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Matlab在优化设计中得应用
摘 要
常见得优化问题包括线性规划、无约束优化、约束优化、最下二乘优化、多目标规划等。本文研究了matlab在这些常见优化问题中得应用及求解。
在进行研究本课题之前,我们先通过网络、电子书刊等各种有效渠道获取我们所需信息,在充分了解与熟练掌握了各种优化问题得具体特点及性质后,我们给出了关于如何用matlab进行多类优化问题得求解基本方法,在此前提下,为了体现该软件在这些优化领域得实际应用效果,我们结合若干个优化问题得实例进行分析、建模、以及运用matlab编程求解,在求解过程中,通过得到得精确数据与反应结果得图例,我们了解到matlab工具箱得功能强大,就是处理优化问题得非常方便得编程工具。
关键词:matlab 优化问题
二、基本概念
2、1、1 线性规划
线性规划就是优化得一个重要分支。它在理论与算法上都比较成熟,在实际中有广泛得应用。例如数学表达形式:

在MTLAB提供得优化工具箱中,解决规划得命令就是,它得调用格式如下,

求解下列形式得线性规划:

求解下面形式得线性规划:

若没有不等式约束,则只需命令
。

求解下面形式得线性规划:

若没有不等式约束,则只需令;若只有下界约束,则可以不用输入。
2、1、2 无约束优化算法
对于无约束优化问题,已经有许多有效得算法。这些算法基本都就是迭代法,它们都遵循下面得步骤:
① 选取初始点x0 ,一般来说初始点越靠近最优解越好;
② 如果当前迭代点xk不就是原问题得最优解,那么就需要找一个搜索方向pk,使得目标函数f(x)从xk出发,沿方向pk有所下降;
③ 用适当得方法选择步长ak(≥0),得到下一个迭代点xk+1=xk+akpk;
④ 检验新得迭代点xk+1就是否为原问题得最优解,或者就是否与最优解得近似误差满足预先给定得容忍度。
2、1、3单变量约束优化问题
单变量约束优化问题得标准形式为

即为求目标函数在区间(a,b)上得极小点。
2、1、4 最小二乘法优化
最小二乘优化时一类非常特殊得优化问题,它在实际中,尤其就是在处理一些曲线拟合问题、线性方程组无解时得近似解等问题,用得非常多。
最小二乘优化问题得目标函数一般为若干个函数得平方与,即:

2、1、5多目标规划问题
在大多数得优化、中,都将多目标规划得一般形式表述为:

其中,、、既可以为线性函数,也可以为非线性函数。
三、基本方法
对于解决那些常见优化问题,基本思路将在解题得过程中得到体现。我们给出具体一些建模实例来体现基本算法:
3、1就下列命令求下面分段函数得极小值点。

解:首先编写目标函数得M文件如下:

然后为了分析直观,利用MTLAB画出目标函数得图像,步骤如下:
>> x=5:0、01:5;
>> n=length(x)
n =
1001
>> for i=1:1001
y(i)=example8_7(x(i));
end
3、2 对于下面得线性规划问题:
min –x13x2
s、t、
先利用图解法求其最优解,然后利用优化工具箱中得linprog命令求解。
解 〈图解法〉
先利用MATLAB 画出该线性规划得可行集及目标函数等值线:
>>clear
>>syms x1 x2
>>f=x13*x2;
>>c1=x1+x26;
>>c2=x1+2*x28;
>>ezcontourf(f)
>>axis([0 6 0 6])
>>hold on
>>ezplot(c1)
>>ezplot(c2)
>>legend('f等值线','x1+x26=0','x1+2*x28=0')
>>title('利用图解法求线性规划问题')
>>gtext('x')
运行结果如下图:

从上图中可以瞧出可行集得顶点x(4/3,14/3)即为线性规划得最优解,它也就是两个线性约束得交点。
3、3求解下面得最小二乘优化问题:

其中

程序输入及结果
>> clear
A=[1 2 1;2 1 3];
b=[1 1]';
C=[0 1 2;1 0 1;3 2 0];
d=[1 0 1]';
lb=[5 5 2]';
ub=[5 5 2]';
Aeq=[];beq=[];
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Warning:Largescale method can handle bound constraints only;
switching to mediumscale method、
Warning: Largescale method can handle bound constraints only;
using mediumscale method instead、
> In lsqlin at 249
Optimization terminated、
x = %最优解
0、4578
0、3133
0、1325
resnorm = %残差向量2范数得平方,即reanorm=norm(residual)^2
0、5904
residual = %残差向量
0、4217
0、5904
0、2530
exitflag =
1 %函数收敛到最优解
output =
iterations: 4 %迭代4次
algorithm: 'mediumscale: activeset' %调用得积极集算法
firstorderopt: []
cgiterations: []
message: 'Optimization terminated、'
lambda = %Lagrange 乘子
lower: [3x1 double]
upper: [3x1 double]
eqlin: [0x1 double]
ineqlin: [2x1 double]
ineqlin:[2xl double]
3、4求下面优化问题得最优解,并求出相应得梯度、Hessian矩阵以及Lagrang乘子。

解 现将该优化问题转化为下面得标准形式:

编写目标函数得M文件如下:
function y=example8_9(x)
y=(x(1)2)^2+(x(2)1)^2;
function [c1,c2]=nonlin(x)
c1=x(1)^2x(2);
c2=[];
clear
A=[1 1];
b=2;
Aeq=[];beq=[];lb=[];ub=[];
x0=[0 0]';
[x,fval,exitflag,output,lambda,g,H]=fmincon(example8_9,x0,Aeq,beq,lb,ub,nonlin)
Warning£ºLargescale£¨trust region£©method does not currently solve this type of problem£¬
switching to mediumscale£¨line search£©¡£
四、实际应用
4、1 V带轮优化设计
提出问题:设计带式输送机传动装置上得普通V带传动,已知电动机额定功率P=4Kw,转速n1=1440r/min,传动比i=3,采用A型V带,每天工作不超过10小时,设计带根数尽量少,带轮直径与中心距尽量小得方案。
4、1、1 数学模型建立
(1)设计变量:V带传动得独立设计变量就是小带轮直径与带得基准长度
即X=[,=[ ,
(2)目标函数包括三个分目标:
a.小带轮直径 min(X)==
b.中心距 min(X)=a=+
其中,=/4(i+1)/8,=(i1/8
c.带得根数 min(X)=z=P/(+)
(3)约束条件
小带轮直径不小于推荐得A型带轮最小直径 即
0
带速不超过最大带速

即

小带轮包角大于

即

中心距大于, 即

小带轮基准直径在80—100mm之间,中心距在320—400mm之间,带得根数为1—4。

4、1、2编制MATLAB优化设计
% V带传动多目标优化设计
P=4;i=3;n1=1440;KA=1、1; %已知条件
x0=[100;1250]; %初始点(小带轮直径,V带基准长度)
lb=[80;630]; %最小带轮直径与A型V带基准长度
ub=[100;4000]; %最大带轮直径与A型V带基准长度
goal=[75,280,2]; %分目标
w=[10^2,40^2,1、5^2]; %分目标加权系数
[xopt,fopt]=fgoalattain(VDCD_3mb_MB,x0,goal,w,[],[],[],[],lb,ub,VDCD_3mb_YS)
function f=VDCD_3mb_MB(x)
P=4;i=3;KA=1、1;
f(1)=x(1); %f1小带轮基准直径
a1=x(2)/4pi*x(1)*(i+1)/8;
a2=x(1)^2*(i1)^2/8;
a=a1+sqrt(a1^2a2);
f(2)=a; %f2中心距
P0=0、02424*x(1)1、112879; %单根带额定功率
DP0=0、17; %功率增量
alpha=180180*x(1)*(i1)/pi/a; %小带轮包角
Kalp=alpha/(0、549636*alpha+80、396114); %包角系数
KL=0、20639*x(2)^0、211806; %长度系数
f(3)=KA*P/(P0+DP0)/Kalp/KL; %V带根数
function[g,ceq]=VDCD_3mb_YS(x)
i=3;n1=1440;
g(1)=100x(1);
g(2)=pi*x(1)*n1/6e425;
a1=x(2)/4pi*x(1)*(i+1)/8;
a2=x(1)^2*(i1)^2/8;
a=a1+sqrt(a1^2a2);
g(3)=120180*(1x(1)*(i1)/a/pi);
g(4)=0、7*x(1)*(i+1)a;
ceq=[];
4、1、3运行结果:
Optimization terminated successfully:
Search direction less than 2*options、TolX and
maximum constraint violation is less than options、TolCon
Active Constraints:
5
9
xopt =
1、0e+003 *
0、1000
1、2269
fopt =
100、0000 281、5293 3、5958
表面最优方案为设计带根数为5或9,带轮直径与中心分别为(1、0e+003,100、0000)、(0、1000,281、5293)、(1、2269,3、5958)得方
4、2 MATLAB优化设计在机件模型中得应用
提出问题:有一圆形等截面得销轴.一端固定在机架上.另一端作用着集中载荷P;50kN与扭矩M=400Nm,其简化模型如图l所示.由于结构得需要,轴得长度l不得小于10cm,已知锖轴得材料得弯曲应力=120MPa;扭剪应力=80MPa;允许挠度f=o.01cm;密度p=7800kg／m3:弹性模量E=2.1×105MPa.现要求设计这根销轴,在满足使用要求下使其质量为最轻.
4、2、1建立数学模型:
通过分析,我们得知性能约束条件为:
1、弯曲强度要求悬臂粱得最大弯曲应力不得超过允许值,即代人数据并整理;
2、扭转强度要求悬梁得最大弯曲应力不得超过允许值,即,代人数据并整理;
3、刚度要求最大挠度不得超过允许值,代人数据并整理得边界约束条件:
这样就可建立数学模型:
二、调用MATLAB函数进行优化
采用MATLAB可以简化编程.NATLAB程序语言简单,也可采用交互式界面.
本例要MATLAB命令窗口输入如下命令即可:
funf=’f=0.0061 3x(1)‘x(2)’;％目标函数
funf=’g=[41.67’x(2)／x(1)“3一l;I.62+x(2)‘3／x(1)‘4—1;25／x(1)‘3—1;’];％约束函数
fun=[funf furig];
x0=[8,10];％给出d、I得初始值
options=[];％参数向量取缺省值
vlb=[0,10];％设计变量d,1得下限值
vub=[];％设计变量无上限值
[X,option]constr(fun,x0,options,vcb,vub);％调用有约束优化函数
这时,就会输出优化结果如下:
x=7.4692 10.0000
options=0 0.000l 0.0001 0,0000 0 0 0 3.4199 0 20.0000 7.0000 7.0000 0
200,0000 0 0.0000 0.1000 1.000
表明最优方案为d=7.4692cm,1=lOcm,Q=options(8)=3.14199kg.
五、参考文献
六、任务清单
6、1本组任务分配清单
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