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一次函数、反比例函数知识点总结及典型题

一次函数、反比例函数知识点总结及经典试题
（一） 函数
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为_______，把y称为______，y是x的______。
＊判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应
3、定义域：一般的，一个函数的_______允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为_________；
（2）关系式含有分式时，分式的______________；
（3）关系式含有二次根式时，____________________；
（4）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式.
6、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：____（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：____（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：_____（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
（二） 一次函数
1、一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当时，一次函数，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当，时，仍是一次函数．
⑶当，时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
2、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
(2) 必过点：（0，0）、（1，k）
(3) 走向：k>0时，图像经过______象限；k<0时，图像经过_________象限
(4) 增减性：k>0，y随x的__________；k<0，_____________
(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
3、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0) （2）必过点：（0，b）和（-，0）
（3）走向： 直线经过___________象限 直线经过_____________象限
直线经过___________象限 直线经过______________象限
（4） 增减性： k>0，__________________；k<0，_________________
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
一次
函数

，
符号

图象

性质
随的增大而增大
随的增大而减小

4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.

b>0
b<0
b=0
k>0
经过__________象限
经过__________象限
经过______象限

图象从左到右上升，________________________
k<0
经过___________象限
经过__________象限
经过_______象限

图象从左到右下降，____________________________
5、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
6、正比例函数和一次函数及性质

正比例函数
一次函数
概 念
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量
范 围
X为全体实数
图 象
一条直线
必过点
（0，0）、（1，k）
（0，b）和（-，0）
走 向
k>0时，直线经过一、三象限；
k<0时，直线经过二、四象限
k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限
k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限
k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限
k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限
增减性
k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）
k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的
平 移

b>0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位；
b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位.
7、直线（）与（）的位置关系
（1）两直线平行且 （2）两直线相交
（3）两直线重合且 （4）两直线垂直
8、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
　　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
　　（3）解方程得出未知系数的值；
　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
反比例函数：
（一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，
在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解
析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数的图象
　　在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
　　1．函数解析式：（）
　　2．自变量的取值范围：
　　3．图象：
（1）图象的形状：双曲线．
　　 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．　 越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
　　与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
　　当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小；
　　当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
4．k的几何意义：如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
　　如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．

　　 　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　　　　　　　　　图2
　　5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线与双曲线的关系：
　　 　当时，两图象没有交点；
当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
（四）充分利用数形结合的思想解决问题．
典型测试题
1.下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=·
2 正比例函数，当m 时，y随x的增大而增大.
3 函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )A. B. C. D.
4 若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过（ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5 用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是 ( ).
A． B． C． D．
6.若一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那（ ）
A．， B．， C．， D．，
2

y
7.一次函数y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的图象如图9所示，则不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＞-2 B．x＞0 C．x＜-2 D．x＜0

0
x
8.如图，一次函数图象经过点，且与正比例

函数的图象交于点，则该一次函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
O
x
y
A
B

2

第4题

9.如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象.根据图象下列结论错误的是（ ）
A.轮船的速度为20千米/时 B.快艇的速度为40千米/时
C.轮船比快艇先出发2小时 D.快艇不能赶上轮船
x
y
O
3

10. 一次函数与的图象如图，则下列结论①；
②；③当时，中，正确的个数是（ ）

11.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

12、一次函数y=kx＋b的自变量的取值范围是－3 ≤x ≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。
13函数y=中自变量x的取值范围是___________．
14．函数y=kx+b（k≠0）的图象平行于直线y=2x+3，且交y轴于点（0，-1），则其解析式是_________ ．
15.若直线y=－x+k不经过第一象限，则k的取值范围为 。
16.把直线y=向下平移3个单位得到的函数解析式为 。
17.若y=kx+（2k－1）的图象经过原点，则k= ；当时k= 时，这个函数的图象与轴交于（0，1）

18.甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓球每盒定价5元.现两家商店搞促销活动，甲店:每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店:按定价的9折优惠。某班级需购球拍4付，乒乓球若干盒(不少于4盒)。
(1)设购买乒乓球盒数为x(盒)，在甲店购买的付款数为y甲(元)，在乙店购买的付款为y (元)，分别写出在这两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的函数关系式；
(2)就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算。
19. 求下列一次函数的解析式：
（1）图像过点（1，－1）且与直线 平行；
（2）图像和直线 在y轴上相交于同一点，且过（2，－3）点.
20.已知一次函数 .求：（1）m为何值时，y随x的增大而减小；（2）m，n满足什么条件时，函数图像与y轴的交点在x轴下方；（3）m，n分别取何值时，函数图像经过原点；（4）m，n满足什么条件时，函数图像不经过第二象限.
21.已知一次函数 的图象经过点 及点 （1，6），求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
22.如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）,动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）当t何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标。

23. 如图，A、B分别是 轴上位于原点左、右两侧的点，点P(2,p)在第一象限，直线PA交 轴于点C(0,2)，直线PB交 轴于点D， .
(1) 的面积是多少？
（2）求点A的坐标及p的值.
（3）若 ，求直线BD的函数解析式.

24. 已知直线经过点（－1，6）和（1，2），它和x轴、y轴分别交于B和A；直线经过点（2，－4）和（0，－3），它和x轴、y轴的交点分别是D和C。
（1）求直线和的解析式；[来源:学科网]
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）设直线与交于点P，求△PBC的面积。[来源:学科网]

25.网络时代的到来，很多家庭都拉入了网络，电信局规定了拨号入网两种收费方式，用户可以任选其一：A：计时制0.05元/分；B：全月制：54元/月（限一部分人住宅电话入网）此个B种上网方式要加收通信费0.02元/分。
（1） 某用户月上网的时间为x小时，两种收费方式的费用分别为y1（元）y2（元），写出y1 、y2与x之间的函数关系式；
（2） 在上网时间相同的条件下，请你帮该用户选择哪一种方式上网更省钱？
反比例函数：
1．反比例函数的概念
（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
　　A．y=3x 　　　B．　　　　 C．3xy=1 　　　　D．
（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
　　A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　
2．图象和性质
（1）已知函数是反比例函数，
　　①若它的图象在第二、四象限内，那么k=_________
　　②若y随x的增大而减小，那么k=___________．
（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．
（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．
（4） 已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（ ）．

A．第一象限 　　　 B．第二象限　 C．第三象限　　　 D．第四象限
（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点， 则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）．
　　A．第一、二、三象限 　　　　　　 B．第一、二、四象限
　　C．第一、三、四象限 　　　　　　 D．第二、三、四象限
（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．

　　 　　 A． 　　　　　　B．　　　　　　 C． 　　　　　　　D．
3．函数的增减性
（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（ ）．
　　A．正数 　　　　B．负数　　　　　 C．非正数　　　　　 D．非负数
（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（ ）．
　　A．＜＜ 　 B．＜＜
C．＜＜　 D．＜＜
（3）下列四个函数中：①；②；③；④．
　　　　 y随x的增大而减小的函数有（ ）．
　　A．0个　　　　 B．1个 　　　　　C．2个 　　　　　D．3个
（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而______ （填“增大”或“减小”）．
　4．解析式的确定
（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（ ）．
　　A．正比例函数　 B．反比例函数　　C．一次函数 　　D．不能确定
（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为 （2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．
（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．
（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x0，3）．
　　①求x0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．
5．面积计算
（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（ ）．
　　A．　　B．　C．　　D．

　　 　第（1）题图 　　　　　　　　　　　　 　　第（2）题图
（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（ ）．
　　A．S=1 　　　　B．1＜S＜2　　　　　　 C．S=2 　　　　　D．S＞2
（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．

　　 　第（3）题图 　　　　　　　　　　　　　　　　　　第（4）题图
（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．

（5） 如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．

　　 　　　第（5）题图 　　　　 　　　　　　　　　　第（6）题图

（6） 如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．
　　①求这两个函数的解析式；
　　②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．

（7） （7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．
　　① 求B点坐标和k的值；
　　② 当时，求点P的坐标；
　　③ 写出S关于m的函数关系式．
6．综合应用
（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（　　）．
　　A．互为倒数　 B．符号相同　 C．绝对值相等　　 D．符号相反
（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．
　　① 求反比例函数和一次函数的解析式；
　　② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．
　　① 求点A、B、D的坐标；
　　② 求一次函数和反比例函数的解析式．

（4） 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．
　　① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
　　② 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（5） 　　（5）不解方程，判断下列方程解的个数．
　　 　　①； 　　②．

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