专题09-机械能守恒定律和功能关系-教案1.doc

专题09-机械能守恒定律和功能关系-教案1

专题09 机械能守恒定律和功能关系
一.功 功率
力对物体所做的功，等于力的大小、位移大小、力和位移的夹角的余弦这三者的乘积。 功跟完成这些功所用的时间的比值叫做功率。
1.功
(1)对功的计算式W=Fs cosθ的认识：
计算式中的F必须是恒力，即F的大小和方向都不能变化，否则F、cosθ都不是定值，利用W=Fs cosθ就不能计算功了。 一个力F做功的多少与其他力及物体的运动状态无关。比如，外力F作用在水平面上一物体，物体前进的位移是s，那么F所做的功等于F·s。 水平面光滑与否不影响功的大小。
如图所示，在其他条件相同的情况下，如果μ≠0，则v1′＞v2′。

在有些情况下， 将s看作力F作用点移动的位移，可以使问题变得简单。如图所示， 一根十分细软的质量不能忽略的弹簧平放在粗糙的水平面上，一恒定外力F作用其一端， 并使得弹簧在平移中有形变。如果用力F和力的作用点移动的位移s， 求F所做的功，显然是比较简单的。

(2)怎样计算物体在力作用下沿圆周运动的功：
如图所示， 质点在大小不变， 方向始终沿圆周的切线方向的外力F作用下， 沿半径为R的圆周运动一周， 那么外力F做的功等于多少呢? 能否以为质点运动一周的位移为零， F所做的功也等于零呢? 如果不等于零， 如何计算呢?

由于F是变力，是大小不变，而方向始终变化着的力，所以不能直接应用公式W=F·s cosθ求解，而应该将圆周分割成无穷多等份，每一等份大小等于Δs， 方向为圆周的切线方向，和此时的外力F方向相同。力F在这段位移内所做的功为W1=F·Δs1，同样，在其他“位置”，F做的功为W2=F·Δs2， W3=F·Δs3……，Wn=F·Δsn，力F在质点运动一周后，外力F累积做的功为：
W=W1+W2+…+Wn=F(Δs1+Δs2+…Δsn)=F·n·=2πFR。
(3)对形变物体做功的讨论：
划船、引船靠岸、登山、爬楼梯等都属于形变物体自身的不同部分交替做功的实例，如图甲所示，某人划小船前行，当人奋力向前推桨柄时，桨叶向后拨水，假设水并没有移动，但水给了桨一个反作用力，方向向前推动船前行。那么，对船(包括人)做功的力是水的推力吗？不是。因为水的推力作用点并没有随桨一起向前移动，根据W=F·s可知，当s等于零时，F做功为零。实际上，在人向前推桨柄时，作为船体一部分的桨叶推动船向前运动，桨叶对船做功，水只不过给了桨叶一个支撑点，水并没有对桨做功，当桨叶出水并在空中向前换位时，实际上作为船的一部分的人向后拉桨柄，通过船体带动桨叶换位成功，也是船体的一部分对另外一部分做功的结果。当然，归根到底还是人做功的结果。

同样，读者可以试着解释图乙中引船靠岸和丙中爬楼梯过程中的做功问题。
2.功率
(1)功率是描述力做功快慢的物理量，其定义式为P=，所求出的功率是时间t内的平均功率。
(2)功率也可以用力和速度来表示，其数学表达式为P=F·v cosθ，式中θ是力与速度的夹角。
此公式有两种使用方法：
一种是求某时刻的瞬时功率。这时速度v取瞬时值；
另一种是求某段时间内的平均功率。 这时的速度v取平均速度，并且外力F必须是恒力。
常常利用P=F·v讨论功率、牵引力、速度的关系。如在机械功率一定时，速度小，牵引力大，速度大，牵引力小。
【难点突破】
利用功率和牛顿第二定律讨论汽车加速问题。
汽车加速有两种形式：以恒定功率加速和以恒定牵引力加速。
以恒定功率加速。 由公式P =Fv和F-f =ma可知a=，随着v的不断增大，F必将减小，最后导致a减小，汽车做加速度不断减小的变加速运动，直到F=f，a=0，这时速度达到最大值，vm=。
以恒定牵引力加速。 由公式P=Fv和F-f =ma可知P =(f + ma)v，因为F恒定，所以a恒定，速度v均匀增大，功率P也均匀增大，直到P增大到额定功率Pm，这时匀加速运动结束，匀加速运动的最大速度vm′=。如果汽车继续加速，只能做功率恒定的变加速运动了。直到a=0，即F=f，汽车达到了和第一种情况一样的全程最大速度，vm=。
【例题】物体由静止在光滑水平面上，先对物体施以水平向右的恒力F1，经时间t后撤去F1，立即再对它施一水平向左的恒力F2，又经过t时间后物体回到原出发点，在这一过程中，F1、F2分别对物体做功W1、W2的关系是
A.W1=W2　　　B.W2=2W1　　　C.W2=3W1　　　D.W2=5W1
【分析】

【题解】

【答案】C
【例题】人的心脏每跳一次大约输送8×10-5m3的血液，正常人的血压（可看做心脏输送血液的压强）的平均值约为1.5×104Pa， 心脏每分钟跳70次，据此估计心脏工作的平均功率为_____W。
【分析】

【题解】

【答案】1.4
【例题】质量为m的物块放在光滑的水平面上，绳经滑轮与水平方向成θ角，用大小为F的力拉物块，如图所示。 将物块由A点拉至B点，物块前进了s位移。 求外力F对物块m所做的功有多大？

【分析】

【题解】

【答案】
二.动能 动能定理

1.物体由于运动而具有的能量叫做动能。
物体的动能等于物体质量与物体速度的二次方的乘积的一半。
2.动能定理
(1)动能定理的不同表达
一种是：合外力做的功等于物体动能的变化。 这里的合外力是指物体受到的所有外力的合力， 包括重力、弹力、摩擦力等。
另一种是：外力对物体做功的总和等于物体动能的变化。利用这一种表述解决问题往往比较方便，不必求合力，特别是在全过程的不同阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功按代数和加起来，就能得到总功。
动能定理的数学表达式是：W=ΔEk
和动量定理一样，动能定理描述的也是过程量（功）和状态量（动能）之间的联系。 这样求合外力的功还是求物体的动能变化，有了两种不同的选择。
(2)应用动能定理解题的步骤：
①明确研究对象和研究过程。
②对研究对象进行受力分析。
③写出在全过程中合外力所做的功或各个外力做功的代数和。
④写出物体的初、末动能量。
⑤根据动能定理列方程求解。
【难点突破】
动能与动量的区别
动能和动量都是状态量，即都是描述物体运动状态的物理量。动能只有大小，没有方向，是标量，动量是矢量。动能和动量的大小关系是Ek=或P=。因此对于某一个物体，其动能发生变化时，动量必然发生变化，而其动量发生变化，动能不一定发生变化。 动能的变化就是物体初末状态动能直接相减，而动量变化应是物体初末状态动量的矢量差，很有可能等于初末状态动量大小之和。
【例题】有一炮竖直向上发射炮弹。 炮弹质量为M=6.0 kg（内含炸药的质量可以忽略不计），射出的初速度v0=60 m/s。 当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片，其中一片质量为m=4.0 kg。 现要求这一片不能落到以发射点为圆心，以R=600 m为半径的圆周范围内，则刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大? (g=10 m/s2， 忽略空气阻力)
【分析】

【题解】

【答案】
【例题】如图所示，水平轨道上停放着质量mA=5.0×102kg的小车A，在A的右方L=8.0 m处，另一小车B正以速度vB=4.0 m/s向右做匀速直线运动而远离A车，为使A车能经过t=10.0 s时间追上B车，立即给A车适当施加向右的水平推力，使小车做匀变速直线运动，设小车受到水平轨道的阻力是车重的0.1倍，试问在追及过程中，推力至少需做多少功？（g=10 m/s2)

【分析】

【题解】

【答案】
三.重力势能及重力做功 弹性势能
物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能。物体的重力势能等于物体的重力和它的高度的乘积。发生形变的物体，在恢复原状时能够对外界做功，因而具有能量，这种能量叫做弹性势能。
1.重力势能
(1)重力势能的数学表达式是EP=mgh。式中高度h是一个相对量，所以EP也是一个相对量。在分析物体的重力势能，应该首先选取一个水平参考面，做为零势能参考平面，和参考平面相距h的高度上，物体的重力势能等于mgh。重力势能是标量，当物体所处的位置高于参考面时，h是正值，重力势能是正值，与物体所处的位置低于参考平面时，h是负值，重力势能是负值。
(2)重力做功跟重力势能改变的关系： 当物体由高处向低处运动时，重力做正功，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；当物体由低处向高处运动时，重力做负功，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功（或表述为增加的重力势能等于重力所做的负功）。用公式表示为WG=-ΔEP或WG=EP1-EP2。
2.弹性势能
弹性势能跟物体发生形变的程度和材料的性质有关。 同一个物体，形变量越大，弹性势能越大，形变量越小，弹性势能越小。 在中学阶段不引入弹性势能的数学的表达式，关于弹性势能的定量计算，只能用功、能等相关量间接得到。
【难点突破】
重力做功的特点：
重力所做的功只跟初位置的高度h1和末位置的高度h2有关，跟物体运动的路径无关。
因此计算重力对物体做功时，只需找到物体所受的重力和物体初末位置的落差即可。
【例题】有一种叫做“蹦极跳”的运动中，质量为m的游戏者身系一根长为L、弹性优良的轻质柔软橡皮绳，从高处由静止开始下落1.5L时到达最低点，若在下落过程中不计空气阻力，则以下说法正确的是：
A.速度先增大后减小 B.加速度先减小后增大
C.动能增加了mgL D.势能减少了mgL
【分析】

【题解】

【答案】A
【例题】如图所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物体1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态，现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端脱离桌面。在此过程中，物块2的重力势能增加了　　，物块1的重力势能增加了　　。

【分析】

【题解】

【答案】
四.机械能守恒定律
在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变，这个结论叫做机械能守恒定律。 机械能守恒定律还可以表述为，如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力的相互转化时，机械能的总量保持不变。
1.对机械能守恒定律的理解
动能和势能统称机械能，势能包括重力势能和弹性势能，对于一个系统来说，机械能的总量等于动能和势能之和。因此，机械能守恒定律涉及的是一个系统机械能问题。重力势能是系统中重物和地球所共有的，弹性势能是系统中和重物有关联的发生弹性形变的物体（如弹簧）具有的。系统动能中的速度是重物相对于地面的速度。
2.机械能守恒定律的各种表达式
用系统的状态量表示　　　　　E初=E末
用系统状态量的增量表示　　　ΔE=0
用系统动能增量和势能增量间的关系表示　　ΔEK=-ΔEP
3.运用机械能守恒定律的解题步骤
(1)选取研究对象，明确物理过程。
(2)判断机械能是否守恒。
(3)选取零势能参考平面，写出初、末状态的动能和势能。
(4)选定合适的表达式列方程求解。
【难点突破】
1.当系统内物体较少时，往往根据只有“重力做功”或“弹簧弹力做功”来判断机械能守恒。 当系统内物体较多时，往往根据是否有“摩擦和介质阻
力”来判断机械能是否守恒。
2.只有重力或弹簧弹力做功并不意味着系统只受重力和弹簧弹力作用。物
只要受到的其他力不做功或做功的代数和等于零，机械能就守恒。
【例题】在光滑水平面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都是m。现B球静止，A球向B球运动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为EP。则碰前A球的速度等于：
A.　　　　B.　　　　C. 　　　　D.
【分析】

【题解】

【答案】C
【例题】如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m。开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与B间无摩擦。设当A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大高度H。

【分析】

【题解】

【答案】1.2s
【例题】如图所示，在横截面为半圆形，半径为R的光滑圆柱上，用一根 不可伸长的细绳两端分别系着物体A和B，且mA=2mB， 让其由静止开始释放，试问：
(1)物体B能否到达半圆顶点？
(2)若要B能过半圆顶点，mA应满足的条件是什么？

【分析】

【题解】

【答案】
【例题】如图所示，重物A、B、C的质量相等，A、B用细绳绕过轻小定滑轮相连接。 开始时，A、B静止，滑轮间细绳长L=0.6m。现将C物体轻轻挂在绳的中点，求：
(1) C下落多大高度时速度最大？C的最大速度是多少？
(2) C下落的最大距离是多少？

【分析】

【题解】

【答案】