数学中的无限_AWMoore%0A.pdf

数学中的无限A.W.Moore*著隋婷婷王小塞*译内容提要：有关数学中无限的研究大部分发源于近代。首先，文章将概述德国杰出数学家格奥尔格康托尔的思想。康托尔的研究具有深远的革命性意义，他不仅证明了无限的可比较性，还发明了用以测量无限的无穷数并展示了计算过程。然而，这一研究在康托尔的同时代人（19 世纪末到 20 世纪初）当中引发了巨大的分歧，这也导致了康托尔精神的彻底崩溃。此外，这些研究还引发了一些新悖论，这也促成了很多数学基础性工作的崩溃，文章将阐述其中一些悖论，如罗素悖论，并讨论一些数学家，特别是戈特洛布弗雷格的相关回应。弗雷格曾试图为数学提供一个严格可靠的基础，但罗素悖论似乎完全摧毁了他毕生的工作。文章还将进一步探讨这些悖论在数学上的后续发展，如哥德尔的研究。一个结论是，通过将无限置于正式的审视中，数学家最终为自己制造了更多难以解决的问题，他们还因此不得不考虑一些位于这门学科核心的深奥谜题。*牛津大学哲学系教授、牛津大学圣休学院教导学者。*隋婷婷，北京大学外国哲学研究所、北京大学哲学系博雅博士后。王小塞，北京大学外国哲学研究所、北京大学哲学系助理教授。译者致谢：在此感谢尚新建教授对译文的宝贵建议，以及罗诗曼同学在文本校对方面的协助。262外 国 哲 学关键词：算术基础康托尔罗素悖论弗雷格哥德尔维特根斯坦一、康托尔有关“无限”的数学著作数学领域对无限的研究也可被看作是对无限本质在技术层面的正式研究。在古代和中世纪思想中的无限中，我们曾回溯了历史上对无限的研究。本次将讨论无限在 19 世纪的发展。与 2500 年前相比，这可以算作是近期的研究。这一现象表明，在人们对无限的概念进行严肃、正式的处理前，关于无限的思想史已经历经了漫长的发展。这方面的关键人物是格奥尔格康托尔（Georg Cantor），他是一位杰出的数学家，也是数学方面所有相关工作的发起人，并且，他实际上创造了一个全新的数学分支。他的研究成果非常出色，但这些成果就某些方面而言很反直觉。特别是他做了一件前无古人的事，即区分不同阶的无穷。康托尔承认有各种各样的无限集合，但他认为严格说来，在数学能够精确定义的意义上，一些集合大于另一些集合。此外，他引入了无穷数用于测量不同的无限集合的大小。因此，就像我们用普通的自然数（1、2、3、4、5 等）来说明有限对象的大小一样，我也可以用无穷数来说明无限对象的大小。这里无法详述所有的技术细节，但下面将简要说明康托尔如何比较无限的大小。在古代和中世纪思想中的无限的结尾，我曾探讨过伽利略（Galileo）的一些思想，特别是伽利略发现可以把所有自然数与所有平方数一一对应，即每个数字都能与自己的平方相对应（0 对应 0，1 对应 1，2 对应 4，3 对应9，4 对应 16，等等）。伽利略由此得出结论，如果要讨论无限大小的比较，我们就不得不承认平方数和自然数一样多。伽利略认为这是反直觉的。事实上，他认为若我们使用这些术语，平方数就显然要少于自然数，因为许多自然数不是平方数。所以伽利略建议不要使用此类术语，否则我们将会陷入悖论和矛盾。康托尔所做的与伽利略完全不同。他打算接受这个反直觉的结 注：古代和中世纪思想中的无限是摩尔教授“无限”的历史系列讲座中的第一讲。数学中的无限263果，并认为只要小心地解释我们的意思，那么使用这些术语是完全具备合法性的。因此，康托尔准备捍卫这个观点，即自然数和平方数一样多。问题是，这是否意味着所有无限集合的大小都相同，是否总能以这种方式对它们进行配对？康托尔认为，我们并不是每次都能成功地将两个无限集合中的元素一一配对，下图展示了康托尔的论证（见图）：图自然数无限集合沿着左边的一列向下看，可以看到自然数 0、1、2、3 等，下面的三个点表示这列数字是无限的，这就是我们设想的自然数无限集合。现在我们试着把它们和仅由自然数组成的集合配对。第一列的右边由“是”和“否”组成的水平序列代表各种各样仅由自然数（可能不是全部自然数）组成的集合。图中的每一行都代表一组特定的自然数，规定任何既定行组合的方式是通过“是”和“否”来记录连续的自然数是否属于这个组合。例如，在图的最上面一行，序列为“是”“否”“是”“否”，说明该序列表示一个包含 0 和2 但不包含 1 和 3 的数集。也许这一行记录的是偶数的集合（这取决于序列后续的其余部分）。依此类推，下面一行的“否”“否”“是”“是”指一个包含 2 和 3 但不包含 0 和 1 的数集。这可能是质数的集合（但这同样取决于序列后续的未知部分。）下一行的“是”“是”“否”“否”可能是一组平方数的集合。再下一行的“否”“否”“否”“否”可能是一个无限的“否”的序列，264外 国 哲 学换言之，也许指的是空集。严格来说，空集可以算作自然数的集合之一，因此也是我们必须考虑到的集合之一。无论如何，这张图只是一个例子，它的设计是完全随意的。问题在于我们是否可以在右边安排任何自然数集合，如果可以，我们就可以把一个单个的自然数与这个集合对应，也就是说会有与自然数集合一样多的单个自然数。康托尔巧妙地论证了这是不可能的。康托尔指出，无论我们如何设计这张图，总有一些集合不会出现在右边的序列中，或者说，至少有一个集合不会出现。他的论证过程如下：你可以看到在这个图中代表对角线的直线，若从左上角开始，沿着对角线向下移动，你会看到一个“是”，然后是“否”，然后是“否”，然后是“否”。现在康托尔让我们想象每次遇到“是”或“否”时写下相反的词，因此，我们要写下“否”“是”“是”“是”，这个过程持续下去，后面取决于图的其他部分是什么样子，这本身便是一个由“是”和“否”组成的无穷序列。现在的问题是这个序列在图的哪个位置。它是一个表示自然数集合的数列。这个自然数集合应当出现在上图的某个地方，就和其他自然数集合一样。然而这无法实现。我们对序列的构造使它无法实现。我们可以知道它不是数列上的第一行，因为它与这个集合的第一个数字不同；它也不是第二行，因为它与第二行的第二个数字不同；它也不是第三行，因为它和第三行的第三个数字也不同，依次类推。所以，我们不能把自然数集和单个自然数一一对应。因此，康托尔得出结论，仅由自然数组成的集合比所有自然数要多。此外，这一论证是可以被普遍化的。我们可以用其说明任意给定集合的子集总是比集合中的单个元素多。有一个很多人都熟悉的术语：幂集（一个集合的所有子集的集合）。它表明一个集合的幂集的元素总是比这个集合本身的元素多。如我们所见，自然数集的幂集的元素比自然数集的元素多。自然数集的幂集甚至有更多的元素显然，幂集可以无尽地增大。由此可见，无穷大不仅有不同的阶，还有无穷多个不同的阶。至少在康托尔的时代，此种观点非常具有革命性，同时也是很反直觉的。然而，它也是最严谨、最精确、最形式化的数学成果。康托尔确信他的研究数学中的无限265在数学上具有重要性和可靠性，并将之视为数学上毫无疑问的重大发现。二、康托尔的宗教信仰康托尔不仅是一位杰出的数学家，他还有着深刻的宗教信仰。他信仰上帝，这一信仰对他的生活有着重大的影响。他把自己的数学研究和对上帝的信仰联系了起来。他相信他的数学才能是上帝赐予的，这不仅使他能够从数学的角度研究无限，而且使他能够证明他的一些宗教信仰是正确的。康托尔是这样描述他关于无限的数学研究的：我的理论坚如磐石；每一支指向它的箭，都会很快回到射出它的弓箭手的手中。我是如何知道这些的？因为我已经从各方面对此研究了很多年；并且已经研究了人们对无穷数所提出的所有反对意见；最重要的是，我可以说是将无限的根源追溯到了一切被创造物体的绝对正确的第一推动力（the first infallible cause）。他还写道：“绝对”（absolute）只能被承认和确认，永远无法被了解（known），甚至无法被大概地了解。康托尔发现了一种他称之为“绝对”的东西，他指的是一种无限，这种无限是如此伟大，甚至超过了他所捍卫的所有数学研究；它是如此地伟大，以至于我们不能以测量自然数集的方式测量它。例如，我们考虑了各种无限 Letter from Cantor to K.F.Heman,dated 21 June 1888,quoted by Joseph W.Dauben,in his Georg Cantor:His Mathematics and Philosophy of the Infinite,Harvard University Press,1979,p.298.Quoted by Michael Hallett,in his Cantorian Set Theory and Limitation of Size,Oxford University Press,1984,p.13.266外 国 哲 学集合，包括自然数集和自然数集的幂集；但试想一下所有事物（或者所有数学实体）组成的集合，“绝对”是将所有东西都放在一个巨大的集合中。康托尔基于多种技术原因认为这样一个集合太大以至于无法测量。他把这样的集合称为不一致的整体（inconsistent totalities），因为如果我们像看待其他集合一样看它们，我们最终会发现自己陷入悖论和矛盾之中。然而，他在这里承认了“绝对”，它比所有他花时间区分过的不同的无限的量级都更大。这对他很重要，因为这是他的数学研究和他的宗教信仰之间的一种联系。因为正是这种绝对的无限，被康托尔认为是上帝的特征。和许多人一样，康托尔相信上帝是在一种绝对意义上的无限。在上面的第二段引文中，我们可以看到康托尔说“绝对”是可以被承认和确认的，因为他已经证明了，即使从数学的角度来看，我们也有充分的理由用这些术语来谈论“绝对”；然而，他接下来说，“绝对”永远无法真正被了解。在康托尔看来，我们不可能了解上帝的无限到底是什么样的，正如我们不可能认识所有数学对象的集合，因为我们通常只能处理次一级的东西。三、康托尔为亚里士多德式的正统辩护了吗?在古代和中世纪思想中的无限中，我们花了很多时间来讨论亚里士多德的思想，尤其是他所说的实无限和潜无限之间的关键区别。实无限指一种同时存在的无限，如果你能同时把所有事物聚集在一起，这就是实无限。潜无限指一种非同时存在的无限，也即是一种永无止境的过程中浮现的无限。亚里士多德认为，实无限没有任何意义，我们唯一可以合理讨论的无限是潜无限。现在你可能会认为，2000 多年后，康托尔拒斥了亚里士多德的观点。因为康托尔好像终于证明了我们可以谈论实无限我们可以将自然数集看作同时把所有自然数聚集在一起。我们甚至可以通过严格的数学方法测量它，讨论它有多大，比较它与其他无穷集合的势的大小。这看起来是非常反亚里士多德的。然而，我自己的观点是，康托尔实际上证明了亚里士多德的观点是正确的，特别是通过他对于“绝对”的涉及。数学中的无限267在某种隐喻的意义上，康托尔所做的是考虑无限制地越来越大的集合：每个集合的势都小于它的幂集的势，而幂集的势又小于自己的幂集的势，如此往复，没有尽头。但这意味着一个永不结束的进程，也意味着某种时间性。它可能不像亚里士多德想象的那样是字面意义上的时间，但它是隐喻意义上的时间。所以，有一种观点是，我们总是能够找到更大的集合，这类无限被康托尔称为“绝对”，这种“绝对”是不能在同一时间点遇到或者获得的。因此，似乎康托尔是说，真正的无限只是潜无限，而不是实无限，所以，某种意义上，康托尔是在为亚里士德辩护，而非攻击他的观点。四、对康托尔研究的接受度康托尔的研究在当时受到很多人（包括一些数学家）的反对。康托尔的研究具有巨大的革命性意义，但其在 19 世纪末和 20 世纪初的同时代人中得到的评价较为两极分化（部分导致了康托深受心理健康问题困扰，最终彻底崩溃）。例如，这里我们可以引用非常支持康托尔的研究的伯特兰罗素（Bertrand Russel）的话：两千多年来，人类的智慧一直被“无限”这个问题所困扰。很多哲学家，从芝诺到柏格森，将他们大部分的形而上学工作建立在无限集合是不可能的这一假定之上。这些困难的最终解决办法则归功于康托尔。下面这句则来源于数学家利奥波德克罗内克的名言，它表达的观点截然不同：Bertrand Russell,Our Knowledge of the External World as a Field for Scientific Method in Philosophy,London:Allen&Unwin,1926,p.160.268外 国 哲 学上帝创造了整数；其余都是人类的作品。这里的整数基本上就是上面所说的“自然数”（0、1、2、3 等）。所以克罗内克的意思是自然数是基本而自然的，其他种类的数字则是人类的发明。克罗内克认为负数、无理数、虚数以及所有被数学家研究过的不同种类的数，都是数学家自己发明的。克罗内克对康托尔无穷数的态度也是如此。但克罗内克并不认为康托尔的工作有任何重要意义。他不仅将其看作是一项人类的发明，还认为这是一项毫无用处、毫无价值的发明。克罗内克极为反对康托尔的研究，还曾试图阻止康托尔一些著作的出版。该事件尤其惊人的原因之一是，克罗内克不但是一位重要的数学家，他同时还曾是康托尔的老师之一。因此克罗内克反对的是自己学生的研究，这是很惊人的。我们还可以简单地思考一下另外两段引言，它们表明了康托尔的研究是如何使观点两极分化的。第一段来自 20 世纪数学家大卫希尔伯特（David Hilbert）。在古代和中世纪思想中的无限的开头，我也曾引用过他的一段话，他对无限进行了大量的写作和思考。希尔伯特与罗素一样，也非常支持康托尔的工作。他曾写道：没有人能把我们赶出康托尔为我们创造的天堂。以下引言来源于 20 世纪哲学家维特根斯坦对希尔伯特的一个惊人且有趣的回应：我会说：“我绝不会尝试把任何人赶出这个天堂。”我会做些完全不同的事：我要让你们知道那不是天堂这样你们就会自愿离开。Quoted in the obituary Leopold Kronecker“,by Heinrich Weber,in Jahresbericht der Deutsche Mathematiker Vereinigung,1893,p.19.David Hilbert,“On the Infinite”,trans.by Stefan Bauer-Mengelberg,in From Frege to Gdel:A Source Book in Mathematical Logic,1879 1931,ed.by Jean van Heijenoort,Harvard University Press,1967,p.376.数学中的无限269我会说：“不必客气；看看你自己。”（因为如果一个人能把它视为天堂，为什么其他人就不能把它当作一个笑话呢？）可以肯定的是，维特根斯坦并没有从形式化的数学的角度来对康托尔的工作提出异议。他似乎并不认为康托尔在数学上犯了错。维特根斯坦只是不认为该研究具有重大意义。所以维特根斯坦挑战了希尔伯特关于康托尔创造了天堂的观点，并说我们可以很容易地把这个天堂看作一个笑话。所以，根据维特根斯坦的观点，我们不必认真对待这一数学发现。我认为维特根斯坦持此种观点，是因为觉得这是非常纯粹的数学研究，没什么应用价值，例如，它与搭建桥梁无关。我认为维特根斯坦的评价有失公允，部分原因是纯数学并没有什么错。我不认为数学必须是应用的。此外，即使我们认为应用性对数学非常重要，但即便在当代，做出这种判断仍然为时尚早。我在今天讲座开始时强调过这是近期的研究成果，而数学理论的出现通常是超前于具体应用的，谁知道在什么特定的时候会有对于这些思想的技术应用，将纯数学转化为应用数学呢？五、康托尔研究的影响康托尔解决了很多关于无限的问题，也解决了很多悖论，但公平地说，他的作品也引入了一些新的悖论。康托尔的工作引入的最著名的悖论之一就是罗素悖论。让我们回到这个观点，即任何给定集合的子集都比它自身的元素多。现在让我们考虑所有集合组成的集合：如果它全部的子集就是所有的集合，它的子集怎么可能比它的元素多呢？如果思考如何将康托尔的理论应用于这个特例，我们很快就会发现罗素悖论。因为我们最终会在进行对角线论证的演算不久后发现罗素考虑过的集合，也就是所有不属于自己集合的集 Ludwig Wittgenstein,Lectures on the Foundations of Mathematics,ed.by Cora Diamond,Brighton:Harvester Press,1976,p.102;Remarks on the Foundations of Mathematics,3rd edition,ed.by G.H.von Wright,R.Rhees,and G.E.M.Anscombe,and trans.by G.E.M.Anscombe,Oxford:Blackwell,1978,p.264.270外 国 哲 学合。这个集合正是从对角线论证中产生的，因此我们会发现自己处于相关的矛盾中：所有那些并非自身元素的集合所组成的集合，当且仅当它并非自身元素时，它是自身的一个元素。所以，看上去不可能有这样的集合。这就是著名的罗素悖论。20 世纪初这个悖论被提出时，数学家们以各种方式对其做了回应。我们已经提到了康托尔本人的回应。事实上，康托尔也意识到这一悖论对他的理论来说是个问题，这也是他会谈论不一致整体（inconsistent totalities）的原因。他会认为不存在由所有集合组成的集合，至少这样的集合不能被认为与其他集合相似，因为康托尔会将其视为不一致整体的例子。因此，事实上，当康托尔谈论不一致整体时，他预见到了罗素悖论所引起的问题。另一个回应了这个悖论的人是戈特洛布弗雷格（Gottlob Frege）。弗雷格是一位杰出的逻辑学家。这个悖论让他感到担忧，因为它似乎完全摧毁了他毕生的工作，即试图为数学提供严密而可靠的基础。因为弗雷格试图将所有的数学简化为集合论的基本思想，所以弗雷格大量使用了集合的概念。他从数学上研究它，部分是出于自身对它的兴趣，但主要是为了表明，除了几何，一切数学都可以还原为集合论。在算术的基本定律（Grundgesetze der Arithmetik）一书中他发展了或者至少提出了这样的想法。这一著作本来预计是三卷本。在第一卷已经出版，第二卷即将出版，弗雷格正在写第三卷时，罗素告诉了他这个悖论。弗雷格用集合统合理论的方式在悖论面前不堪一击。罗素知道弗雷格的研究，他一直对此怀着极大的兴趣和钦佩，但罗素注意到他的悖论出现在了弗雷格的体系中，这意味着弗雷格体系的核心存在矛盾。罗素给弗雷格写信指出了这一点。弗雷格的体系由此被摧毁，他从未想过在自己的研究中会存在这样一个基本的矛盾，而且这似乎表明他试图做的一切都被罗素的发现彻底摧毁了。以下是他收到罗素来信后写的回信当中的一段话：Gottlob Frege,Grundgesetze der Arithmetik,Jena:H.Pohle,1893 and 1903.数学中的无限271你发现了（我的体系中的）矛盾，这使我非常惊讶，几乎可以说是惊愕，因为它动摇了我想要为算术建立的基础，我必须进一步思考这件事。更严重的是，随着我（基本假设）的丧失，不仅我的算术基础，甚至是算术唯一可能的基础似乎都丧失了。你的发现是非常了不起的，可能会推动逻辑学的巨大进步，尽管它乍一看可能是很不受欢迎的。（我的作品）第二卷马上就要出版了。毫无疑问，我必须在附录中加上对这一发现的思考。要是我已经有能应对这一问题的正确的想法就好了！弗雷格确实为第二版写了附录，但他本人对这个附录并不满意。他最终发现自己与最初的许多基本想法背道而驰。在他生命的最后时光，他确信不可能用他最初设想的方式来将算术简化为集合论。下面是罗素写给逻辑学家让范海杰诺尔特（Jean Van Heijenoort）的一封信中一段引人注意的话，这位逻辑学家计划收集逻辑学和数学方面的重要成果，并希望把罗素和弗雷格之间的通信包含在内：据我所知，弗雷格对真理的追求是无与伦比的。在他一生的工作即将完成时，在他的第二卷即将出版，他发现他的基本假设有错误时，他在回信中表达的理智上的愉悦盖过了自身的失望情绪。这几乎是一种超人的能力，而且也表明了如果一个人是为了献身于创造性的工作和知识，而不是为了成为权威或名人做出粗陋的努力，那么他能够做到何种程度。Gottlob Frege,“Letter to Russell”,trans.by Beverly Woodward,in From Frege to Gdel:A Source Book in Mathematical Logic,1879 1931,ed.by Jean van Heijenoort,Harvard University Press,1967,pp.127-128.Bertrand Russell,“Letter to Jean van Heijenoort”,quoted by Jean van Heijenoort in From Frege to Gdel:A Source Book in Mathematical Logic,1879 1931,ed.by Jean van Heijenoort,Harvard University Press,1967,p.127.272外 国 哲 学你可能认为罗素对弗雷格的评价太宽厚了。我们不清楚弗雷格的回应是否真的表达了理智上的愉悦，也许罗素对弗雷格的描述是比较友好的。但弗雷格确实立刻承认了相关问题，并乐意将其看作一个重要的发现。随着时间的推移，康托尔的研究成果产生了深远的影响，开辟了一个全新的数学分支。现在有很多数学家在继续研究数学中的无限，部分是为了回应一些新出现的悖论，部分只是为了延续康托尔的研究。这项工作已经变得越来越复杂，在技术层面上也越来越有趣。这正像康托尔所坚信的他发明的是一种严谨且值得尊敬的数学模式。但受到康托尔影响的不仅是那些直接研究无限的数学家。20 世纪的一个非常著名的发现哥德尔定理（Gdels theorem）也间接地建立在我们在开头介绍的对角线论证上。哥德尔通过康托尔使用的对角线论证证明了他的定理。哥德尔的定理表明，任何公理原则，也就是说，任何有限的基本原则和规则的集合，都不可能强大到足以建立算术的全部和唯一真理。换句话说，如果你有一个公理来建立算术的一些真理，那么总会有其他的真理被遗漏掉。这个证明有点像我们在康托尔对角线论证中看到的尽管有一种关联可以将一些自然数组成的集合与单个自然数配对，但还是会有一些被忽略掉。哥德尔将自己的发现总结如下：人类的头脑无法表述（formulating）所有的数学直觉，也就是说，如果它成功地表述了其中一些，基于这些直觉就会产生新的直觉知识。这个事实可以被称为数学的“不完备性”。哥德尔在这里谈到了对于数学直觉的表述，其中的“表述”意味着类似于公理化的过程。用公式表达我们对数学的直觉，尤其是对算术的直觉，意味着设计一个公理，设定一些基本的原则和规则来使我们能够证明所有我们 Kurt Gdel,“1951 J.W.Gibbes Lecture”,quoted by Hao Wang,in From Mathematics to Philosophy,New York:Humanities Press,1974,p.324.数学中的无限273想要证明的东西。哥德尔的定理表明我们无法这样做。原因是无论我们提出什么公理，只要它不包括任何错误的东西，它就会漏掉一些正确的东西。此外，至关重要的一点是，我们可以通过反思公理原则来看到它遗漏了什么。所以如果有人给你一个算术的公理原则，你研究之后能够明白两点：首先，它是不完整的，因为有一些算术真理未被包含在内；其次，它遗漏了部分东西。因此，你会发现有一些尽管并未被公理包含在内但实际上正确的算术真理。这就是哥德尔在这段引文中所表达的观点。换句话说，正是从我们对一些直觉的表述中产生出新的直觉知识，即新的数学（或算术）真理的知识。这便是它与无限的关联，这不仅是与康托尔对角线论证的关联，也是无限不能被有限的术语刻画的一个例子：有无限多的算术真理，但一个公理化总是仅涉及有限多的基本原则和规则。哥德尔的定理表明，算术真理的无限性不能用这些有限的术语来描述。尽管如此，他相信，如果我们有一个有限的基本原则和规则集合，我们可以借其来认识到算术真理的无穷性。另一位20 世纪的思想家，牛津大学的哲学家约翰卢卡斯（John Lucas）对此感到非常震惊，因为他认为这里有一个论证可以说明人类思维在数学方面拥有超越计算机（或任何可用于计算的机器）的能力。计算机令人印象深刻，我们知道计算机可以做到各种各样的事情，尤其是在过去的二十年左右，人工智能有着惊人的发展。但尽管如此，卢卡斯相信，无论人工智能变得多么复杂，它永远无法复制人类智能。卢卡斯认为哥德尔定理有助于证明这一点。卢卡斯的基本论证非常简单：一个机器，不管它有多复杂，总是在一些有限的基本原则和规则的集合下运行；特别是，如果你有一台可以为你证明算术真理的机器，它将使用一些基本的原则和规则来做到这一点；但是哥德尔已经向我们表明，只要有这样的基本原则和规则，我们人类总能认识到一个算术真理，它超出了这些原则和规则所能建立的范围；所以，不管机器能做什么，人类总能做得更好。卢卡斯将他的论点总结如下：无论我们建造的机器多么复杂，它都会对应于一个合乎规则的274外 国 哲 学系统即基于有限的基本原则和规则集合的系统，因此，我们可以按哥德尔的方法找到一个在该系统中无法被证明的公式。尽管人类心灵可以发现这个公式为真，机器却不能将其出示为真。我们正试图制造一种机械的心灵模型它本质上是“死的”，但在人的心灵中，思维是“活的”，因而可以比任何合规的、僵化的、死的系统做得更好。有赖于哥德尔的定理，心灵总是掌握着最后的决定权。在科学技术中的无限结尾的讨论中，梅建华教授曾在问答阶段提出，人类的思维在某些方面可能是无限的。“人的心灵是否在某种意义上是无限的，可以把握无限，或者拥有无限的力量？”则是我在回答梅教授的问题时提出的一系列非常有趣的问题，在人类的有限中，我将回顾这个问题。但在这里我们已经可以说，如果卢卡斯是对的，那么哥德尔定理提供了一个非常直接的答案，因为它表明人的心灵在某种意义上是无限的；特别是，它表明人类的思维在某种意义上具有无限的能力，可以超越任何可能的机器。如果卢卡斯是对的，这就是事实。但这是一个很大的“如果”。我们可能同意卢卡斯的观点，也可能不同意。哥德尔本人并不完全同意卢卡斯的观点。事实上，有很多人回应了卢卡斯的观点，表达了自己的不同意，他们中的大多数人根本不认为哥德尔定理能产生这种推论。卢卡斯的观点至今仍备受争议。人类的思维是否优于任何人工智能显然本身就是一个令人着迷的问题，尤其令人着迷的是，哥德尔定理在这个问题上能有什么样的解释，以及这些问题与无限有什么关系。总而言之，我们知道了通过将无限置于形式化的审视之下，数学家最终会为自己制造出更多有待解决的问题。他们目前已经解决了很多问题，但还有很多问题没有解决，包括如何最好地回应罗素悖论。还有其他一些重要的未解决问题，我在今天讲座中没有提到。泛泛地说，在这段相对短的无限研 J.R.Lucas,“Minds,Machines and Gdel”,reprinted in Minds and Machines,ed.by A.R.Anderson,New Jersey:Prentice-Hall,1964,p.47.注：科学技术中的无限是摩尔教授“无限”的历史系列讲座中的第二讲。数学中的无限275究史中，包含着一些数学家们不得不处理的、非常艰深的处于学科核心的问题，也包含了一些关于数学本身的最基本的问题。六、讨论部分王彦晶：当谈到康托尔和无限时，我认为我们不可避免地要谈到连续统假设（continuum hypothesis），尤其因为它可能部分促成了摩尔教授提到的康托尔晚年的心理健康问题。但是摩尔教授并没有真正提到康托尔的连续统假说或者对于它的研究在哲学上的影响，以及它对集合论中无限研究的影响。例如，保罗寇恩（Paul Cohen）和哥德尔通过选择公理（ZFC）证明连续统假设独立于策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel set theory），这一独立成果已经成为集合理论后续发展的驱动力。集合论仍然被广泛认为是研究无限的最好方法，至少在数学上是这样。所以我想了解更多关于连续统假设的哲学观点。A.W.Moore：王教授提出了一个关于连续统假设的问题。他说得很对，尽管它对于数学中的无限的发展非常重要，但我在前面完全没有提到这一点，可能有些人对此还不熟悉，下面我先简单地介绍一下。我在讲座中提到康托尔证明了自然数集的元素数比它的子集数要少，所以各种由自然数组成的集合的集的势比自然数集本身的势要大。但是问题来了，到底大多少呢，特别是，有没有中间大小的集合，或者说自然数的集合是各种由自然数组成的集合的集之后的第二大的集合？这是一个非常重要的问题，首先因为这是一个康托尔自己也从未成功回答过的问题。他想了很多。有时他认为他已经得出了一个答案；有时他认为自己得出了另一种答案；但他最终没能满意地解决这个问题，后续也没有其他数学家能够解决它。更糟糕的是，这一问题已被证明不能用我们现有的被广泛接受的数学资源来解决（这就是王教授所指的独立结果），因此，解决这个问题的唯一方法是提出一些新的，尚未被发现或未被普遍接受的关于数学的基本原理。这在数学上很有趣。但它在哲学上也很迷人。它在数学哲学中提出了重要的问276外 国 哲 学题，有关我们究竟应该如何看待这种情况。某些哲学家采取的一种可能回应是，也许这是一个没有答案的问题，有点像某些边界性案例（borderline case）：如果一个人 14 岁，他算是孩子还是成人？也许我们在这里使用的语言，也就是我们使用的术语“儿童”和“成人”，并不能解决这个问题，我们只是不得不承认这是一个边界性案例，我们不能确定地说这归属于哪一边。这是一些人对这种边界性情况的看法，这也是一些数学哲学家对连续统假设的看法：我们对数学词汇的使用并不能通过非黑即白的方式解决这个问题。我个人的观点是，无论如何，我们必须非常认真地对待这种可能性。有很多数学哲学家不同意这种观点，但我不反对这种观点，即数学实践不能简单地通过非黑即白的方式解决这个问题。颜春玲：在上次的讲座中，摩尔教授提到物理学家常常对无限感到怀疑，他们试图通过任何能想到的方法摆脱无限或无限的概念。但根据您今天的讲座，数学家们似乎并不真的忧虑无限这一概念。这与我的有关数学家和物理学家分别如何接近（或避免）无限的印象是一致的。那么，摩尔教授是怎么想的呢？有没有什么特别的理由来解释为什么数学家们不那么担心无限呢？是不是因为数学上的无限不具备物理意义？A.W.Moore：关于颜博士的无限与物理之间的关系问题，我们在科学技术中的无限的问答当中曾经谈到过一点相关的内容。但在这一次的内容背景下，这仍是一个非常有趣的问题，因为如果“物理学家喜欢避免无限，数学家喜欢谈论无限”这种说法是确实的，那么为什么会存在这种态度上的差异呢？颜博士提出的问题是，这是否因为数学具有非应用性。我已经不止一次地讨论过数学是否可以被应用的问题。我认为在这里可以说的是，诚然，数学家们乐于讨论无限的部分原因只是因为它是一致的。这就是康托尔给我们讲的关于无限的一个一致的、严谨的形式化理论。但仅仅是一致性还不足以让物理学家满意。物理学家对了解人们的思想与物理现实之间的关系很感兴趣。我认为我们能说的一件事是，如果这个数学成果被证明可以在物理上应用，那么它肯定会表明，物理学家需要重新考虑他们看待无限的方式，因为他们在很大程度上（出于数学中的无限277非应用性的理由）试图去避免它。因此我同意这将涉及一个无限概念如何与物理现实相联系的彻底反思。叶峰：我认为摩尔教授或许曾暗示这个问题，即在康托尔的研究之后，自然数的集合在某种程度上或某种意义上可能是有限的（然而，直觉上它似乎是无限的，当然，康托尔也一直认为它是无限的）。我记得摩尔教授在他的书中也提到了这个问题，但我不确定我的说法是否完全遵循了他在这方面的想法。A.W.Moore：我认为叶教授所说的确实提出了一个问题，即为什么我认为康托尔所说的“绝对”就是真正的无限，这也是康托尔自己想说的。因为如果这是真正的无限，那就意味着如自然数的集合等一类东西是可以被测量的，也可以被指定一个比其他集合小的特定大小，这并不是真正的无限。这就是从这种说法衍生出来的意思。韩林合：这是一个有趣的问题，而且与我自己想提出的问题密切相关。因此，我想我不妨在这个时候简短地插入我的观点，这样摩尔教授就可以自由地、以适当的篇幅来回答这个困难的题。我的观点如下：摩尔教授提到，根据康托尔的说法，自然数的集合是无限的，但还有其他的集合比它更大。此外，康托尔甚至说，有些比自然数集大的“集合”并不是真正的集合，为此他还创造了“不一致的总数”（inconsistent totalities）这个奇怪的术语。简单地说，这些正是康托尔的主张，因此在我看来，他对无限的描述中很可能存在一些矛盾。A.W.Moore：谢谢您，韩教授。让我看看我能不能解释一下。正如我在回答叶教授时所说的，如果“绝对”是真正无限的，那么这就意味着像自然数集这样的东西不能算作是真正无限的。这是从这种说法中衍生出来的。但是我是否想说自然数的集合是有限的？首先要强调的是，虽然我倾向于这样说，但有一个非常重要的提醒，那就是我的兴趣不在于谈论数学的实际问题。在一种明显、清晰而精确的数学意义上，自然数是无限的，没人会否认这一点。我也不想否认这一点。我们可以给这种对无穷大的感受一个精确的数学定义：一个集合在这一意义上是无限的，当其与自身的某个真子278外 国 哲 学集等势。这一定义只适用于自然数集，这是毫无争议的。但我想的是：如果你问人们他们对无限的直观理解是什么，特别是那些没有形式化地研究过无限，而只是对其有一个非常基本的日常概念的人，并且你像我在第一讲中那样，把数学上的无限和形而上学上的无限区分开来，并解释说你指的是数学上的无限，你会得到各种不同的答案，但它们可能涉及无尽，或无界，或不可测。这些都是人们会使用的概念。他们会说，一个东西如果可以永远持续下去、没有尽头、没有界限或者不能被测量，那它就是无限的。现在假设这就是我们对无穷大的基本理解。如果我们回头看康托尔的工作，我们会发现他所做的是取各种集合，比如自然数集，并表明它们在大小上是有限的：你可以精确地测量这个集合有多少个元素，你可以给这个集合有多少个元素这个问题一个精确的数学意义。它的大小是有限的，因为还有更大的集合。因此，如果问无尽、无界、不可测的概念在哪里适用，它们似乎不适用于自然数集。还有更大的集合。有些集合会无限制地变得越来越大。所以那些无尽、无界和不可量的概念只适用于康托尔叫作不一致的整体的东西；当你考虑整个数学领域时，把这些东西都放在一起考虑，这些概念是适用的。当你这样做的时候，你便得到了康托尔所说的不一致的整体，得到不一致的整体后，你也得到了一些值得被称为真正的无限的东西，因为这些无限才是无尽、不可测和无限制这些概念真正适用的地方。这就是我在讲解无限时提到在某种意义上自然数的集合不是真正无限，这种观点可以在我的一些作品中看到，但我在今天的讲座里没有提到。我不认为这与康托尔的观点存在任何矛盾。王小塞：作为这次讨论的主持人，我想向摩尔教授提出最后一个问题，我在直播聊天框中看到这个问题被问了好几次，我自己也特别有兴趣听一听答案。这个问题与摩尔教授在今天讲座快结束时谈到的主题有关，即人类的思想在某些方面是否可能是无限的。特别是他还讨论了约翰卢卡斯受哥德尔的不完备定理启发，提出的人类智能必然优于机器智能的这一著名论断。摩尔教授提到哥德尔本人并不完全同意卢卡斯的观点，这是我个人觉得数学中的无限279特别有趣的一点，我现在不能确切地记得如何将哥德尔的观点与卢卡斯的观点联系起来。但我要问的是在直播互动框中经常出现的一个问题：我们能否从哥德尔关于人类天性的定理中获得什么启示，以及人类心灵是否在某个重要意义上是无限的。A.W.Moore：这个问题在下一个篇章