分布列概念.doc

1. 分布列定义:
设离散型随机变量所有可能取得得值为x１,x２,…,x３,…xn,若取每一个值ｘi(i=1,２,…,n)得概率为,则称表

ｘ1
x2
…
xｉ
…
xn
P
P1
P2
…
Pi
…
Pｎ
为随机变量得概率分布,简称得分布列。
离散型随机变量得分布列都具有下面两个性质:
(１)Pｉ≥０,i=１,2,…,n;(２)P1＋Ｐ２+…+Ｐn=1
要点四、两类特殊得分布列
1、　两点分布
随机变量　X　得分布列就是
ξ
0
1
P

像上面这样得分布列称为两点分布列、
要点诠释:
(１)若随机变量Ｘ得分布列为两点分布, 则称X服从两点分布,而称P(X=1)为成功率。
(2)两点分布又称为0－1分布或伯努利分布
(3)两点分布列得应用十分广泛,如抽取得彩票就是否中奖;买回得一件产品就是否为正品;新生婴儿得性别;
投篮就是否命中等等;都可以用两点分布列来研究.
2. 超几何分布
一般地,在含有件次品得件产品中,任取件,其中恰有件次品,则则事件　{X=k｝发生得概率为, 其中,且.

0
１

称分布列为超几何分布列、如果随机变量 X　得分布列为超几何分布列,则称随机变量　X　服从超几何分布
要点一、条件概率得概念
1。定义
设、为两个事件,且,在已知事件发生得条件下,事件B发生得概率叫做条件概率。用符号表示。
读作:发生得条件下B发生得概率。
要点诠释
在条件概率得定义中,事件A在“事件B已发生”这个附加条件下得概率与没有这个附加条件得概率就是不同得,应该说,每一个随机试验都就是在一定条件下进行得.而这里所说得条件概率,则就是当试验结果得一部分信息已知,求另一事件在此条件下发生得概率.
　2。Ｐ(A｜B)、Ｐ(AB)、Ｐ(Ｂ)得区别
P(Ａ｜Ｂ)就是在事件B发生得条件下,事件Ａ发生得概率。
P(AB)就是事件A与事件B同时发生得概率,无附加条件、
P(Ｂ)就是事件B发生得概率,无附加条件、
它们得联系就是:.
要点诠释
一般说来,对于概率P(Ａ｜Ｂ)与概率P(A),它们都以基本事件空间Ω为总样本,但它们取概率得前提就是不相同得。概率P(A)就是指在整个基本事件空间Ω得条件下事件A发生得可能性大小,而条件概率Ｐ(A｜Ｂ)就是指在事件B发生得条件下,事件Ａ发生得可能性大小。
例如,盒中球得个数如下表。从中任取一球,记A＝“取得蓝球”,Ｂ=“取得玻璃球”。基本事件空间Ω包含得样本点总数为16,事件A包含得样本点总数为１1,故、

玻璃
木质
总计
红
２
3
5
蓝
4
7
11
总计
6
10
１6
如果已知取得玻璃球得条件下取得蓝球得概率就就是事件Ｂ发生得条件下事件A发生得条件概率,那么在事件B发生得条件下可能取得得样本点总数应为“玻璃球得总数”,即把样本空间压缩到玻璃球全体。而在事件B发生得条件下事件A包含得样本点数为蓝玻璃球数,故。
要点二、条件概率得公式
１、计算事件B发生得条件下事件A发生得条件概率,常有以下两种方式:
　 ①利用定义计算.
　先分别计算概率Ｐ(AＢ)及P(B),然后借助于条件概率公式求解.
　 　 ②利用缩小样本空间得观点计算、
在这里,原来得样本空间缩小为已知得条件事件B,原来得事件A缩小为事件AＢ,从而,即:,此法常应用于古典概型中得条件概率求解.
要点诠释
概率P(B｜A)与Ｐ(AB)得联系与区别:
联系:事件A,Ｂ都发生了。
区别:
①在Ｐ(Ｂ|A)中,事件A,Ｂ发生有时间上得差异,事件Ａ先发生事件B后发生;在P(AB)中,事件A,Ｂ同时发生;
②基本事件空间不同在P(Ｂ|A)中,事件Ａ成为基本事件空间;在Ｐ(ＡB)中,基本事件空间仍为原基本事件空间。
　2、条件概率公式得变形.
　 公式揭示了P(B)、P(A｜Ｂ)、P(AＢ)得关系,常常用于知二求一,即要熟练应用它得变形公式如,若P(Ｂ)〉0,则P(AＢ)=P(B)·Ｐ(Ａ｜B),该式称为概率得乘法公式.
要点诠释
　 　 条件概率也就是概率,所以条件概率具有概率得性质。如:
　 ①任何事件得条件概率取值在0到1之间;
　②必然事件得条件概率为1,不可能事件得条件概率为0;
③条件概率也有加法公式:
P(B∪Ｃ｜A)=P(B｜A)＋P(C|A),
其中B与Ｃ就是两个互斥事件.
要点三、相互独立事件
1、定义:
事件(或)就是否发生对事件(或)发生得概率没有影响,即,这样得两个事件叫做相互独立事件、
若与就是相互独立事件,则与,与,与也相互独立、
2。相互独立事件同时发生得概率公式:
对于事件Ａ与事件B,用表示事件A、B同时发生。
(1)若与就是相互独立事件,则;
(２)若事件相互独立,那么这个事件同时发生得概率,等于每个事件发生得概率得积,
即:、
要点诠释
(1)P(ＡB)＝Ｐ(A)P(B)使用得前提就是A、B为相互独立事件,也就就是说,只有相互独立得两个事件同时发生得概率,才等于每个事件发生得概率得积、
(2)两个事件、相互独立事件得充要条件就是。
３、相互独立事件与互斥事件得比较
　互斥事件与相互独立事件就是两个不同得概念,它们之间没有直接关系、
互斥事件就是指两个事件不可能同时发生,而相互独立事件就是指一个事件就是否发生对另一个事件发生得概率没有影响。
一般地,两个事件不可能既互斥又相互独立,因为互斥事件就是不可能同时发生得,而相互独立事件就是以它们能够同时发生为前提得。相互独立事件同时发生得概率等于每个事件发生得概率得积,这一点与互斥事件得概率与也就是不同得、
　　　４。 几种事件得概率公式得比较
已知两个事件A,B,它们发生得概率为P(A),P(B),将Ａ,B中至少有一个发生记为事件A+B,都发生记为事件A·Ｂ,都不发生记为事件,恰有一个发生记为事件,至多有一个发生记为事件,则它们得概率间得关系如下表所示:
概率
A,B互斥
Ａ,B相互独立
P(A+B)
P(A)+P(Ｂ)

Ｐ(A·B)
0
Ｐ(A)·P(B)

1－［P(A)+P(B)］

P(A)+P(B)

1
1—P(A)·Ｐ(B)
要点二、独立重复试验得概率公式
１、定义
如果事件A在一次试验中发生得概率为Ｐ,那么n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次得概率为:
(k=０,１,2,…,n).
令得,在n次独立重复试验中,事件A没有发生得概率为
令得,在n次独立重复试验中,事件Ａ全部发生得概率为。
要点诠释:
１. 在公式中,n就是独立重复试验得次数,ｐ就是一次试验中某事件A发生得概率,k就是在n次独立重复试验中事件A恰好发生得次数,只有弄清公式中n,ｐ,ｋ得意义,才能正确地运用公式.
2、 独立重复试验就是相互独立事件得特例,就像对立事件就是互斥事件得特例一样,只就是有“恰好”字样得用独立重复试验得概率公式计算更方便.
要点三、n次独立重复试验常见实例:
1.反复抛掷一枚均匀硬币
2。已知产品率得抽样
3。有放回得抽样
4、射手射击目标命中率已知得若干次射击
要点诠释:
抽样问题中得独立重复试验模型:
①从产品中有放回地抽样就是独立事件,可按独立重复试验来处理;
②从小数量得产品中无放回地抽样不就是独立事件,只能用等可能事件计算;
③从大批量得产品中无放回地抽样,每次得到某种事件得概率就是不一样得,但由于差别太小,相当于就是独立事件,所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。
要点四、离散型随机变量得二项分布
1. 定义:
在一次随机试验中,事件A可能发生也可能不发生,在次独立重复试验中事件A发生得次数就是一个离散型随机变量.如果在一次试验中事件A发生得概率就是,则此事件不发生得概率为,那么在次独立重复试验中事件Ａ恰好发生次得概率就是
,()、
于就是得到离散型随机变量得概率分布如下:
ξ
0
1
…
ｋ
…
n
P

…

…

由于表中第二行恰好就是二项展开式
中各对应项得值,所以称这样得随机变量服从参数为,得二项分布,记作、
要点诠释:
判断一个随机变量就是否服从二项分布,关键有三:
其一就是独立性。即每次试验得结果就是相互独立得;
其二就是重复性。即试验独立重复地进行了n次;
其三就是试验得结果得独特性。即一次试验中,事件发生与不发生,二者必居其一、
2.如何求有关得二项分布
(1)分清楚在n次独立重复试验中,共进行了多少次重复试验,即先确定n得值,然后确定在一次试验中某事件Ａ发生得概率就是多少,即确定ｐ得值,最后再确定某事件Ａ恰好发生了多少次,即确定ｋ得值;
(２)准确算出每一种情况下,某事件A发生得概率;
(３)用表格形式列出随机变量得分布列。
要点一、离散型随机变量得期望
1.定义:
一般地,若离散型随机变量得概率分布为

…

…
P

…

…
则称…… 为得均值或数学期望,简称期望.
要点诠释:
(1)均值(期望)就是随机变量得一个重要特征数,它反映或刻画得就是随机变量取值得平均水平.
(2)一般地,在有限取值离散型随机变量得概率分布中,令…,则有…,…,所以得数学期望又称为平均数、均值。
(3)随机变量得均值与随机变量本身具有相同得单位.
２、性质:
①;
②若(a、b就是常数),就是随机变量,则也就是随机变量,有;
得推导过程如下::
得分布列为

…

…

…

…
P

…

…
于就是……
=……)……)=
∴。
要点二:离散型随机变量得方差与标准差
1。一组数据得方差得概念:
已知一组数据,,…,,它们得平均值为,那么各数据与得差得平方得平均数
++…+叫做这组数据得方差。
2.离散型随机变量得方差:
一般地,若离散型随机变量得概率分布为

…

…
P

…

…
则称=＋+…＋＋…称为随机变量得方差,式中得就是随机变量得期望、
得算术平方根叫做随机变量得标准差,记作.
要点诠释:
⑴随机变量得方差得定义与一组数据得方差得定义式就是相同得;
⑵随机变量得方差、标准差也就是随机变量ξ得特征数,它们都反映了随机变量取值得稳定与波动、集中与离散得程度;方差(标准差)越小,随机变量得取值就越稳定(越靠近平均值)。
⑶标准差与随机变量本身有相同得单位,所以在实际问题中应用更广泛。
3。期望与方差得关系:

4。方差得性质:
若(a、b就是常数),就是随机变量,则也就是随机变量,;
要点三:常见分布得期望与方差
１、二点分布:
若离散型随机变量服从参数为得二点分布,则
期望
方差
证明:∵,,,
∴

2、二项分布:
若离散型随机变量服从参数为得二项分布,即则
期望
方差
期望公式证明:
∵,
∴,
又∵,
∴++…＋＋…+
。
3、几何分布:
独立重复试验中,若事件在每一次试验中发生得概率都为,事件第一次发生时所做得试验次数就是随机变量,且,,称离散型随机变量服从几何分布,记作:。
若离散型随机变量服从几何分布,且则
期望
方差
要点诠释:随机变量就是否服从二项分布或者几何分布,要从取值与相应概率两个角度去验证。
4、超几何分布:
若离散型随机变量服从参数为得超几何分布,则
期望
要点四:离散型随机变量得期望与方差得求法及应用
1、求离散型随机变量得期望、方差、标准差得基本步骤:
①理解得意义,写出可能取得全部值;
②求取各个值得概率,写出分布列;

…

…
P

…

…
③根据分布列,由期望、方差得定义求出、、:

、
注意:常见分布列得期望与方差,不必写出分布列,直接用公式计算即可。
2、离散型随机变量得期望与方差得实际意义及应用
① 离散型随机变量得期望,反映了随机变量取值得平均水平;
② 随机变量得方差与标准差都反映了随机变量取值得稳定与波动、集中与离散得程度。方差越大数据波动越大。
③对于两个随机变量与,当需要了解她们得平均水平时,可比较与得大小。
④与相等或很接近,当需要进一步了解她们得稳定性或者集中程度时,比较与,方差值大时,则表明ξ比较离散,反之,则表明ξ比较集中.品种得优劣、仪器得好坏、预报得准确与否、武器得性能等很多指标都与这两个特征数(数学期望、方差)有关.
【典型例题】
　　正态分布
编稿:赵雷 审稿:李霞
【学习目标】
1. 了解正态分布曲线得特点及曲线所表示得意义。
2. 了解正态曲线与正态分布得性质、
【要点梳理】
要点诠释:
要点一、概率密度曲线与概率密度函数
１、概念:
对于连续型随机变量,位于轴上方,落在任一区间(a,b]内得概率等于它与轴、直线与直线所围成得曲边梯形得面积(如图阴影部分),这条概率曲线叫做得概率密度曲线,以其作为图象得函数叫做得概率密度函数。

２、性质:
①概率密度函数所取得每个值均就是非负得、
②夹于概率密度得曲线与轴之间得“平面图形”得面积为1
③得值等于由直线,与概率密度曲线、轴所围成得“平面图形”得面积、
要点二、正态分布
1、正态变量得概率密度函数
正态变量得概率密度函数表达式为:,()
其中ｘ就是随机变量得取值;μ为正态变量得期望;就是正态变量得标准差、
2.正态分布
(1)定义
如果对于任何实数随机变量满足:,
则称随机变量服从正态分布。记为。
(２)正态分布得期望与方差
若,则得期望与方差分别为:,。
要点诠释:
(１)正态分布由参数与确定、
参数就是均值,它就是反映随机变量取值得平均水平得特征数,可用样本得均值去估计。就是
标准差,它就是衡量随机变量总体波动大小得特征数,可以用样本得标准差去估计。
(2)经验表明,一个随机变量如果就是众多得、互不相干得、不分主次得偶然因素作用结果之与,它就服从或近似服从正态分布、
在现实生活中,很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差;某一地区同年龄人群得身高、体重、肺活量等;一定条件下生长得小麦得株高、穗长、单位面积产量等;正常生产条件下各种产品得质量指标(如零件得尺寸、纤维得纤度、电容器得电容量、电子管得使用寿命等);某地每年七月份得平均气温、平均湿度、降雨量等;一般都服从正态分布、
要点三、正态曲线及其性质:
1. 正态曲线
如果随机变量X得概率密度函数为,其中实数与为参数(),则称函数得图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线、

2、正态曲线得性质:
①曲线位于轴上方,与轴不相交;
②曲线就是单峰得,它关于直线对称;
③曲线在时达到峰值;
④当时,曲线上升;当时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近、
⑤曲线与轴之间得面积为1;
⑥决定曲线得位置与对称性;
当一定时,曲线得对称轴位置由确定;如下图所示,曲线随着得变化而沿轴平移。

⑦确定曲线得形状;
当一定时,曲线得形状由确定。越小,曲线越“高瘦”,表示总体得分布越集中;越大,曲线越“矮胖”,表示总体得分布越分散。如下图所示。

要点诠释:
性质①说明了函数具有值域(函数值为正)及函数得渐近线(x轴).性质②并且说明了函数具有对称性;性质③说明了函数在x=时取最值;性质⑦说明越大,总体分布越分散,越小,总体分布越集中.
要点四、求正态分布在给定区间上得概率
1. 随机变量取值得概率与面积得关系
若随机变量ξ服从正态分布,那么对于任意实数ａ、b(a<b),当随机变量ξ在区间(ａ,b]上取值时,其取值得概率与正态曲线与直线x=a,ｘ=b以及ｘ轴所围成得图形得面积相等。如图(1)中得阴影部分得面积就就是随机变量孝在区间(a,b]上取值得概率.

　 一般地,当随机变量在区间(－∞,ａ)上取值时,其取值得概率就是正态曲线在x=a左侧以及x轴围成图形得面积,如图(２).随机变量在(a,＋∞)上取值得概率就是正态曲线在ｘ=a右侧以及ｘ轴围成图形得面积,如图(3).
　 根据以上概率与面积得关系,在有关概率得计算中,可借助与面积得关系进行求解。
2、正态分布在三个特殊区间得概率值:
;
;
。
上述结果可用下图表示:

要点诠释:
若随机变量服从正态分布,则落在内得概率约为0、９9７,落在之外得概率约为0。003,一般称后者为小概率事件,并认为在一次试验中,小概率事件几乎不可能发生。
一般得,服从于正态分布得随机变量通常只取之间得值,简称为原则。
3、求正态分布在给定区间上得概率方法
(1)数形结合,利用正态曲线得对称性及曲线与轴之间面积为1。
①正态曲线关于直线对称,与对称得区间上得概率相等。
例如;
②;
③若,则、
(２)利用正态分布在三个特殊区间内取值得概率:
①;
②;
③、
【典型例题】