师14l1l2l3A1A2A3B1B2B3有12231223A AA AB BB B或12122323A AB BA AB B123/lllABCEF/EFBC有AEEBAFFC或AEAFEBFCABCD90ACBoCDAB222CDAD BDACAD ABBCBD BAgggABCDPPPPABCDABCAB相交弦定理相交弦定理割线定理割线定理切割线定理切割线定理切线长定理切线长定理PA PBPC PDggPA PBPC PDgg2PAPB PCgPAPBPPAAB切线性质切线性质垂径定理垂径定理OPABOOAPAOP 是是 AB 中点中点【知识点】(1)平行线与三角形：平行线分线段成比例定理：平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如右图，相似三角形：判定 性质(i)两角对应相等(即三角对应相等)；(i)三角对应相等、三边对应成比例(相似比)；(ii)两边对应成比例及夹角相等；(ii)对应中线、高、角平分线的比=相似比；(iii)三边对应成比例；(iii)周长、外接圆半径、内切圆半径比=相似比；(iv)面积比=(相似比)平方;(2)直角三角形的射影定理：(3)与圆有关的角：圆周角：(i)直径所对的圆周角为直角，(ii)等弧(或等弦)所对的圆周角相等，(iii)等弧(或等弦)所对的圆心角等于所对的圆周角的 2 倍；弦切角(即弦与切线所成的角)：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；与内接四边形相关的角：(i)对角互补，(ii)外角等于它的内对角；(4)与圆相关的线段：(5)两个常用性质、定理：全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师15(6)两个解三角形定理：正弦定理；余弦定理.三、解答题(本大题共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，16、(本小题满分 12 分)已知函数()2sin2cos2,f xxx xR；(1)求函数()f x的最大值及取得最大值的自变量x的集合；(2)求函数()f x的单调增区间 考点：三角化简求值、三角函数的图象与性质【审题】(1)sin2cos2xx为辅助角公式22sincossin()abab模型，依此化简，并注意到tanba及点(,)a b所在的象限可求得，从而得()f x的最大值与x的集合；(2)令t，参考sinyt的图象观察其单调性质可得sinyt的增区间，再换算为x的范围可得()f x的单调增区间.【详解】解：(1)()2sin2cos2f xxx22sin(2)4x 4 分当2242xk，即()8xkk Z时，f x取得最大值22.因此，f x取得最大值的自变量x的集合是,8x xkk Z.8 分(2)22sin(2)4fxx，由题意得222()242kxkkZ，即3()88kxkk Z.因此，f x的单调增区间是3,88kkkZ.12 分【备注】(1)三角公式的选用有很强的模型特征，如sincosab为辅助角公式模型，sin()、cos()为两角和与差的正(余)弦公式模型，2sin x、2cos x为二倍角模型，sin()2、全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师16cos()2为诱导公式模型，熟练这些模型是快速找到解题入口的关键，(2)sincosab22sin()ab中的极易求错，需认准sin在前cos在后，且sin前面的系数为a,cos前面的系数为b，由比值tanba及点(,)a b所在的象限才能唯一确定.17、(本小题满分 12 分)考点：古典概率问题【知识点】(1)函数的零点：函数()f x在,a b上连续，且()()0f af b，()f x在(,)a b上至少存在 1个零点(若()f x在(,)a b为单调函数，则()f x在(,)a b上存在唯一 1 个零点)；如函数()lnf xxx的零点所在的区间是()B.A、1(0,)4 B、1 1(,)4 2 C、1(,1)2 D、(1,2)(2)二次函数2()(0)f xaxbxc a的图象与性质：开口方向向上型(0)a：对称轴为2bxa，()f x在(,)2ba 上递减，在(,)2ba上递增，开口方向向下型(0)a：对称轴为2bxa，()f x在(,)2ba 上递增，在(,)2ba上递减，二次函数21yaxx在1,)上为增函数，则实数a的取值范围是1,)2.(3)古典概率的求法，列举法设全部事件的总数为m，事件A发生的种数为n，则事件A发生的概率()nP Am.(4)几何概率的求法，长度法、面积法、体积法与长度有关的几何概型概率：与面积有关的几何概型概率：与体积有关的几何概型概率：考点：立几平行与垂直的证明、体积与面积的计算【知识点】(1)“线/线”的证明方法：中位线法，线段成比例法，构造平行四边形法，线/面法，(2)“线/面”的证明方法：线/线法，面/面法，(3)“面/面”的证明方法：两次线/面法，两面垂直于同一直线(或两条平行直线)法，(4)“线线”的证明方法：勾股定理逆定理法(用计算来证明)，线面法，如本题，证明CDPA，(5)“线面”的证明方法：全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师17两次线线法，面面，线交线法，如本题，证明CD 平面PAD，(6)“面面”的证明方法：线面，线在另一面上法，如本题，设K是PB上的任一点，证明平面CDK 平面PAD，(7)体积的求法：以寻高为核心，先证明线面，说明高，再求高与底面积，有时需要变换底面.19、(本小题满分 14 分)考点：函数与不等式综合题【小结】(1)曲线切线的求法与应用：一抓切点(未知时需要设为00(,)P xy)；二抓斜率0()kfx，三用点斜式求切线方程，如，已点P在直线1yx上，点Q在曲线lnyx上，则PQ的最小值为2，(提示：将直线1yx平移到与曲线lnyx相切，求得切点(1,0)，再求切点到直线1yx的距离即可)，(2)导数与函数的单调性：函数单调区间的求法：(i)求()fx，(ii)令()0fx解得()f x的增区间(注：若有多个增区间，需用“，”隔开，减区间的同样)，令()0fx解得()f x的减区间，含有参数的，需要分类讨论(二次函数的用数形结合或变量分离法)，如求函数()ayxaxR的增区间(答案：0a 时，R；0a 时，(,),(,)aa)，知单调区间求参数取值范围：(i)()f x在区间U上单调递增()0fx在区间U上恒成立，且()0fx不恒成立，(ii)()f x在区间U上单调递减()0fx在区间U上恒成立，且()0fx不恒成立，(3)导数与函数的极值：(i)由()0fx求可能的极值点，(ii)由()0fx与()0fx考虑()f x的单调性(注：有时可以直接给出，如321132yxxx)，(iii)由单调性判断并计算出极值1()fx、2()fx(注：若求的是极值点，则只需求出12,xx xx)，(4)导数与函数的最值：(i)用(3)中的方法求出所有的极值，(ii)求端点值；(iii)比较极值与端点值得最值，(5)参数问题范围的常用求法：变量分离法：数形结合法：反客为主法：如已知函数2()f xxaxa，当 1,1a 时，()0f x 恒成交，求x的取值范围，(答案1515(1,)22U，全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师18提示：将()f x变形为2()(1)f xxax，令2()(1),1,1g axax a，变成了关于a的一次函数，分类讨论，当1x 时，()10g a 成立，当1x 时，10 x ，2min()(1)10g agxx 成立，当1x 时，10 x ，2min()(1)(1)0g agxx，解得152x或152x，又1512，有1512x 或152x；要使在 1,1上的任意a，()0f x 成立，必须1512x 或152x)；分类讨论法：如上面的求x的范围时就用到了分类讨论法，判别式“”法：如函数2yxaxa在R上0y 恒成立，求实数a的取值范围，(答案0,4，提示：由240aa 得)，换元法：基本不等式法：考点：直线、圆、圆锥曲线问题【知识点】(1)直线方程的求法：知点00(,)P xy与斜率k用点斜式：00()yyk xx，知两点1122(,),(,)A x yB xy用点斜式：211121()yyyyxxxx，知斜率k与y轴上的截距b用斜截式：ykxb，知在x轴上的截距a与y轴上的截距b用截距：1xyab，知与x轴或y轴垂直的直线数形结合直接写出：xa或yb，(2)两直线111:lyk xb、222:lyk xb平行与垂直：1212/llkk，且12bb(注：12bb时，1l与2l重合，若要求平行，需排除)，12121llk k g(注：若知两直线互相垂直，及1k，可据此求2k)，(3)与距离相关的公式：两点1122(,),(,)A x yB xy间的距离：222121()()dxxyy，点00(,)xy到直线0AxByC的距离：0022AxByCdAB，两平行直线11:0lAxByC、22:0lAxByC间的距离：2122CCdAB，(4)直线与圆的位置关系：相离：dr，考虑圆周上一点到直线的最大距离(dr)与最小距离(dr)，相切：dr，(i)求切线方程，(ii)求圆的方程，全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导 咨询电话：[phone] 范老师19相交：dr，(i)求弦方程，(ii)求弦长222ABrd，(5)直线与圆锥曲线的位置关系：没有交点：方程组没有实根(消去x或y后，0)；Cl只有一个交点：方程组有相等实根(消去x或y后，0)；Cl只两个交点：方程组有不相等实根(消去x或y后，0)；Cl(6)圆与圆锥曲线的位置关系：没有交点：方程组没有实根(消去x或y后，0)；Cl只有一个交点：方程组有相等实根(消去x或y后，0)；Cl有两个或两个以上交点：方程组有不相等实根(消去x或y后，0)；Cl 考点：函数、数列与不等式问题【知识点】(1)基本数列(等差数列、等比数列)通项的求法：公式法，(2)递推数列通项的求法：na与nS法：当1n 时，11aSL，当2n 时，1nnnaSSL，在数列na中，111,2nnaaS，则21,12 3,2nnnang，累加法：出现1()nnaaf n型可用，如在数列na中，11a，11nnaan，则(1)12nn na，累积法：出现1()nnaf