MatlabPDE工具箱有限元法求解偏微分方程.doc

- .
在科学技术各领域中，有很多问题都可以归结为偏微分方程问题。在物理专业的力学、热学、电学、光学、近代物理课程中都可遇见偏微分方程。
偏微分方程，再加上边界条件、初始条件构成的数学模型，只有在很特殊情况下才可求得解析解。随着计算机技术的开展，采用数值计算方法，可以得到其数值解。
偏微分方程根本形式

而以上的偏微分方程都能利用PDE工具箱求解。

PDE工具箱

PDE工具箱的使用步骤表达了有限元法求解问题的根本思路，包括如下根本步骤：
1) 建立几何模型
2) 定义边界条件
3) 定义PDE类型和PDE系数
4) 三角形网格划分
5) 有限元求解
6) 解的图形表达
以上步骤充分表达在PDE工具箱的菜单栏和工具栏顺序上，如下

具体实现如下。

翻开工具箱
输入pdetool可以翻开偏微分方程求解工具箱，如下

首先需要选择应用模式，工具箱根据实际问题的不同提供了很多应用模式，用户可以基于适当的模式进展建模和分析。
在Options菜单的Application菜单项下可以做选择，如下

或者直接在工具栏上选择，如下

列表框中各应用模式的意义为：
① Generic Scalar：一般标量模式〔为默认选项〕。
② Generic System：一般系统模式。
③ Structural Mech.，Plane Stress：构造力学平面应力。
④ Structural Mech.，Plane Strain：构造力学平面应变。
⑤ Electrostatics：静电学。
⑥ Magnetostatics：电磁学。
⑦ Ac Power Electromagnetics：交流电电磁学。
⑧ Conductive Media DC：直流导电介质。
⑨ Heat Tranfer：热传导。
⑩ Diffusion：扩散。
可以根据自己的具体问题做相应的选择，这里要求解偏微分方程，故使用默认值。此外，对于其他具体的工程应用模式，此工具箱已经开展到了sol Multiphysics软件，它提供了更强大的建模、求解功能。
另外，可以在菜单Options下做一些全局的设置，如下

l Grid：显示网格
l Grid Spacing…：控制网格的显示位置
l Snap：建模时捕捉网格节点，建模时可以翻开
l Axes Limits…：设置坐标系围
l Axes Equal：同Matlab的命令axes equal命令
建立几何模型
使用菜单Draw的命令或使用工具箱命令可以实现简单几何模型的建立，如下

各项代表的意义分别为
l 绘制矩形或方形；
l 绘制同心矩形或方形；
l 绘制椭圆或圆；
l 绘制同心椭圆或圆；
l 绘制多义线。
这里只绘制一个圆如下

定义边界条件
选择Boundary菜单下的Specify Boundary Conditions…，如下

定义PDE类型和PDE系数
选择PDE菜单下的PDE Specifications…，如下

三角形网格划分
选择Mesh菜单下的Initialize Mesh初始化三角形网格，再选择Refine Mesh改良初始网格并细化网格，如下
初始化网格

细化网格

另外还可以进一步选择Jiggle Mesh微调网格。最后可以选择Display Triangle Quality显示三角形网格的质量图，其中1表示质量最好，0表示最差，如下

有限元求解
选择Solve菜单下的Solve PDE选项进展PDE问题的求解，如下

解的图形表达
选择Plot菜单下的Parameters…可以设置显示的效果，如下

显示结果如下

比拟数值解与准确解的误差：

可见数值解的精度是很高的。

. word.zl.