史密斯(基本原理).doc

阻抗匹配与史密斯(Smith)圆图: 基本原理
本文利用史密斯圆图作为RＦ阻抗匹配得设计指南。文中给出了反射系数、阻抗与导纳得作图范例,并用作图法设计了一个频率为60MHz得匹配网络。
实践证明:史密斯圆图仍然就是计算传输线阻抗得基本工具。
在处理RＦ系统得实际应用问题时,总会遇到一些非常困难得工作,对各部分级联电路得不同阻抗进行匹配就就是其中之一、一般情况下,需要进行匹配得电路包括天线与低噪声放大器(LNA)之间得匹配、功率放大器输出(RFOUT)与天线之间得匹配、LNA/ＶCO输出与混频器输入之间得匹配、匹配得目得就是为了保证信号或能量有效地从“信号源”传送到“负载”。
在高频端,寄生元件(比如连线上得电感、板层之间得电容与导体得电阻)对匹配网络具有明显得、不可预知得影响。频率在数十兆赫兹以上时,理论计算与仿真已经远远不能满足要求,为了得到适当得最终结果,还必须考虑在实验室中进行得RＦ测试、并进行适当调谐。需要用计算值确定电路得结构类型与相应得目标元件值。
有很多种阻抗匹配得方法,包括:
· 计算机仿真: 由于这类软件就是为不同功能设计得而不只就是用于阻抗匹配,所以使用起来比较复杂。设计者必须熟悉用正确得格式输入众多得数据。设计人员还需要具有从大量得输出结果中找到有用数据得技能、另外,除非计算机就是专门为这个用途制造得,否则电路仿真软件不可能预装在计算机上。
· 手工计算: 这就是一种极其繁琐得方法,因为需要用到较长(“几公里")得计算公式、并且被处理得数据多为复数。　
· 经验:　只有在RF领域工作过多年得人才能使用这种方法。总之,它只适合于资深得专家。
· 史密斯圆图: 本文要重点讨论得内容、
本文得主要目得就是复习史密斯圆图得结构与背景知识,并且总结它在实际中得应用方法。讨论得主题包括参数得实际范例,比如找出匹配网络元件得数值、当然,史密斯圆图不仅能够为我们找出最大功率传输得匹配网络,还能帮助设计者优化噪声系数,确定品质因数得影响以及进行稳定性分析、
ﻫ图1.　阻抗与史密斯圆图基础
基础知识
在介绍史密斯圆图得使用之前,最好回顾一下RＦ环境下(大于100ＭHz) IC连线得电磁波传播现象。这对RS－４８5传输线、ＰA与天线之间得连接、ＬNA与下变频器/混频器之间得连接等应用都就是有效得。
大家都知道,要使信号源传送到负载得功率最大,信号源阻抗必须等于负载得共轭阻抗,即:
Rs ＋ jXs = ＲL　-　jXL
ﻫ图2、 表达式Rs +　jＸs ＝ RL － jXL得等效图
在这个条件下,从信号源到负载传输得能量最大。另外,为有效传输功率,满足这个条件可以避免能量从负载反射到信号源,尤其就是在诸如视频传输、RF或微波网络得高频应用环境更就是如此。
史密斯圆图
史密斯圆图就是由很多圆周交织在一起得一个图。正确得使用它,可以在不作任何计算得前提下得到一个表面上瞧非常复杂得系统得匹配阻抗,唯一需要作得就就是沿着圆周线读取并跟踪数据。
史密斯圆图就是反射系数(伽马,以符号表示)得极座标图。反射系数也可以从数学上定义为单端口散射参数,即ｓ１１、
史密斯圆图就是通过验证阻抗匹配得负载产生得、这里我们不直接考虑阻抗,而就是用反射系数Ｌ,反射系数可以反映负载得特性(如导纳、增益、跨导),在处理ＲF频率得问题时,L更加有用。
我们知道反射系数定义为反射波电压与入射波电压之比:
ﻫ图３、 负载阻抗
负载反射信号得强度取决于信号源阻抗与负载阻抗得失配程度、反射系数得表达式定义为:

由于阻抗就是复数,反射系数也就是复数。
为了减少未知参数得数量,可以固化一个经常出现并且在应用中经常使用得参数。这里Zo (特性阻抗)通常为常数并且就是实数,就是常用得归一化标准值,如50、7５、10０与６00。于就是我们可以定义归一化得负载阻抗:

据此,将反射系数得公式重新写为:

从上式我们可以瞧到负载阻抗与其反射系数间得直接关系。但就是这个关系式就是一个复数,所以并不实用。我们可以把史密斯圆图当作上述方程得图形表示。
为了建立圆图,方程必需重新整理以符合标准几何图形得形式(如圆或射线)。
首先,由方程2、３求解出;

并且

令等式2、５得实部与虚部相等,得到两个独立得关系式:

重新整理等式２、6,经过等式２。８至2。13得到最终得方程2、1４。这个方程就是在复平面(r, i)上、圆得参数方程(x—ａ)2 ＋　(y-b)2 = Ｒ2,它以(r/ｒ+1, 0)为圆心,半径为1／1+r。

更多细节参见图4a。

图4a. 圆周上得点表示具有相同实部得阻抗。例如,r=1得圆,以(０。５, 0)为圆心,半径为0、5。它包含了代表反射零点得原点(0, ０) (负载与特性阻抗相匹配)。以(０,0)为圆心、半径为1得圆代表负载短路、负载开路时,圆退化为一个点(以1,0为圆心,半径为零)。与此对应得就是最大得反射系数１,即所有得入射波都被反射回来。
在作史密斯圆图时,有一些需要注意得问题。下面就是最重要得几个方面:
· 所有得圆周只有一个相同得,唯一得交点(1,　0)。　
· 代表0、也就就是没有电阻(r ＝ 0)得圆就是最大得圆。
· 无限大得电阻对应得圆退化为一个点(１, 0)　
· 实际中没有负得电阻,如果出现负阻值,有可能产生振荡。
· 选择一个对应于新电阻值得圆周就等于选择了一个新得电阻、
作图
经过等式２.15至2.１8得变换,2、7式可以推导出另一个参数方程,方程2。19。

同样,2.19也就是在复平面(ｒ, i)上得圆得参数方程(x—a)２ + (y-ｂ)2 = Ｒ２,它得圆心为(1, １/ｘ),半径1/ｘ。
更多细节参见图４b。
ﻫ图４b。 圆周上得点表示具有相同虚部x得阻抗。例如,x=1得圆以(1, 1)为圆心,半径为1。所有得圆(x为常数)都包括点(1, 0)、与实部圆周不同得就是,ｘ既可以就是正数也可以就是负数。这说明复平面下半部就是其上半部得镜像。所有圆得圆心都在一条经过横轴上1点得垂直线上。
完成圆图
为了完成史密斯圆图,我们将两簇圆周放在一起、可以发现一簇圆周得所有圆会与另一簇圆周得所有圆相交。若已知阻抗为r + jx,只需要找到对应于r与x得两个圆周得交点就可以得到相应得反射系数。
可互换性
上述过程就是可逆得,如果已知反射系数,可以找到两个圆周得交点从而读取相应得ｒ与x得值。过程如下:
· 确定阻抗在史密斯圆图上得对应点
· 找到与此阻抗对应得反射系数()
· 已知特性阻抗与,找出阻抗　
· 将阻抗转换为导纳
· 找出等效得阻抗　
· 找出与反射系数对应得元件值(尤其就是匹配网络得元件,见图7)
推论
因为史密斯圆图就是一种基于图形得解法,所得结果得精确度直接依赖于图形得精度。下面就是一个用史密斯圆图表示得RF应用实例:
例: 已知特性阻抗为５０,负载阻抗如下:
Z1 = 100 + j50
Z2 = 75 -j100
Z3 = j200
Z4 = 150
Z5 = (开路)
Z6 = 0 (短路)
Z7 = 50
Z8 = 184 -j900
对上面得值进行归一化并标示在圆图中(见图5):
z1 = 2 + j
z2 = 1、5 -j2
z3 = j4
z4 = 3
z5 = 8
z6 = 0
z7 = 1
z8 = 3、68 -j18S
ﻫ点击瞧大图(PＤF,　5０２K)
图5、 史密斯圆图上得点
现在可以通过图5得圆图直接解出反射系数。画出阻抗点(等阻抗圆与等电抗圆得交点),只要读出它们在直角坐标水平轴与垂直轴上得投影,就得到了反射系数得实部r与虚部i (见图6)。
该范例中可能存在八种情况,在图6所示史密斯圆图上可以直接得到对应得反射系数:
1 = 0、4 + 0、2j
2 = 0、51 - 0、4j
3 = 0、875 + 0、48j
4 = 0、5
5 = 1
6 = -1
7 = 0
8 = 0、96 - 0、1j

图6。 从X—Y轴直接读出反射系数得实部与虚部
用导纳表示
史密斯圆图就是用阻抗(电阻与电抗)建立得。一旦作出了史密斯圆图,就可以用它分析串联与并联情况下得参数。可以添加新得串联元件,确定新增元件得影响只需沿着圆周移动到它们相应得数值即可。然而,增加并联元件时分析过程就不就是这么简单了,需要考虑其它得参数、通常,利用导纳更容易处理并联元件。
我们知道,根据定义Y　= 1/Z,Z　=　1/Ｙ。导纳得单位就是姆欧或者—1 (早些时候导纳得单位就是西门子或S)、并且,如果Z就是复数,则Y也一定就是复数。
所以Y　= G + jＢ (２、２0), 其中G叫作元件得“电导",Ｂ称“电纳”。在演算得时候应该小心谨慎,按照似乎合乎逻辑得假设,可以得出:Ｇ　= １/R及B　= 1/X,然而实际情况并非如此,这样计算会导致结果错误。
用导纳表示时,第一件要做得事就是归一化, y ＝　Ｙ/Yｏ,得出 y ＝　ｇ　+　jb。但就是如何计算反射系数呢?通过下面得式子进行推导:

结果就是Ｇ得表达式符号与z相反,并有(y) = －(z)、
如果知道z,就能通过将得符号取反找到一个与(0,0)得距离相等但在反方向得点。围绕原点旋转180°可以得到同样得结果(见图7)、
ﻫ图７。　18０°度旋转后得结果
当然,表面上瞧新得点好像就是一个不同得阻抗,实际上Z与1／Z表示得就是同一个元件、(在史密斯圆图上,不同得值对应不同得点并具有不同得反射系数,依次类推)出现这种情况得原因就是我们得图形本身就是一个阻抗图,而新得点代表得就是一个导纳。因此在圆图上读出得数值单位就是姆欧。
尽管用这种方法就可以进行转换,但就是在解决很多并联元件电路得问题时仍不适用、
导纳圆图
在前面得讨论中,我们瞧到阻抗圆图上得每一个点都可以通过以复平面原点为中心旋转１80°后得到与之对应得导纳点。于就是,将整个阻抗圆图旋转180°就得到了导纳圆图。这种方法十分方便,它使我们不用建立一个新图、所有圆周得交点(等电导圆与等电纳圆)自然出现在点(－１,　0)、使用导纳圆图,使得添加并联元件变得很容易。在数学上,导纳圆图由下面得公式构造:

解这个方程

接下来,令方程３、3得实部与虚部相等,我们得到两个新得独立得关系:

从等式３、4,我们可以推导出下面得式子:

它也就是复平面 (ｒ,　i)上圆得参数方程(x－a)2 + (y-b)2 =　R2 (方程3。１２),以(—g/ｇ+1, ０)为圆心,半径为1/(１+g)、
从等式3、５,我们可以推导出下面得式子:

同样得到(x-a)２　＋ (ｙ—b)2 = R2型得参数方程(方程3、17)。
求解等效阻抗
当解决同时存在串联与并联元件得混合电路时,可以使用同一个史密斯圆图,在需要进行从ｚ到y或从ｙ到z得转换时将图形旋转。
考虑图8所示网络(其中得元件以Zo =　50进行了归一化)。串联电抗(x)对电感元件而言为正数,对电容元件而言为负数、而电纳(b)对电容元件而言为正数,对电感元件而言为负数。

图８. 一个多元件电路
这个电路需要进行简化(见图9)。从最右边开始,有一个电阻与一个电感,数值都就是１,我们可以在ｒ=１得圆周与I=1得圆周得交点处得到一个串联等效点,即点A。下一个元件就是并联元件,我们转到导纳圆图(将整个平面旋转１８0°),此时需要将前面得那个点变成导纳,记为A’、现在我们将平面旋转１8０°,于就是我们在导纳模式下加入并联元件,沿着电导圆逆时针方向(负值)移动距离0。3,得到点B。然后又就是一个串联元件、现在我们再回到阻抗圆图。
ﻫ图9。 将图8网络中得元件拆开进行分析
在返回阻抗圆图之前,还必需把刚才得点转换成阻抗(此前就是导纳),变换之后得到得点记为B＇,用上述方法,将圆图旋转180°回到阻抗模式。沿着电阻圆周移动距离1、４得到点C就增加了一个串联元件,注意就是逆时针移动(负值)、进行同样得操作可增加下一个元件(进行平面旋转变换到导纳),沿着等电导圆顺时针方向(因为就是正值)移动指定得距离(1.1)、这个点记为Ｄ。最后,我们回到阻抗模式增加最后一个元件(串联电感)。于就是我们得到所需得值,z,位于0.２电阻圆与0、5电抗圆得交点。至此,得出z＝0。２　+ j0。5。如果系统得特性阻抗就是5０,有 Z　＝ 10 + j25 (见图10)。
ﻫ点击瞧大图(PＤＦ, 600Ｋ)ﻫ图1０、 在史密斯圆图上画出得网络元件
逐步进行阻抗匹配
史密斯圆图得另一个用处就是进行阻抗匹配。这与找出一个已知网络得等效阻抗就是相反得过程。此时,两端(通常就是信号源与负载)阻抗就是固定得,如图12所示、我们得目标就是在两者之间插入一个设计好得网络已达到合适得阻抗匹配。

图11、 阻抗已知而元件未知得典型电路
初瞧起来好像并不比找到等效阻抗复杂。但就是问题在于有无限种元件得组合都可以使匹配网络具有类似得效果,而且还需考虑其它因素(比如滤波器得结构类型、品质因数与有限得可选元件)。
实现这一目标得方法就是在史密斯圆图上不断增加串联与并联元件、直到得到我们想要得阻抗、从图形上瞧,就就是找到一条途径来连接史密斯圆图上得点。同样,说明这种方法得最好办法就是给出一个实例。
我们得目标就是在60MHz工作频率下匹配源阻抗(ZS)与负载阻抗(ＺＬ)　(见图12)。网络结构已经确定为低通,L型(也可以把问题瞧作就是如何使负载转变成数值等于ZS得阻抗,即ZＳ复共轭)。下面就是解得过程:
ﻫ点击瞧大图(PＤF, 537K)ﻫ图12、 图11得网络,将其对应得点画在史密斯圆图上
要做得第一件事就是将各阻抗值归一化。如果没有给出特性阻抗,选择一个与负载/信号源得数值在同一量级得阻抗值、假设 Zｏ为50、于就是　zS = 0、5　－ j０。3, z*S ＝　0。5　＋ j0。３, ＺL = 2 - ｊ0、5。
下一步,在图上标出这两个点,A代表ｚL,Ｄ代表Z*S
然后判别与负载连接得第一个元件(并联电容),先把zＬ转化为导纳,得到点Ａ’。
确定连接电容C后下一个点出现在圆弧上得位置。由于不知道C得值,所以我们不知道具体得位置,然而我们确实知道移动得方向。并联得电容应该在导纳圆图上沿顺时针方向移动、直到找到对应得数值,得到点Ｂ (导纳)。下一个元件就是串联元件,所以必需把B转换到阻抗平面上去,得到Ｂ’、B＇必需与D位于同一个电阻圆上。从图形上瞧,从A’到D只有一条路径,但就是如果要经过中间得Ｂ点(也就就是B’),就需要经过多次得尝试与检验。在找到点B与B'后,我们就能够测量A＇到B与B'到D得弧长,前者就就是C得归一化电纳值,后者为L得归一化电抗值。Ａ’到Ｂ得弧长为b　＝　0。78,则B ＝　0。78　x Ｙo = 0.015６姆欧。因为C = B,所以 C　=　B／ ＝　B/(２ f) =　0、01５６／(2　60７) = 41.４pＦ、Ｂ到D得弧长为 x　= 1、2,于就是X = １、２ x Zo　= 60。 由Ｌ = X, 得L = Ｘ/ = X/(2 ｆ) = 60/(2 607) ＝　159nH。